四川省眉山市仁寿县 新科高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题含答案

仁寿县2023级高二上学期半期联考数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本题共8道小题，每小题0分，共0分）1.已知直线的倾斜角为，则实数（）A. B. C. D.2.甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（）A. B. C. D.3.已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.4.设，则两圆与的位置关系不可能是（）A.相切 B.相交 C.内切和内含 D.外切和外离5.甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.986.已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（）A B. C. D.7.已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（）A. B. C. D.8.在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）9.已知事件，，且，，则下列结论正确的是（）A如果，那么，B.如果与互斥，那么，C.如果与相互独立，那么，D.如果与相互独立，那么，10.下面四个结论正确的是（）A.空间向量，若，则B.若空间四个点，，则三点共线C.已知向量，若，则为钝角D.任意向量满足11.圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（）A.圆关于直线对称B.的最大值是9C.从点向圆引切线，切线长最小值是3D.直线被圆截得的弦长取值范围为第II卷（非选择题）三、填空题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）12.某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中______次．13.直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．14.如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数_____四、解答题（本题共5道小题，第1题0分，第2题0分，第3题0分，第4题0分，第5题0分，共0分）15.已知直线和直线.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.16.从2名男生(记为和)和3名女生(记为，，和)组成的总体中，任意依次抽取2名学生.（1）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间；（2）在（1）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.17.如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值．18.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；（2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．19.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．（1）用向量表示向量；（2）求证：共面；（3）当何值时，．仁寿县2023级高二上学期半期联考数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本题共8道小题，每小题0分，共0分）1.已知直线的倾斜角为，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得直线的斜率为，解方程即可得出答案.【详解】已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为，则.故选：B.2.甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出甲、乙、丙三位同学随机站成一排的排法总数，再计算甲乙两人恰好相邻而站的排法数，利用古典概率公式即可求解.【详解】甲、乙、丙三位同学随机站成一排有：（甲、乙、丙），（甲、丙、乙），（乙、甲、丙），（乙、丙、甲），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲），共种甲乙两人恰好相邻而站有：（甲、乙、丙），（乙、甲、丙），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲）共种，所以甲乙两人恰好相邻而站的概率为，故选：D.3.已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可【详解】设向量与的夹角为，因为，，且，所以，得，所以，所以，因为，所以，故选：A4.设，则两圆与的位置关系不可能是（）A.相切 B.相交 C.内切和内含 D.外切和外离【答案】D【解析】【分析】求出两圆圆心和半径，计算圆心距与半径比较即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为4；圆的圆心为，半径为．两圆心之间的距离为，又因为，所以两圆不可能外切和外离．故选：D．5.甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.98【答案】D【解析】【分析】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达发现的概率为，从而即可求解.【详解】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标概率分别是和，所以，所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选：D6.已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：根据两条直线平行，得到的等量关系，根据直线在轴上的截距，可得所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线与直线平行，所以，又直线在轴上的截距为，所以，解得，所以，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.7.已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量共面基本定理只需无解即可满足构成空间向量基底，据此检验各选项即可得解.【详解】因为，所以A中的向量不能与，构成基底；因为，所以B中的向量不能与，构成基底；对于，设，则，解得，，所以，故，，为共面向量，所以C中的向量不能与，构成基底；对于，设，则，此方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量与，可以构成基底.故选：D8.在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形边长为1，则与侧面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作的中点，连接，，，根据题意可知与侧面所成角即为，根据已知条件求解即可.【详解】作的中点，连接，，，根据题意，易得平面，故与侧面所成角即为，因侧棱长为，底面三角形的边长为1，所以，，故，即与侧面所成角的正弦值为.故选：D.二、多选题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）9.已知事件，，且，，则下列结论正确的是（）A.如果，那么，B.如果与互斥，那么，C.如果与相互独立，那么，D.如果与相互独立，那么，【答案】BD【解析】【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，，，，即可判断.【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.10.下面四个结论正确的是（）A.空间向量，若，则B.若空间四个点，，则三点共线C.已知向量，若，则为钝角D.任意向量满足【答案】AB【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B【详解】对于A：因为，，则，故A正确；对于B：因为，则，即，又与有公共点，所以三点共线，故B正确；对于C：，若为钝角：则，且与不共线，由得，当时，，即，由与不共线得，于是得当且时，为钝角，故C错误；对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，故选：AB11.圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（）A.圆关于直线对称B.的最大值是9C.从点向圆引切线，切线长的最小值是3D.直线被圆截得的弦长取值范围为【答案】CD【解析】【分析】根据不在直线上判断A；根据判断B；根据时，切线长最小求解判断C；根据直线过定点，再结合弦长公式判断D.【详解】解：对于A选项，圆，∴圆心，半径，∵，∴圆不关于直线对称，故A选项错误；对于B选项，由圆心到直线的距离为：，的最小值是，故，故B选项错误；对于C选项，从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故C正确；对于D选项，直线过定点，该定点在圆C内，所以直线被圆截得的弦长最长时，所截弦长为过点和圆心的圆的直径，即弦长的最大值为8，最短的弦长为垂直与该直径的弦长，和圆心的距离为，最短弦长为，故直线被圆截得的弦长取值范围为，D正确．故选：CD．第II卷（非选择题）三、填空题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）12.某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中______次．【答案】4【解析】【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m次，于是，解出不等式即可得到答案.【详解】投篮命中次数，设最有可能命中次，则，，．最有可能命中4次．故答案为：4.13.直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】【解析】【详解】由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.14.如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数_____【答案】4【解析】【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝2，则A（2，0，0），D（0，，0），P（0，0，2），M（，0，），B（0，2，0），（0，﹣22，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），∵λ，∴﹣2，∴b，∴N（0，，0），（，，），（，0），∵MN⊥AD，∴10，解得实数λ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．四、解答题（本题共5道小题，第1题0分，第2题0分，第3题0分，第4题0分，第5题0分，共0分）15.已知直线和直线.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）0或2（2）【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.【小问1详解】若，则，解得或2；【小问2详解】若，则，解得或1.时，，满足，时，，此时与重合，所以.16.从2名男生(记为和)和3名女生(记为，，和)组成的总体中，任意依次抽取2名学生.（1）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间；（2）在（1）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.【答案】（1）见详解；（2）有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为；不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.【解析】【分析】（1）用列举法，分别写出两种抽取方法对应基本事件，即可得出结果；（2）先列举出两种抽样方式下，“抽到的2人为1名男生和1名女生”所包含的基本事件，确定基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】（1）由题意，有放回简单随机抽样的样本空间为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；共包含个基本事件；不放回简单随机抽样的样本空间为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；共包含个基本事件；（2）由（1）可得，两种抽样方式下，抽到的2人为1名男生和1名女生，所包含的基本事件都是：，，，，，，，，，，，；共个，有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为；不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.17.如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；（2）设平面的一个法向量为，求出法向量，利用向量法求解解．（3）利用向量法求解即可．【小问1详解】如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，，，因为在上，故可设，又，所以，解得，所以，，，即，平面．