2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.3.1 一元二次方程的简单应用(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.3.1一元二次方程的简单应用(含答案)22.3.1一元二次方程的简单应用◆课堂测控知识点一元二次方程简单的应用1．两连续奇数之积为63，设一个奇数为x，另一个为_____，得方程______．2．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则可列方程为__________．3．（改创题）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45份合同，设共有x家公司参加商品交易会，则可列方程为________．◆课后测控4．一个两位数，个位数比十位数大3，且个位数的平方等于这个两位数，这个两位数为_____．5．用一根长24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则两直角边长分别为______．6．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程并求其解．7．已知菱形面积为20，两条对角线的差是3，求两对角线的长．8．（经典题）张大爷从市场上买回一块矩形铁片，将铁片的四个角各剪出一个边长为1米的正方形，如图所示，剩下的部分刚好能围成一个容积为8米3的无盖长方体且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，问张大爷应购买多大的铁皮？◆拓展测控9．（探究题）某人过新年用手机向他的一些好朋友发短信，获得信息的人也按该人发送的人数再加1人向外发短信，经过两轮短信的发送共有35人手机上获得新年问候的同一条信息，问第一轮和第二轮各有多少人收到新年问候的短信？答案:1．x+2，x（x+2）=632．x（x－1）=903．x（x－1）=45[总结反思]数学问题，直角三角形边长问题，朋友聚会握手问题，用未知数和已知数刻画有关代数式再列一元二次方程．4．25或36（点拨：设十位数为x，则个位数为x+3，（x+3）2=10x+x+3，x2－5x+6=0）5．6cm，8cm（点拨：设一直角边长为xcm，（14－x）2+x2=102）6．解：设全班有x名同学，每人送出（x－1）张相片．则共有x（x－1）张，得方程x（x－1）=2550，所以x2－x－2550=0，（x－51）（x+50）=0，x1=51，x2=－50．答：全班有51人．[易错提示]本题x（x－1）不能同握手问题除以2．7．解：设菱形一条对角线为x，则另一条对角线为x+3．依菱形面积公式得x（x+3）=20，所以x2+3x－40=0，解得x1=5，x2=－8（舍），x+3=5+3=8．所以菱形对角线长为5和8．[解题思路]运用菱形面积计算公式S=L1L2（L1，L2是对角线长）列方程．8．解：设运输箱底面宽为x，则长为x+2．依题意得方程x（x+2）=8，所以x2+2x－8=0，解得x1=2，x2=－4（舍）．铁皮面积为（x+2）（x+2+2）=（2+2）（2×3）=24米2．[解题规律]运用底面积×高=8米2构建一元二次方程求解．9．解：设某人向x人发短信，获得短信的x人，每人向外发（x+1）次短信，二次共有35人收到短信．则x+x（x+1）=35．解得x1=5，x2=－7（舍）．答：第一轮5人收到短信，第二轮有30人收到短信．22.3.3销售问题与电费问题课堂测控知识点一调价、售价问题1．（过程探究题）现将进价为40元的商品按50元售出时，每天能卖出500件，已知这批商品每件涨价2元，其销售量将减少20件，那么为了每天赚取8000元利润，售价定为多少？解：设每件定价为x元，则每件利润为（x－40）元，共销售了（500－20·）件，根据题意列方程：（x－40）·（）=8000，解得x1=____，x2=______．答：故单价应定为_______元或________元．2．某商户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该商户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，该商户要想每天赢利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？知识点二电费问题3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只要交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费用外，超过部分还要按每度元交费，下表是一户居民3月，4月的用电情况和交费情况．月份用电量（度）交电费（元）3月80254月4510求A的值．◆课后测控4．（改创题）某种病毒在其生长过程中，在保证自身稳定性的前提下，每隔半小时繁衍若干个新的病毒，如果由最初的一个病毒经过1小时后变成121个病毒，问一个病毒每半小时繁衍多少个病毒？◆拓展测控5．（经典题）春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图所示对话中的收费标准．某单位组织员工去天水湾风景区游泳，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少名员工去天水湾风景区旅游？答案:1．500－20·，60，80，60，802．设应将每千克小型西瓜的售价降低x元，根据题意得（3－2－x）（200+）－24=200．整理得50x2－25x+3=0，解得x1=0.2，x2=0.3．答：将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．[解题技巧]调价，售价问题扣住：利润=售价－进价这个关系式．3．解：由题意得方程10+（80－A）·=25．整理得：A2－80A+1500=0，解得A=30或50，由4月份交电费10元看出4月份的用电量45度没有超过A度，∴A≥45，∴A=50．答：规定用电的度数为50度．[解题技巧]超过A度超过部分收费是（80－A）元，这个代数式是列方程中一个重要式子4．解：设一个病毒隔半小时繁衍x个，则1+x+（1+x）x=121，即x2+2x－120=0，解得x1=10，x2=－12（舍去），∴每半小时繁衍10个病毒．[解题技巧]寻找病毒繁衍规律，第2个半小时有（x+1）个病毒共繁衍（x+1）x个病毒．5．解：设共有x名员工去天水湾，∵1000×25<27000，所以员工一定超过25人，由题意得[1000－20×（x－25）x]=27000，整理得x2－75x+1350=0，解得x1=45；x2=30．当x1=45时，1000－20（x1－25）=600<700（舍去）；当x2=30时，1000－20（x2－25）=900>700，符合题意．答：有30名员工去天水湾风景区旅游．[解题思路]由对话框，超过25人的人数为（x－25）人，每人降低20元，共降低了20（x－25）元．实际每人收了[1000－20（x－25）]元，这个代数式是列方程的关键．22.3.4面积问题与变速问题◆课堂测控知识点一面积问题1．如图1所示，8块相同的长方形地砖拼成面积为2400cm2的大矩形，则该小矩形的周长为_______．图1图22．一个长100m，宽60m的矩形游泳池扩建成一个周长为600m的大型矩形水上游乐场，把游泳池的长增加xm，水上游乐场面积为20000m2，列出方程为_______．3．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图2所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x满足方程是（）A．x2+130x－1400=0B．x2+65x－350=0C．x2－130x－140=0D．x2－65x－250=0知识点二变速运动问题4．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下的关系式：h=vt－gt2，其中h是上升高度，v是初速，g是重力加速度（为方便起见，本题目中的g取10cm/s2），t是抛出后所经过时间．如果将一物体在每秒25m的初速向上抛，则它在离抛出点20m高的地方时经过了（）A．1sB．4sC．1s或4sD．非以上答案5．（教材变式题）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行40m后停车，并且均匀减速．（1）汽车速从20m/s到0m/s是均匀减速，则这段时间内平均车速是______m/s，从刹车到停车用了______s．（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为_____m/s．（3）刹车后汽车滑行到17.5m时用了多长时间？◆课后测控6．一个长方形，将其长缩短5cm，宽增加3cm后变成了正方形，且面积比原来减少了5cm2，那么正方形面积为____．7．一个跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h=－5（t－2）（t+1），则运动员起跳到入水所用的时间是（）A．－5sB．2sC．－1sD．1s8．如图3所示，一条长为64cm铁丝剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形面积为160cm2，则这两个正方形边长为（）A．8cm，8cmB．10cm，6cmC．12cm，4cmD．14cm，2cm图3图49．已知直角三角形两条直角边长恰为方程x2－5x+6=0两个根，则此直角三角形的斜边长为（）A．B．C．3D．1310．如图4所示，使用墙的一边，再用13m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20m2矩形，设墙的对边长为xm，可得长，宽分别为（）A．5m，4mB．5m，4m或8m，mC．m，8mD．m，5m11．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，若P，Q分别从A，B同时出发，问过多少秒后，△PBQ的面积为8cm2和10cm2？12．（教材变式题）如图所示，某小区规划在一个长40m，宽26m的矩形场地ABCD上修建三条相同宽度的甬路，使其中两条与AD平行，另一条与AB平行，其余6块部分种草，使每块草坪面积都是144m2，求甬路宽度．◆拓展测控13．（2008，南京）如图所示，某村计划建造如图22－3－9所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道，当矩形温室的长与宽为多少时，蔬菜种植区域的面积为288m2？答案:1．80cm2．（100+x）（200－x）=200003．B[总结反思]面积问题运用数形结合思想求解．4．C（点拨：20=25t－5t2，∴t2－5t+4=0．）5．（1）10，4（2）5（3）设刹车后滑行到17.5m时用了xs，则可列方程·x=17.5，整理得x2－8x+7=0，解得x1=7，x2=1，∵x=7时，20－5x=－15<0（舍去），∴x=1．答：故刹车后汽车行驶到17.5m时用1s．[总结反思]平均速度是总路程除以总时间，x秒后速度为20－5x，用平均速度×时间=路程列方程．6．100cm27．D8．C点拨：这两个正方形边长分别为a，b，则4a+4b=64，a2+b2=160，∴a+b=16，a=16－b，即（16－b）2+b2=160，解得b=12，a=4．）9．A10．B11．解：设x秒后△PBQ面积为8cm2，则·（6－x）·2x=8，解得x1=2，x2=4，△PBQ面积为10cm2不可能，设x秒后有10cm2，则（6－x）·2x=10，得x2－6x+10=0无解．[解题规律]PB，PQ用含x代数式表示，运用面积列方程．12．解：设甬路宽度为x米，依题意可列方程（40－2x）（26－x）=144×6，整理，得x2－46x+88=0，解得x1=2，x2=44（舍去）．答：甬路宽度为2米．[解题技巧]草地的长，宽用含x代数式表示，长×宽=6×144，这里6易掉．13．解：设长为2x，宽为x，则蔬菜种植区域长为（2x－4）米，宽为（x－2）米．依题意得方程（2x－4）（x－2）=288，即2x2－4x－4x+8=288，2x2－8x－280=0．解得x1=14，x2=－10（舍去）．答：温室长为28m，宽为14m．[解题技巧]运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程．22.3.5一元二次方程综合运用◆课堂测控知识点一元二次方程在实践中应用1．为了合理利用水资源，某城市对一工厂的生产用水做出限额，超过限额则要加价收费，现该厂用水160万吨，需交水费175万元，求限额单价M．（M≥0.8元/吨）用水量（万吨）1~100101~150151以上单位（元/吨）M2．某旅社现有客房120间，每间客房日租金为50元，每天都客满．旅社装修后要提租金，经调查发现若每间客房日租金每增加5元，每天少租客房6间（不考虑其他因素）．求客房日租金提高多少元，客房日租金总收入能达6750元？◆课后测控3．机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲，乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量多少千克？用油的重复利用率是多少？4．如图所示，反比例函数y=与一次函数y=2x－1，在第一，三象限分别交于A，B两点．（1）求A，B两点坐标;（2）求S△AOB．◆拓展测控5．（改创题）如图所示，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上；点FAB上，点B，E在反比例函数y=（x>0）的图象上．（1）正方形MNPB中心为原点O，且NP∥BM，求正方形MNPB面积．（2）求点E的坐标．答案:1．解：设限额单价为M，则得方程100M+50×+10×=175．整理得4M2－7M+3=0，解得M1=1，M2=<0.8（舍去），所以限额单价为1元/吨．[解题技巧]160万吨分为100，50，10万吨3个段，价格各段不相同．2．解：设每间客房租金增加5x元，客房减少y则=，则y=6x，依题意得方程，（120－6x）（50+5x）=6750，整理得x2－10x+25=0，∴x1=x2=5．租金提高5x=5×5=25元．答：每间房提高租金为25元．[解题思路]类似商品调价问题把变化后客房数量及每间房的租金用含x的式子表述．3．解：（1）由题意，得70×（1－60%）=28（千克）．（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑油量为x千克，由题意有x[1－（90－x）1．6%－60%]=12．整理得x2－65x－750=0，解得x1=75，x2=－10（舍去）．（90－75）×1.6%+60%=84%．[解题思路]减少（90－x）千克润滑油，重复利用量为1.6%（90－x）千克，实际重复利用油量变为[60%+（90－x）1.6%]千克这是本题难点．4．解：（1）解方程组，得=2x－1，2x2－x－1=0，∴x1=1，x2=－，A（1，1），B（－，－2）．（2）设y=2x－1与x，y轴交于C，D，则C（，0），D（0，－1），∴S△AOB=S△OCA+S△BOD+S△OCD=××1+×1×+××1=．[解题技巧]运用方程组求点的坐标，由坐标再求面积．5．解：（1）设B点坐标为（a，），∵a=，∴a=±1，B（1，1），正方形MNPB的面积为2×2=4．（2）设AD为b，则OD=1+b，而E的纵坐标为b，∴xy=1即（1+b）b=1，b2+b－1=0．∴b1=，b1=（舍去）．即E的横坐标为1+=．∴E（，）．[解题规律]运用数形结合思想，xy=1，设AD=b，则OD=1+b，代入xy=1得方程可求E点坐标．第22章一元二次方程(§22.3）同步学习检测（时间45分钟满分100分）班级_____学号姓名_______得分___一、填空题（每题3分，共30分）1．若代数式x2-2x与9-2x的值相等，则x=．2．若单项式和单项式能合并，则m的值为．（第4题）3．已知两个连续正奇数的积等于63,则这两个数是．（第4题）4．如图，是一个长方形的土地，长50m，宽48m．由南到北，由东到西各修筑一条同样宽度的彩石路，要使空地的面积是2208m2，如果设小路宽为xm，根据题意所列的方程为．5．在一幢高125m的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度h（m）与时间t（s）大致有如下关系：h＝125－5t2．秒钟后苹果落到地面．6．一个数的平方等于它本身，你认为这个数是．7．如果将一条长为12cm的铁丝剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于5cm2，则这两个正方形的边长为．8．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有人．9．放汽车上桥时，所行路程S（m）与时间t（s）之间的函数关系是S＝50t－3t2（t＞0），这汽车在秒内，可以行123m路程．10．长为10cm的线段AB上有一点C．如果AC2＝AB·BC，则线段AC的长为．二、选择题（每题3分，共24分）11．大成游乐园规定：如果一个人参加游戏，则给这个人一个奖品；如果两个人参加游戏，则给每人两个奖品；如果三个参加游戏，则给每个人三个奖品；……如果设x个人参加游戏，给出奖品一共有36个，则参加游戏的人数为（）A．4B．6C．8D．10ACD（第12题）12．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2ACD（第12题）BA．x（76－x）＝672B．x（76－2x）＝672BC．x（76－2x）＝672D．x（76－x）＝67213．裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，下列各式中，正确表示这个商店第一季度的总利润的是（）A．50[m2＋3m＋3]万元B．50＋50（1＋m）2万元C．50＋50（1＋2m）万元D．50＋50（1＋m）＋50（1＋m）2万元14．两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（）A．－19B．5C．17D．5115．小明用一根长为30厘米的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为13厘米，则该三角形的面积等于（）A．15厘米2B．30厘米2C．45厘米2D．60厘米2BACPQ（第16题）16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为1cm／秒，点Q的速度为2cm／秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△BACPQ（第16题）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟（第18题）17．某种商品经过两次降价后，由原来价格10元降到现在价格8﹒1元，则这种商品平均每次降价的百分率为（第18题）A．10%B．25%C．80%D．90%18．如图所示，把底面直径为60mm米，高为200mm的圆柱形钢材，锻压成底面为正方形，高为157mm的长方体零件毛坯，那么零件毛坯的底面正方形的边长为（）（取3.14）A．30mmB．40mmC．50mm