(自动控制原理)第四章根轨迹(06改)

第四章根轨迹法

本章主要内容:

根轨迹的基本概念根轨迹的绘制准则特殊根轨迹利用根轨迹分析闭环系统用MATLAB绘制根轨迹

我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分布来间接地研究控制系统的性能。伊文思(W.R.Evans)提出了一种在复平面上

由开环零极点确定闭环零极点的图解方法—根轨迹法。将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。

概述根轨迹法——一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。根轨迹法的实质——绘制根轨迹，实质上是在系统开环传递函数的某一参数变化时，寻求闭环特征根在复平面上变化的轨迹。

利用根轨迹法，可以解决以下问题：

分析系统的性能确定系统的结构和参数系统校正装置的综合§1.1根轨迹的基本概念例：如图所示二阶系统，-特征方程为：系统开环传递函数为：特征根为：闭环传递函数：①

当K=0时，s1=0,s2=-2,

是根轨迹的起点（S1、S2也是开环

传递函数的极点②当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6

根在负实轴上。③

当K=0.5时,s1=-1,s2=-1(负实重根）④

当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j（共轭根）⑤

当K=5时s1=-1+3j,s2=-1-3j（共轭根）⑥

当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j讨论：闭环特征根结论：根轨迹直观地表示了参数K变化时，闭环特征根的变化，同时还给出了参数K对闭环特征根在S平面上分布的影响。对一般的反馈控制系统，其结构图为：-将写成以下标准型，得：

分别为开环零极点，为根轨迹增益。闭环系统的特征方程式为：小结：

1)根轨迹一但画出，那么，对应某一值（或其他参数的变化），就可以获得一组特征根（闭环极点），于是可判断系统的稳定性；再考虑到已知闭环零点,就可以确定系统的品质，由此，可以解决系统的分析问题。

2)反之，也可根据规定的品质指标，利用根轨迹法，合理安排开环零极点的位置，并适当调整值。(P98)即根轨迹方程4.1根轨迹法的基本概念由一、绘制根轨迹的条件即满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件为：显然，满足上述条件的值，就是特征方程式的根，即闭环积点。通常，我们先以根轨迹增益（当然也可以用其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。[一些约定]：

1)在根轨迹图中，“”表示开环极点，“”表示开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“”表示根轨迹上的点。

2）在绘制根轨迹时，令S平面横轴和纵轴比例尺相同。

3）绘制根轨迹的依据是幅角条件。

4）利用幅值条件计算的值。

5)在测量幅角时，规定以逆时针方向为正。例题4-1已知开环系统的传递函数为：可将系统的三个极点和一个有限零点画在复平面上如图：解：改写传递函数为——根轨迹放大系数——开环放大系数由此得开环放大系数：假设是闭环极点，在图上量得全部幅角之和须满足：4.2根轨迹的绘制法则4.2.1绘制根轨迹的一般法则

1、起点

2、终点3、根轨迹数和它的对称性4、实轴上的根轨迹

确定依据：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零极点数目的总和为奇数。5、根轨迹的分离点和会合点

确定依据：闭环极点也是开环极点。闭环极点也是开环有限零点。6、根轨迹的渐近线

7、根轨迹的出射角和入射角当开环零、极点处于复平面上时，根轨迹离开的出发角称为出射角；根轨迹趋于复零点的终止角成为入射角。渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。计算出射角的公式：计算入射角的公式：8、根轨迹和虚轴的交点根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根。这时的增益称为临界根轨迹增益。1、根轨迹的起点：若则闭环系统的特征根由下式决定上式即为开环系统的特征方程式。结论：当时，闭环极点也就是开环极点，绘制根轨迹时，从时的闭环极点画起，即从开环极点出发。2、根轨迹的终点：

那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？

我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。当时，①。

是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。

②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。由根轨迹方程知：当时

3、根轨迹的支数和它的对称性：

n阶特征方程有n个根。当从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。

特征方程的系数为实数，所以如果存在复数特征根应是共轭根。因此，根轨迹都对称于实轴。4、实轴上的根轨迹：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零极点数目的总和为奇数。即由此，满足幅值条件：[例]：已知系统开环零极点的分布如图示，判断和之间的实轴是否存在根轨迹？●

结论：和之间的实轴存在根轨迹。5、根轨迹的会合点和分离点：定义：两条或两条以上根轨迹在S平面上相遇又分离的点为分离点（或会合点）。如图所示某系统的根轨迹，由开环极点出发的两支根轨迹，随着的增大在实轴上a点相遇再分离进入复平面。随着的继续增大，又在实轴上b点相遇并分别沿实轴的左右两方运动。当时，一支根轨迹终止于另一支走向。a、b点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。[分离点和会合点的求法]：介绍重根法、作图法和极值法。1）重根法：根轨迹在实轴上的分离点或会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点。设系统开环传递函数为：因闭环特征方程为：即设时，特征方程有重根，则必同时满足即有：0)()()(

=¢+¢=sDsNKdssdFd2）作图法：参考教材Page102~1033）极值法：因是极大值，故可利用下式计算重根。[例]单位反馈系统的开环传递函数为：试确定实轴上根轨迹的会合点和分离点的位置。

显然，分离点为-0.4725，而-3.5275不是分离点。[解]：注意：分离点和会合点也可能出现在复平面上，由于根轨迹对称于实轴，所以，复平面上的分离点和会合点必对称于实轴。（舍去）例4-2已知开环传递函数式中：求分离点和会合点。参考教材Page103。6、根轨迹的渐近线

渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。（1）

倾角：设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有的开环有限零点和极点到的矢量相角都相等，即为渐近线的倾角。代入根轨迹的幅角条件得：当，最小，当增大时，倾角将重复出现，故独立的渐近线只有条。（2）渐近线与实轴的交点假设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有开环有限零点和极点到的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点而言，所有的开环有限零点、极点都汇集在一起，其位置为，这就是渐近线与实轴的交点。例4-3设开环传递函数为，计算渐近线倾角。（教材Page104)幅值条件可改写：由二项式定理知：用例题4-3的条件,可求出:在无限靠近

的根轨迹上取一点,则

点应满足幅角条件：例4-4已知开环传递函数，计算起点(-1+j1)的斜率。7、根轨迹的出射角和入射角当开环零、极点处于复平面上时，根轨迹离开的出发角称为出射角；根轨迹趋于复零点的终止角成为入射角。计算出射角的公式：计算入射角的公式：8、根轨迹和虚轴的交点交点和

的求法：

在闭环特征方程中令

，然后使特征方程的实、虚部为零即可求出

和

。

由劳斯稳定判据求解。

由幅角条件图解试探求解。结论：根轨迹离开开环复极点处的切线方向与实轴正方向的夹角，称为出射角。根轨迹进入开环复零点处的切线方向与实轴正方向的夹角，称为入射角。[例4-5]开环传递函数为：

，试求根轨迹与虚轴的交点

和。(教材106-107）

9.闭环极点的和与积列写特征方程式：假设时根轨迹与虚轴相交，令则得：可得临界开环放大系数为：9.闭环极点的和与积设反馈系统的特征方程为：其特征根为：则由根据代数方程根与系数的关系，可得结论：在已知反馈系统的部分闭环极点情况下，基于上述公式可确定出其余闭环极点在S平面上的分布位置，还可计算出与系统闭环极点对应的参变量值。[例]开环传递函数为：

，已知根轨迹与虚轴相交的两个闭环极点。试确定第三个闭环极点根轨迹作图步骤一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；二、实轴上的根轨迹；三、n-m条渐近线；四、根轨迹的出射角、入射角；五、根轨迹与虚轴的交点；六、根轨迹的分离点、会合点；

结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点等性质画出根轨迹。4.2.2自动控制系统的根轨迹一、二阶系统：比较：得:按“法则”求条件，然后绘制根轨迹。求分离点：求渐近线倾角和交点：二阶系统的根轨迹如下：若：由幅值条件，可得

时的放大系数和：

二、开环具有零点的二阶系统（109页）已知：证明方法一:各零极点幅角满足幅角条件：××和角公式：整理后得圆的方程为：令a=1得到根轨迹如下：分离点和会合点为证明方法二:将代入特征方程：令实部为零：虚部为零：整理后得圆方程式：三、三阶系统开环传递函数为根据法则绘制根轨迹如下：根据法则绘制根轨迹如下：结论：在二阶系统中附加一个极点，则使系统根轨迹随着增大，向右半平面方向移动，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定，但系统稳态控制精度得到改善。四、开环具有零点的三阶系统根据法则绘制根轨迹如下：开环传递函数为：（1）绘制根轨迹；（2）求时的闭环特征根；

①

列写闭环特征方程式

②先求二阶特征根

③再求第三个特征根

（3）计算特征根对应的值；

（4）结论：与二阶系统相同，前项通道增加零点，

根轨迹随增大将向左移，系统的动态品质

得到改善。根据法则绘制根轨迹如下：线渐近线五、具有复数极点的四阶系统根据法则绘制根轨迹如下：系统的开环传递函数根据法则绘制根轨迹如下：出射角的计算：

（参考教材105页）六、具有时滞环节的系统开环传递函数为：闭环特征方程式为：若有特征根满足根轨迹的方程，则：当时，幅值条件与幅角条件和一般系统相同；在满足幅值条件下，对于一定的值，只有个特征根。当时，特征根的实部会影响幅值条件，而虚部会影响幅角条件。所以，时滞系统的幅角条件不再是常数，而是的函数。故对于一定的值，有无限多个特征根，相应地有无限多条根轨迹。时滞系统根轨迹的绘制法则：（参考教材Page115~117）例题4-6设系统的开环传递函数如下，绘制其根轨迹。由法则得时的根轨迹如下：由法则得时的根轨迹如下：4.2.4广义根轨迹（参数根轨迹）1、定义

当系统参数是以非开环增益为可变参数时绘制的根轨迹称为广义根轨迹（也称参数根轨迹）。与此对应

以开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为常规根轨迹。2、解决思路

绘制根轨迹前，对原传递函数作等效变换，使可变参数在变换后的等效传递函数中相当于开环增益K的位置，再根据已有法则绘制根轨迹。3、求的具体方法

对系统的特征方程作除法，即以特征方程中不含有

可变参数的各项去除方程，可得到的形

式，由此，将可变参数变换到了开环增益K的位置，其中就是原传递函数的等效传递函数。4、举例分析例4–7某控制系统结构图下，试绘制以为变量的根轨迹。由闭环系统特征方程式经整理得：等效传递函数：

2.按法则绘制根轨迹如下：

1.先求等效传递函数解2.按法则绘制根轨迹如下：1）两个开环极点；

一个有限零点在原点，

一个零点在无穷远；2）求会合点；3）根轨迹在复平面上是一

段圆心在原点，半径为

的圆弧。4）求使系统工作在欠阻尼

状态下，的取值范围。4.2.3零度根轨迹1、定义所谓零度根轨迹是指根轨迹的幅角条件为。换句话说满足方程

的轨迹是零度根轨迹。

2、零度根轨迹的来源

其一：控制系统为非最小相位系统，满足方程。（非最小相位系统指在右半平面有开环零极点的系统。）

其二：控制系统中包含正反馈内回路。

3、零度根轨迹的幅值和相角条件

由：即：3、绘制法则

绘制零度根轨迹只需将常规根轨迹法则中与相角条件有关的法则加以修改即可。绘制零度根轨迹的基本法则：对称性和连续性同常规根轨迹；起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹；渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，为：，有n-m个角度；实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零极点之和为

偶数（包括0）的区域。分离点、会合点：同常规根轨迹；出射角和入射角：例如图4-23的系统开环传递函数闭环特征方程式根据法则绘制根轨迹如下：根据法则绘制根轨迹如下：分离点和会合点：复平面上的根轨迹是一个圆。圆心为有限零点，半径为。4.3用根轨迹法分析系统的暂态特性

利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；分析参数变化对系统稳定性的影响；分析系统的瞬态和稳态性能；根据性能要求确定系统的参数；对系统进行校正。一、在根轨迹上如何确定特征根采用试探法：先在根轨迹上取一试点，然后连线开环零、极点，得到和代入幅值条件，求出。如果与已知值相等，则即为所求的特征根。

否则，再找试点，重复上述步骤，直到。条件：已知2.在实轴上选择不同试点，得到辅助线由辅助线可先确定出对应的实数根，再由根与系数的关系可求共轭复根。

例4–8已知系统结构图如下，试确定特征根。

已知：闭环系统特征方程式1.首先绘出根轨迹（参考教材页图4-14）。2.根据根轨迹在实轴上的情况，求实根。在间取不同试点，代入特征方程

，求得不同的，

从而得到的曲线，由此确定

的一个实数特征根。3.根据代数方程中根与系数的关系求共轭根。（特征根之和等于方程中项的系数。）先求另一对复根的实部，

再求虚部。以作垂线，其与根轨迹的交点就是所求复根的虚部值。二、用根轨迹法分析系统的暂态特性闭环系统有两个负实数极点和。单位阶跃响应是指数型。一般当

时，可忽略极点的影响。2.闭环极点为一对复极点单位阶跃响应为衰减振荡型（）。1）当，出现实数重根，

系统工作在临界阻尼状态，没有超调。2）当复极点在虚轴上，出现共轭纯虚根

，系统呈等

幅振荡。

假设不变：超调量与阻尼比、阻尼角的关系曲线如下：阻尼角越小，超调量越小；阻尼比越小，超调量越大。等阻尼比线示意图如下。在同一条阻尼比线上的复极点，有相同的超调量。（因为超调量只取决于阻尼比的大小。）设不变，则随着增大，复极点的实部和虚部都增大，系统响应速度加快，且能以较快速度到达稳定工作状态。表征系统指数衰减的系数，决定调节时间。（P123)一对复极点和一个零点一对复极点和一个实极点4.闭环系统除一对复极点外还有一个实极点，超调量将减小，调节时间增长。当，可以不考虑此极点的影响。3.闭环系统除一对复极点外还有一个零点，将使系统的峰值时间提前，相当于减小闭环系统的阻尼，从而使超调量增大。当时，可以不考虑此零点的影响。小结：根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点是可以看出开环系统放大系数变化时，系统暂态特性的变化情况。③③再减小，有一个极点靠近原点，暂态响应越来越慢；

④

，一对复数极点为

另一极点为

，它比的实部大得多，其影响可忽略。此时暂态指标可按二阶系统

计算。如图所示：时，闭环系统有一对极点位于虚轴，系统处于临界稳定；

，两个极点重合；①②三