专题1.2 矩形的性质与判定【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

PAGE1专题1.2矩形的性质与判定【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1矩形性质的理解】 1【题型2由矩形的性质求角度】 3【题型3由矩形的性质求线段长度】 8【题型4由矩形的性质求面积】 12【题型5矩形在平面直角坐标系中的运用】 16【题型6矩形中的的证明】 22【题型7添加条件使四边形是矩形】 26【题型8证明四边形是矩形】 29【题型9由矩形的性质与判定求值】 34【题型10由矩形的性质与判定进行证明】 41知识点1：矩形的性质定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．【题型1矩形性质的理解】【例1】（23-24九年级下·湖北随州·期末）在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列结论一定正确的是（）A．△AOB是等边三角形 B．AO=C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC【答案】B【分析】根据矩形的性质即可得．【详解】解：由题意，画图如下：∴AO=1∴△AOB是等腰三角形，不一定是等边三角形，AC⊥BD，BD平分∠ABC均不一定正确，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．【变式1-1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（

）A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等【答案】D【分析】根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论．【详解】解：A、两组对边分别相等，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；B、两条对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；C、两条对角线互相垂直，矩形和平行四边形都不一定具有，故不合题意；D、两条对角线相等，矩形具有而平行四边形不一定具有，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．【变式1-2】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（

）A．对角线互相平分 B．内角和为360°C．对角线相等 D．对角线互相垂直【答案】D【分析】根据菱形和矩形的性质依次判定即可.【详解】A.菱形和矩形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；B.菱形和矩形的内角和都为360°，故B选项不符合题意；C.矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意；D.菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，故D选项符合题意.故选：D【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键.【变式1-3】（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（

）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B．对角线AC的长度增大C．四边形ABCD的面积不变 D．四边形ABCD的周长不变【答案】C【分析】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题的关键．由题意得向左扭动框架ABCD，由矩形变成了平行四边形，四边形四条边不变，故周长不变，高变小，底不变，故面积变小，即可选出答案．【详解】解：向左扭动框架ABCD，由矩形变成了平行四边形，故A选项说法正确，A不符合题意；此时对角线BD减小，对角线AC增大，故B选项说法正确，B不符合题意；BC边上的高减小，面积就变小，故C选项说法错误，C符合题意；四边形四条边都不变，周长就不变，故D选项说法正确，D不符合题意．故选：C．【题型2由矩形的性质求角度】【例2】（2023·山西大同·模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH，∠1=∠2=30°，

A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】由矩形的性质可得∠D=∠C=90°，进而可得∠HGC=∠IJD=60°；再根据三角形内角和定理可得∠GMJ=60°；然后再证四边形NUMV是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠VNU=∠GMJ=60°，最后由对顶角相等即可解答．【详解】解：如图：∵矩形ABCD中，∴∠D=∠C=90°,∵∠1=∠2=30°，∴∠HGC=∠IJD=60°,∴∠GMJ=60°,∵IJ∥∴四边形NUMV是平行四边形，∴∠VNU=∠GMJ=60°,∴∠3=∠VNU=60°．故选D．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．【变式2-1】（23-24九年级下·湖南·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交AD于点E，若∠ACB=15°，则∠AOE的大小为【答案】60°/60度【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质，等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=12AC，OD=∴OA=OD，∠DAC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ODA=15°，∴∠AOD=180°−∠OAD−∠ODA=150°，∵OE⊥BD，∴∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD−∠DOE=60°，故答案为：60°．【变式2-2】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）已知：O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠EAO=15°，则∠BOE=(

)A．60° B．70° C．75° D．80°【答案】C【分析】先利用矩形的性质及已知条件证明∠BAE=12∠BAD=45°，BE=AB，再证ΔBAO是等边三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，进而得出【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线的交点，∴∠BAD=90°，OA=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=1∴∠AEB=90°−∠BAE=45°=∠BAE，∴BE=AB，∵∠EAO=15°，∴∠BAO=∠BAE+∠EAO=45°+15°=60°，∵OA=OB，.∴ΔBAO∴∠ABO=60°，OB=AB，∴∠OBE=90°−∠ABO=30°，OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=1故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，证明ΔBOE【变式2-3】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，且∠OAD=2∠OAE，则∠AOB的度数为【答案】72°或120°【分析】分两种情况，当∠AOB为锐角时，设∠OAE=α，则∠ODA=∠OAD=2∠OAE=2α，利用直角三角形两个锐角互余即可求解；当∠AOB为钝角时，证明△AED≌△AEOASA，推出△AOD【详解】解：分两种情况：（1）如图，当∠AOB为锐角时，

∵矩形ABCD中，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，设∠OAE=α，则∠ODA=∠OAD=2∠OAE=2α，∴∠AOE=∠ODA+∠OAD=4α，∵AE⊥BD，∴∠AOE+∠OAE=90°，即4α+α=90°，∴α=18°，∴∠AOE=4α=72°，即∠AOB=72°；（2）如图，当∠AOB为钝角时，

∵∠OAD=2∠OAE，∴∠DAE=∠OAE，∵AE⊥BD，∴∠AED=∠AEO=90°，在△AED和△AEO中，∠DAE=∠OAEAE=AE∴△AED≌△AEOASA∴DA=OA，又∵矩形ABCD中，OA=OD，∴DA=OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=180°−∠AOD=120°，综上可知，∠AOB的度数为72°或120°．故答案为：72°或120°．【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，注意分情况讨论是解题的关键．【题型3由矩形的性质求线段长度】【例3】（23-24九年级下·四川宜宾·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于12CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则A．2 B．83 C．3 D．【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，作角平分线，角平分线的性质，勾股定理；根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．【详解】解：如图，连接EG，根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，∴∠EBG=∠CBG，在△EBG和△CBG中，EB=CB∠EBG=∠CBG∴△EBG≌△CBG(SAS∴GE=GC，∠BEG=∠C=90°，在Rt△ABE中，AB=6，BE=BC=10∴AE=BE2−A∴DE=AD−AE=10−8=2，在Rt△DGE中，DE=2，DG=DC−CG=6−CG，EG=CG∴E∴CG解得CG=10故选：D．【变式3-1】（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，对角线AC上有一点G（异于A，C），连接DG，将△AGD绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，则BF的长为【答案】13【分析】过点F作FH⊥BA交BA的延长线于点H，根据旋转的性质得出∠FAH=30°，进而得出FH=1，勾股定理得出HA=3，在Rt【详解】解：如图，过点F作FH⊥BA交BA的延长线于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵将△AGD绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴∠DAF=60°，AD=AF，∴∠BAF=90°+60°=150°，∴∠FAH=30°，∴FH=1∴AH=A∵AB=3∴BH=AB+AH=23在Rt△FHB中，FB=故答案为：13．【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．【变式3-2】（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，AF平分∠BAD，E为矩形ABCD的对角线BD上的一点，EC⊥BD于点E，EC的延长线与AG的延长线交于点F，若BD=10，则CF的值是(

)

A．6 B．7 C．8 D．10【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，过A作AH⊥BD于H，连接AC，证明∠GAH=∠CAH，根据AH∥CE，得出∠F=∠GAH，则【详解】解：过A作AH⊥BD于H，连接AC，

∵AF平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，∠BAD=90°，OA=OD，∴∠BAH+∠DAH=∠ADB+∠DAH=90°，∴∠BAH=∠ADH，∵OA=OD，∴∠ADH=∠DAC，∴∠BAH=DAC，∴∠BAG−∠BAH=∠DAG−∠DAC，∴∠GAH=∠CAH，∵EC⊥BD，AH⊥BD，∴AH∥∴∠F=∠GAH，∴∠F=∠CAH，∴CF=AC=10．故选：D．【变式3-3】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，在边AD上取一点E，使BE=BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则EF的长为.【答案】3−5/【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先根据勾股定理求出AE=5,再结合矩形的性质证明△ABE≌△FCB得出AE=BF【详解】解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°，AD=BC=3，AD∥BC,∴∠AEB=∠FBC,∵BE=BC=3，AB=2,∴AE=B∵CF⊥BE,∴∠BFC=90°,在△ABE和△FCB中,∠A=∠CFB∠AEB=∠FBC∴△ABE≌△FCB(AAS∴BF=AE=5∴EF=BE−BF=3−故答案为：3−5【题型4由矩形的性质求面积】【例4】（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，DF=1，AF=BF，则四边形A．23 B．43 C．45【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，易证∠ACB=90°，可得四边形BCDE为矩形，即可证明△ADF≌△BEF，可求得BE的长，根据DF是△ABC中位线可以求得BC的长度，即可求得矩形【详解】解：∵AF=BF,∴F是AB的中点，∵D是AC中点，∴DF是△ABC中位线，∴DF∥∵DE是AC的垂直平分线，∴∠ADF=90°,∴∠C=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵在△ADF和△BEF中，∠ADF=∠BEF∠AFD=∠BFE∴△ADF≌∴BE=AD，∴DE=2，∵∠A=30°，∴AF=2DF=2,∴AD=A∴矩形BCDE面积=BC⋅BE=23故选：A．【变式4-1】（23-24九年级下·上海金山·期中）如图，长方形ABCD中，点E、F分别为AD、BC边上的任意点，△ABG、△DCH的面积分别为15和25，那么四边形EGFH的面积为．【答案】40【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线，连接EF，可得S△ABE=S△AEF，再根据面积的和差可得【详解】解：连接EF，∵S∴S又∵S△ABG=∴同理∵S∴S又∵S△DCH=∴∴S故答案为：40【变式4-2】（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=CG=4，AH=CF=2．点P为矩形内一点，四边形AEPH、四边形CGPF的面积分别记为S1、S2，则S【答案】21【分析】本题考查矩形的性质，过P作PK⊥AB并延长KP交CD于T，过P作PM⊥AD并延长MP交BC于N，结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案．【详解】过P作PK⊥AB并延长KP交CD于T，过P作PM⊥AD并延长MP交BC于N，连接PA，PB，PC，PD，∵四边形ABCD是矩形，AB=5，BC=8，AE=CG=4，AH=CF=2，∴BE=DG=AH=CF=2，AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，，∵PK⊥AB，PM⊥AD，∴PK+PT=AD，PM+PN=MN，∴S1+===16+5=21．故答案为：21．【变式4-3】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，点E是矩形ABCD内一点，连结AE，DE，AC，EC，BE，知道下列哪个选项的值就能要求△AEC的面积（

）

A．△ABE与△BEC面积之差 B．△ADE与△BEC面积之差C．△DEC与△BEC面积之差 D．△ADC与△DEC面积之差【答案】C【分析】过E作EM⊥AB于M，延长ME交CD于N，由四边形ABCD是矩形，得到AB∥DC，AB=DC，由△EAB的面积=12AB⋅EM，△ECD的面积=12DC⋅EN，推出△EAB的面积+△ECD的面积=△ABC的面积，而△AEC的面积【详解】解：过E作EM⊥AB于M，延长ME交CD于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴EN⊥DC，∵△EAB的面积=12AB⋅EM，△ECD∴△EAB的面积+△ECD的面积=12AB⋅EM+EN=∵△ABC的面积=矩形ABCD的面积×1∴△EAB的面积+△ECD的面积=△ABC的面积，∵△AEC的面积=△ABC的面积−△ABE的面积−△BEC的面积，∴△AEC的面积=△EAB的面积+△ECD的面积−△ABE的面积−△BEC的面积=△ECD的面积−△BEC的面积．故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式推出△EAB的面积+△ECD的面积=△ABC的面积．【题型5矩形在平面直角坐标系中的运用】【例5】（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是−6,4，点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（）A．−1,0 B．−2,0 C．−3,0 D．−4,0【答案】A【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称最短路径问题，坐标与图形，求一次函数与坐标轴的交点坐标，取点E关于x轴的对称点E′，连接PE′，连接DE′交x轴于点P′，则PD+PE最小值为DE′，此时点P位于P′处，利用矩形的性质得到AC=6【详解】解：取点E关于x轴的对称点E′，连接PE′，连接DE′∴PE∵PD+PE=PD+PE∴PD+PE最小值为DE′，此时点P位于∵四边形ABOC是矩形，点A的坐标是−6，∴AC=6，∵点D、E分别为AC、OC的中点，∴D−3∴E设直线DE′的解析式为∴−3k+b=4b=−2解得k=−2b=−2∴直线DE′的解析式为当y=0时，0=−2x−2，解得x=−1，∴P′即当PD+PE最小时，点P的坐标为−1，故选：A．【变式5-1】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线OE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点C恰好落在边AD上的点F处若点D的坐标为4,5，则点E的坐标为

【答案】E【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，坐标的意义，得到OA=CD=4，OC=AD=OF=5，根据勾股定理，得到AF=OF2−OA2=3【详解】∵长方形AOCD沿直线OE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点C恰好落在边AD上的点F处，点D的坐标为4,5，∴OA=CD=4，OC=AD=OF=5，∠D=∠A=90°，CD∥x轴，∴AF=OF2设CE=EF=x，则DE=CD−CE=4−x，Ex,5∴x2解得x=5故E5故答案为：E5【变式5-2】（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点

【答案】2/3/8【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质，当OP=OD时，当OD=PD时，当OP=PD时分类讨论，正确分类讨论是解题的关键．【详解】解：如图，过点P作PM⊥OA于点M，

(1)当OP=OD时，OP=5，CO=4，易得CP=3，∴P(3,4)；(2)当OD=PD时，PD=DO=5，PM=4，易得MD=3，从而OM=2或OM∴P(2,4)或(8,4)；

(3)当OP=PD时，P(5

此时腰长为：(5综上，满足题意的点P的坐标为(3,4)，(2,4)，(8,4)，∴点P的横坐标为2，3或8．【变式5-3】（23-24九年级下·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是原点，顶点A0,12，顶点C5,0；点D是BO的中点，点E是直线AB上的动点，若∠CDE=3∠【答案】E−13【分析】根据题意“点E是直线AB上的动点，若∠CDE=3∠BED，”进行分类讨论：点E是直线AB上的动点，或E在BA【详解】解，当E在AB的延长线上，过点D作直线l∥AE如图所示：∵∠1=∠2∵四边形ABCD是矩形，顶点A0,12，顶点∴AE∥OCOB=∴∠3=∠4∵∠CDE=3∠BED∴∠1=3∠EDC=∠2+∠3∴∠3=2∠1∴∠BDE=∠1则BD=BE=∵B∴E当E在BA的延长线上，过点D作直线MN∥AE如图所示：∵四边形ABCD是矩形，MN∥AE∴EB∥OC∥MN∴∠ADM=∠ACO∵四边形ABCD是矩形，顶点A0,12，顶点∴∠BOC=∠ACO∵∠CDE=3∠BED∴∠BAC=∠MDO=2∠BED∵∠BAC=∠BED+∠ADE故∠BED=∠ADE∴AE=AD=∵顶点A0,12，顶点∴E当点E在AB之间，过点D作直线MN∥AE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，顶点A0,12，顶点∴∠BOC=∠ACO∵∠2=∠BAD+∠ADE∴∠2>∠BAD∵AB=5<6.5∴∠ADB<60°则∠2>∠BAD=∵∠CDE=3∠BED∴∠CDE=3∠BED>3×60°=180°（舍去）综上：E−13故答案为：E−13【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、矩形的性质，外角性质，综合性强，难度较大，正确熟练作图并运用数形结合思想是解题的关键【题型6矩形中的的证明】【例6】（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG、BG、DG．

(1)求证：BC=DF；(2)求证：△DCG≌△BEG；(3)求证：AC=2【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）证明△ADF是等腰直角三角形，即可得证；（2）在Rt△EFC，G是EF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CG=FG=EG，根据BC=DF，可得BE=CD，进而根据∠CEF=∠FCG=45°得出，∠BEG=∠DCG=135°（3）连接BD，根据矩形的性质可得AC=BD，进而证明△DGB是等腰直角三角形，即可得出结论．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°，∵AF平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF=AD，∴BC=DF．（2）在Rt△EFC，G是EF∴CG=FG=EG，则△FCG,△CGE是等腰直角三角形，∠GCE=45°，∵BC=DF，∴BE=CD，∵∠CEF=∠FCG=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°，∴△DCG≌△BEG（3）连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∵△DCG≌△BEG，∴DG=BG，∠CGD=∠EGB，∴∠CGD+∠AGD=∠EGB+∠AGD=90°，∴△DGB是等腰直角三角形，∴BD=2∴AC=

【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式6-1】（23-24九年级下·广东江门·期中）已知：如图，M是矩形ABCD外一点，连接MB、MC、MA、MD，且MA=MD．求证：MB=MC．

【答案】见详解【分析】可证∠MAB=∠MDC，从而可证△ABM≌△DCM（【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∵AM=DM，∴∠MAD=∠MDA，∴∠BAD+∠MAD=∠CDA+∠MDA，∴∠MAB=∠MDC，在△ABM和△DCM中AB=CD∠MAB=∠MDC∴△ABM≌△DCM（∴MB=MC．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握性质及判定方法是解题的关键．【变式6-2】（23-24九年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC边上，AF，DE交于点M，且AM=DM，求证：BF=CE．【答案】证明见解析【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，由矩形的性质得出AB=CD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，由等边对等角得出∠MAD=∠MDA，推出∠BAF=∠CDE，再由ASA证明△ABF≌△DCE，即可得证．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵AM=DM，∴∠MAD=∠MDA，∴∠BAD−∠MAD=∠ADC−∠MDA，即∠BAF=∠CDE，∴△ABF≌△DCEASA∴BF=CE．【变式6-3】（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G，GE=GH．求证：BE=CF．

【答案】见解析【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是灵活运用这些知识．由FH⊥EF，GE=GH，得到GE=GH=GF，推出∠GFE=∠E，根据矩形的性质得到AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，证明△ABF≌【详解】证明：∵FH⊥EF，GE=GH，∴GE=GH=GF，∴∠GFE=∠E，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，在△ABF和△DCE中，∠E=∠AFB∠ABF=∠DCE∴△ABF≌∴BF=CE，∴BF−BC=CE−BC，即CF=BE．知识点2：矩形的判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.【题型7添加条件使四边形是矩形】【例7】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC,OB=OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（

）A．AB=AD B．OA=OB C．AB⊥AD D．∠ABO=∠BAO【答案】A【分析】根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，然后再根据四个选项所给条件一一进行判断即可得出答案．【详解】解：∵在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC,OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，A、添加条件AB=AD，可得四边形ABCD是菱形，但不一定是矩形，故符合题意；B、若OA=OB，则AC=BD，故四边形ABCD是矩形，故不符合题意；C、若AB⊥AD，则∠BAD=90°，故四边形ABCD是矩形，故不符合题意；D、若∠ABO=∠BAO，则OA=OB，则AC=BD，故四边形ABCD是矩形，故不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的定义及判定定理是解答此题的关键．【变式7-1】（23-24九年级下·贵州黔南·期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，不能判定四边形ABCD为矩形的是（

）A．AD=BC且AC=BD B．AD=BC且∠A=∠BC．AB=CD且∠A=∠C D．AB∥CD且AC=BD【答案】C【分析】根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可；【详解】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；D、∵AD∥BC，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键．【变式7-2】（23-24九年级下·河南商丘·期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形AEFD是矩形的是（）A．EF=AD B．∠AEB=∠DFCC．BE=CF D．∠DAE=∠AEF【答案】D【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．由平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，再证AD=EF，得四边形AEFD是平行四边形，然后证【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵AD=EF，AD∥∴四边形AEFD是矩形，故A不符合题意；∵∠AEB=∠DFC，∴AE∥∵AD∥EF，∴四边形AEFD是矩形，故B不符合题意；∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，∴AD=EF，∴四边形AEFD是平行四边形，又∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴平行四边形AEFD是矩形，故C不符合题意；∵∠DAE=∠AEF=90°，∴AD∥EF，故四边形故选：D．【变式7-3】（23-24九年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()A．DB＝DE B．AB＝BE C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE【答案】A【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵DE＝AD，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵DB=DE，∴▱DBCE为菱形，故本选项错误；B、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项正确；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项正确；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项正确．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．【题型8证明四边形是矩形】【例8】（23-24九年级下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE=DG，BF=DH．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)当AB=BC，且BE=BF时，请判断四边形EFGH的形状并证明．【答案】(1)见解析(2)四边形EFGH是矩形，证明见解析【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；（1）根据全等证得EF=HG，EH=FG，对边相等，即可证得四边形EFGH是平行四边形；（2）证得四边形EFGH中一个角为直角，即可证得四边形EFGH是矩形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∠A=∠C，∵BE=DG，BF=DH，且∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH(SAS∴EF=HG，同理可得EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）四边形EFGH是矩形，证明如下，∵AB=BC，BE=BF∴AB=BC=CD=AD，BE=BF=DH=DG，∴AE=AH，∵AD∥∴∠B+∠A=180°，∵BE=BF，AE=AH，∴∠BEF=∠BFE=180°−∠B2，∠AEH=∠AHE=180°−∠A∴∠AEH+∠BEF=90°，∴∠FEH=90°，∴平行四边形EFGH是矩形．【变式8-1】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，BE=DF，连接AC、EF、AE和CF，AC=EF．请判断四边形AECF的形状，并说明理由．【答案】四边形AECF是矩形，理由见解析【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记矩形的判定、平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，最后由矩形的判定方法可得结论．【详解】解：四边形AECF是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵BE=DF，∴AD−DF=BC−BE，即AF=EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形．【变式8-2】（23-24九年级下·上海松江·期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长BA至点H，使AH=BA，连接DH，过点H作HG∥DB，过点B作(1)求证：HD=AC；(2)当DA=AB时，求证：四边形HGBD是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等．（1）由平行四边形的性质得DC∥AB,DC=AB，由平行四边形的判定方法得ACDH是平行四边形，由平行四边形的性质得HD=AC；（2）由菱形的性质得AC⊥BD，可得四边形HGBD是平行四边形，由矩形的判定方法即可判定．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB,DC=AB，∵AH=BA，∴DC=AH，又∵DC∥AH，∴四边形ACDH是平行四边形，∴HD=AC．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=BO，∵DA=AB，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∵HD∥AC，∴∠HDB=90°，

∵四边形ACDH是平行四边形，∴HD∥AC，∵BG∥AC，∴HD∥BG，∵HG∥DB，∴四边形HGBD是平行四边形，∵∠HDB=90°，∴四边形HGBD是矩形．【变式8-3】（23-24九年级下·贵州毕节·期末）如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE=OF；(2)若CE=4，CF=3，求(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)5(3)当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由见解析【分析】（1）由CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线，可得∠ACE=∠BCE=12∠ACB，∠ACF=∠DCF=12∠ACD，由MN∥BC，可得∠OEC=∠BCE=∠ACE，（2）由（1）可知，∠ACE=∠BCE=12∠ACB，∠ACF=∠DCF=12∠ACD，则（3）当O为AC的中点时，AO=CO，可证四边形AECF是平行四边形，由∠ECF=90°，可证平行四边形AECF是矩形．【详解】（1）证明：∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线，∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠ACE，∠OFC=∠ACF∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；（2）解：由（1）可知，∠ACE=∠BCE=12∠ACB∴∠ACE+∠ACF=1即∠ECF=90°，由勾股定理得，EF=C∴OC=OE=OF=EF∴OC=5（3）解：当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下；证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，矩形的判定等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，矩形的判定是解题的关键．【题型9由矩形的性质与判定求值】【例9】（23-24九年级下·湖北武汉·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，D，E分别为AC,BC上的点，AD=CE=2，F，G分别为AE，BD的中点，连FG，则FG

【答案】10【分析】取AB的中点H，连接HF，HG并延长交AC于点I，交BC于点J，根据三角形中位线定理得出HG=12AD=1，HG∥AC，HF=【详解】解：如图，取AB的中点H，连接HF，HG并延长交AC于点I，交BC于点J，

∵F，G分别为AE，BD的中点，∴HG是△ABD的中位线，HF是△AEB的中位线，∴HG=12AD=1，HG∥AC∴四边形IHJC是平行四边形，∵∠C=90°，∴四边形IHJC是矩形，∴∠FHG=90°，∴FG=H故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据三角形中位线的性质和已知条件得到∠FHG=90°是解答本题的关键．【变式9-1】（23-24九年级下·山东临沂·期末）如图，点A0,23，点B2,0，点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则四边形OMPN【答案】3【分析】首先连接OP，易得四边形ONPM是矩形，即可得在Rt△AOB中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，则四边形OMPN的面积可求．【详解】解：如图，连接OP．由已知可得：∠PMO=∠MON=∠ONP=90°．∴四边形ONPM是矩形．∴OP=MN，在Rt△AOB中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小．∵A0，23根据勾股定理可得：AB=A∵S∴OP=∴MN=3即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为3在Rt△POB中，根据勾股定理可得：∴BP=O∵S△OBP=∴1∴PN=在Rt△PON中∴ON=O∴S故答案为：3【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式9-2】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，点E是长方形ABCD的边CD延长线上一点，连接AE，点F是边AD上一个动点，将△AEF沿EF翻折得到△PEF，已知AB=1，AD=4，DE=3(1)求AE的长；(2)若点P落在DC的延长线上，求△AEF的面积；(3)若点P落在射线BC上，求AF的长.【答案】(1)5(2)15(3)1或25【分析】此题考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握长方形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键．（1）根据长方形的性质及勾股定理求解即可；（2）根据翻折的性质推出AE=PE=5，AF=PF，根据勾股定理及线段的和差求出AF=5（3）分两种情况：点P落在线段BC上，点P落在线段BC的延长线上，根据长方形的性质及勾股定理求解即可．【详解】（1）解：∵点E是长方形ABCD的边CD延长线上一点，∴∠ADC=∠ADE=90°，AB=CD=1，∵DE=3，AD=4，∴AE=A（2）如图，点P落在DC的延长线上，由翻折性质得，△AEF≌△PEF，∴AE=PE=5，AF=PF，∵DE=3∴DP=PE−DE=2设DF=x，则AF=PF=4−x，∵∠ADC=90°∴D∴解得：x=3∴AF=5∴S（3）点P落在线段BC上，如图，过点F作FM⊥BC于点M，∴∠FMB=90°，∵四边形ABCD为长方形，∴∠DAB=∠B=90°，AD=BC=4，AB=CD=1，∴四边形ABMF矩形，∴AF=BM，在△CEP中，∠C=90°，PE=AE=5，CE=DE+CD=4，∴CP=P∴BP=BC−CP=1∴MP=BP−BM=1−AF，在△FMP中，PF=AF，PF∴A∴AF=1，此时点P与M重合；点P落在线段BC的延长线上时，如图，过点F作FN⊥BC于点N，∵∠BCD=90°，∴∠ECP=180°−90°=90°∴CE=CD+DE=4，PE=AE=5，∴CP=P设AF=x，则DF=4−x，∵FN⊥BC，∠ADC=∠BCD=90°∴四边形FNCD为矩形，∴DF=NC=4−x，FN=CD=1∴PN=CP+NC=3+4−x=7−x，∵FN2+P∴∴x=257，即综上，点P落在射线BC上，AF的长为1或257【变式9-3】（23-24九年级下·天津滨海新·期末）如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A15,0．点C0,9，在边AB上任取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点

(1)OA的长=______，OE的长=________，CE的长=________，AD的长=________；(2)设点P在x轴上，且OP=EP，求点P的坐标．【答案】(1)15

15

12

5(2)P(9.375,0)【分析】（1）由点A、点C的坐标可求得OA、OC的长，由翻折的对称性知，OE=OA；由勾股定理，在Rt△OCE中可求得CE的长；于是可求得BE的长，设AD=DE=x，BD=9−x，则在Rt（2）自点E作EH⊥OA，垂足为H．利用矩形的性质可求得EH、OH的长，设OP=EP=x，则在Rt△EHP中利用勾股定理可求得x=OP的长，于是点P【详解】（1）如图．

由点A(15,0)可知，OA=15．由△AOD沿OD翻折变成△EOD知，△AOD≅△EOD，∴OE=OA=15．由点C0,9知，OC=9∴CE=O∴BE=BC−CE=OA−CE=15−12=3．由△AOD≅△EOD得，AD=DE，设AD=DE=x，则BD=AB−AD=OC−AD=9−x．在Rt△BDE中，即：x2解得：x=5．∴AD的长=5．（2）自点E作EH⊥OA，垂足为点H．则四边形OCEH是矩形．∴OH=CE=12，设OP=EP=x，则PH=OH−OP=12−x．在Rt△EHP中，∴x解得：x=9.375．∴点P的坐标为9.375,0【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、矩形的折叠等知识点，解题的关键是将条件集中在一个直角三角形内，利用勾股定理求解．【题型10由矩形的性质与判定进行证明】【例10】（23-24九年级下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．(1)在图1中证明CE=CF；(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．【答案】(1)证明见解析；(2)BD=2DG．证明见解析．【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可；（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可得△BEG≌△DCG，进而求出△DGB为等腰直角三角形，即可得出答案．【详解】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）如图2，连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，EG=CG∠BEG=∠DCG∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°，∴