2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.2 降次解一元二次方程(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.2降次解一元二次方程(含答案)22.2降次——解一元二次方程情境感知我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步？”基础准备一、配方法1．配方法的定义把一元二次方程的左边化成一个____________________，右边变成一个___________．通过这种形式解一元二次方程的方法，叫做配方法．2．用配方法解一元二次方程的步骤（1）如果二次项系数不是1，就在方程两边同时除以_____________，将其化为1；（2）把___________移到方程的右边；（3）方程两边都加上_________________的平方，使方程的左边变为一个完全平方式；（4）如果方程的右边是一个非负数，根据平方根的定义解方程．问题1．用配方法解方程：．二、公式法3．一元二次方程的根可用式子______________________求得，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．问题2．用公式法解方程：．4．求根公式中的____________叫做一元二次方程的根判别式．（1）当__________时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当__________时，一元二次方程有两个相等的实数根；（3）当__________时，一元二次方程没有实数根．问题3．不解方程，判断下列关于的方程的根的情况：（1）；（2）．三、因式分解法5．对于一元二次方程，一边是_________，另一边化为两个_____________的乘积，再使这两个因式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法．问题4．用因式分解法解下列方程（1）；（2）．要点探究探究1．一元二次方程四种解法的选择例1．用适当的方法解下列方程．（1）．（2）．（3）．（4）．解析：针对方程特点选择最简捷的方法解题．答案：（1），，，，，∴，．（2）因式分解，得，∴或，∴，．（3）移项，得，∴，．（4）将方程化为一般形式，即，∴．智慧背囊：一元二次方程解法的选择顺序：先特殊，后一般，即先考虑是否可以用直接开平方法，若不能，则看能否用因式分解法，再考虑用公式法，一般没有特殊说明不用配方法，因为配方法比较麻烦，四种解法中最简单的是直接开平方法，最常用的是公式法．活学活用：选择适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．探究2．一元二次方程的判别式例2．不解方程，判断下列方程根的情况．（1）；（2）；（3）．解析：先将方程化成一般形式，确定，，的值，再计算的值，并与0进行比较．答案：（1）∵，，，∴，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为，∵，，，∴，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为，∵，，，∴．∴原方程没有实数根．智慧背囊：判断方程根的情况的关键是准确计算的值，并将其与0进行比较．活学活用：不解方程，判断下列方程根的情况．（1）；（2）．例3．已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值，并解这个方程．解析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则．解题时注意题中隐含条件二次项系数．答案：∵，，，∴．∵方程有两个相等的实数根，∴，即，解得，．当时，原方程不是一元二次方程，∴不合题意，舍去，当时，原方程化为，解得．智慧背囊：对于一次项系数含有字母的一元二次方程，在用根的判别式时必须考虑题目中的隐含条件，即二次项系数不能等于0．活学活用：已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．随堂尝试A基础达标1．选择题（1）一元二次方程的解是（）（A）．（B）．（C），．（D），．（2）方程的解是（）（A）．（B）．（C）．（D），．（3）用配方法将代数式变形的结果是（）（A）．（B）．（C）．（D）．（4）已知是完全平方式，则的取值是（）（A）4．（B）4．（C）．（D）16．（5）下列方程中，无实数根的是（）（A）．（B）．（C）．（D）．2．填空题（1）对于方程，用_____________法解最简便．（2）当_____________时，代数式的值与的值相同．（3）当_____________时，最简二次根式和是同类二次根式．（4）一个三角形两边长为2和4，第三边长适合方程，则三角形的周长为_____________．3．用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．4．若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．B能力升级5．试分别写出一个一元二次方程，使它的两根：（1）一根是0，一根是负数；（2）一根是正数，另一根是在2与1之间．6．已知实数，，满足，求方程的根．7．若规定两个数，通过运算得，即△，例如：2△6．（1）求3△5的值；（2）求△△2△4中的值；（3）若不论是什么数时，总有△，求的值．C感受中考8．下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）（A）．（B）．（C）．（D）．9．方程的解为_____________．10．已知关于的一元二次方程．（1）请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；（2）设，是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值．课后实践高次方程有求根公式吗一元二次方程有求根公式，一般的一元三次方程、一元四次方程等高次方程是否也有类似的求根公式呢？数学家们也曾提出过类似的问题，在意大利的数学家们之间还发生了一连串有趣的故事．1535年，意大利数学家塔尔塔利亚与另一位数学家举行了一场数学比赛，双方各出30个三次方程的问题，限30日交卷，约定谁解出的题目多谁就获胜，结果塔尔塔利亚取得了胜利．这次胜利促使塔尔塔利亚进一步潜心研究一般三次方程的解法．1541年，他终于完全解决了三次方程的求解问题．意大利米兰城有个学者卡尔达诺听说塔尔塔利亚会三次方程的解法，就多次向塔尔塔利亚恳求教他，并保证严守秘密，不告诉别人．当塔尔塔利亚把这个方法告诉了他之后，卡尔达诺却将其公开发表，因此现在还习惯称三次方程的求解公式为卡尔达诺公式．当然，塔尔塔利亚大为光火，两人为此曾展开公开论战．一元三次方程一经解出，一元四次方程的解法很快就被卡尔达诺的学生费拉里获得．此后200多年的时间里，推求四次以上高次方程的解法的人不可胜数，但都没有结果．久而久之，人们怀疑这个问题难以解决．挪威数学家阿贝尔证明了一般的五次及五次以上的方程都不可能有公式解法．而代数方程可解性问题的完满解决应归功于法国数学奇才伽罗瓦，他的成果被后人称之为伽罗瓦理论．22.2.1配方法（一）◆课堂测控知识点一开平方法（一）1．（过程探究题）解方程（1）x2=4，两边开平方得，x=±2，所以x1=_____，x2=____．（2）3x2－27=0，移项得3x2=27，两边除以3得x2=9，直接开平方得，x=±3，所以x1=－3，x2=______．2．（易错题）解方程：3x2－5=3解：3x2－5=3．移项，得3x2=8．两边除以3，得x2=．所以x=±．以上有两个错误：①________；②最后根的结果应_______，正确解为x1=_____，x2=______．知识点二开平方法（二）3．（过程探究题）解方程（x－4）2－16=0解：（x－4）2－16=0，移项，得（x－4）2=16．两边直接开平方，得x－4=±4，所以x－4=______或x－4=______．解得x1=_______，x2=______．4．（过程探究题）解方程x2－4x+4=2解：x2－4x+4=2，左边是完全平方式，原方程化为（x－2）2=2，两边直接开平方，得x－2=±．所以x－2=______或x－2=______．解得x1=_____，x2=_______．◆课后测控5．用直接开平方法直接写出下列方程的解（1）x2－3=0，则x1=_____，x2=_____．（2）5（x+1）2=1，则x1=_____，x2=_____．6．方程4x2－4x+1=0的解x1=x2=______．7．若（mx）2+6x+9是完全平方式，则m为_______．8．下列各式不是完全平方式的是（）A．x2－16x+64B．x2－2x+1C．3x2－2x+1D．4a2－12ab－9b29．（易错题）下列方程的解不正确的是（）A．方程x2=1的根为x1=1，x2=－1B．方程x2=0的根为x1=x2=0C．方程（x－2）2=4的根为x1=4，x2=－4D．方程3x2－6=0的根为x1=，x2=－10．运用直接开平方法解下列方程（1）16x2－8x+1=2（2）（2y－1）2=（3y+4）2◆拓展测控11．（探究题）如图所示，正方形ABCD的面积为48cm，正方形EFGH与正方形ABCD有同一个中心，且BC∥EF，若阴影面积是正方形ABCD面积的一半，求四边形EFGH的边长x为多少厘米？答案:1．（1）－2，2（2）32．①方程的根的表述要用x1，x2表示，②化为最简二次根式，－，[总结反思]一元二次方程根的表示切忌用一个未知数x表示，直接开平方法得出的两个根要分开表述，如x2=4的根为：x1=－2，x2=2．3．4，－4，8，04．－，，2－，2+．[解题规律]x2=m（m≥0）的解为x1=－，x2=，形如（mx+n）2=p的解为x1=，x2=．5．（1）－，（2）－1，－－16．7．±18．D9．C10．解：（1）16x2－8x+1=2，则（4x－1）2=2，所以4x－1=±，x1=，x2=．（2）2y－1=±（3y+4），所以2y－1=3y+4，y1=－5，2y－1=－3y－4，y2=－．[解题规律]直接开平方法解一元二次方程，关键把方程化为x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）形式，再运用算术平方根意义求解．11．解：大正方形面积为48cm，小正方形面积为x2cm．阴影面积为24cm2，即48－x2=24．所以x2=24，x1=2，x2=－2（舍去）．所以x=2，小正方形边长为2cm．22.2.1配方法(1)第1课时◆课前预习1．（_______）2=25;2．a2+2ab+b2=______．3．x2=p（p≥0），x=_______;4．（mx+n）2=p（p≥0），_______=±．◆互动课堂（一）基础热点【例1】64的平方根是______________，的平方根是_____________．分析：利用正数的平方根的定义求值，但在计算后一个时容易写成±4，注意“”是一个运算符号．解：±8，±2．点拨：此题是数的开方的直接运用，本身的值是4，它是求4的平方根，解题时要仔细．（二）易错疑难【例2】方程x2－9=0的解是________．分析：这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．解：移项得x2=9，∴x=±3．点拨：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（三）中考链接【例3】解方程3x2+6x+3=12．分析：观察发现方程的左边提公因式后是一个完全平方式，即3（x+1）2=12，两边除以3，（x+1）2=4，把左边看成一个整体，利用数的开方直接求解．解：两边除以3得x2+2x+1=4方程化为（x+1）2=4，开方得x+1=±2即x+1=2或x+1=－2．解得x1=1，x2=－3．点拨：用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．名师点拨1．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．2．运用整体思想，会把被开方数看成整体．◆跟进课堂1．已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是（只需写出一个方程）_______．2．若方程x2－m=0有整数根，则m的值可以是________（只填一个）．3．若方程（x－m）2=b有解，那么b的取值范围是________．4．方程（x－1）2=4的解为_________．5．将方程x2－10x+16=0化为（mx+n）2=p（p≥0）的形式为________．6．一元二次方程x2－1=0的根为（）．A．x=1B．x=－1C．x1=1，x2=－1D．x=27．方程4（2x－3）2=25的根是（）．A．±B．C．D．或8．形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，它的根是（）．A．x=±9．方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若a+b+c=0，那么方程必有一根是（）．A．－1B．1C．0D．±110．方程（h+1）2=（3－2h）2的根是（）．A．B．4C．或4D．无解◆漫步课外解下列方程：11．5x2=20．12．（x+2）2=4．13．（2x－3）2－16=0．14．3（2x+1）2－27=0．◆挑战极限15．若关于x的方程a（x－3）2=3b－1有实数根，求a、b的取值范围．答案:1．x2－1=02．43．b≥04．3或－15．（x－5）2=96．C7．D8．D9．B10．C11．x=±212．x1=0，x2=－413．x1=，x2=－14．x1=1，x2=－215．略.22.2.1配方法(1)班级姓名座号月日主要内容:会用直接开平方法解一元二次方程一、课堂练习:1.形如的方程,它的正确解法是()A.直接开平方法求解,得B.当≥0时,C.当≥0时,D.当≥0时,2.(课本36页)用直接开平方法解下列方程:(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、课后作业:1.方程的根为.2.方程的根为()A.3B.-3C.±3D.没有实数根3.(课本45页改造题)填空:(1)=()(2)=()4.(课本45页)用直接开平方法解下列方程:(1)(2)(3)(4)5.(课本46页)向阳村2001年的人均收为1200元,2003年的人均收入为1452元,求人均收入的年平均增长率.三、新课预习:1.利用配方法解一元二次方程(1)通过配成形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.(2)配方法解一元二次方程的一般步骤:①移项:通常将含有末知数的项移到方程的,常数项移到方程的；②将项系数化为1；③配方:方程两边同加一次项系数一半的平方,使方程左边成为一个；④解方程:利用法解方程.2.用配方法将二次三项式变形,结果是()A.B.C.D.3.用配方法解下列方程:⑴(2)参考答案一、课堂练习:1.形如的方程,它的正确解法是(B)A.直接开平方法求解,得B.当≥0时,C.当≥0时,D.当≥0时,2.(课本36页)用直接开平方法解下列方程:(1)(2)解:移项,得二次项系数化为1,得开平方,得即解:移项,得二次项系数化为1,得开平方,得即(3)(4)解:移项,得开平方,得即解:移项,得二次项系数化为1,得开平方,得即(5)(6)解:整理,得开平方,得即解:整理,得开平方,得即二、课后作业:1.方程的根为.2.方程的根为(D)A.3B.-3C.±3D.没有实数根3.(课本45页改造题)填空:(1)=()(2)=()4.(课本45页)用直接开平方法解下列方程:(1)(2)解:移项,得二次项系数化为1,得开平方,得即解:二次项系数化为1,得开平方,得即(3)(4)解:开平方,得即解:整理,得开平方,得即5.(课本46页)向阳村2001年的人均收为1200元,2003年的人均收入为1452元,求人均收入的年平均增长率.解:设人均收入的年平均增长率为,由题意,得(不合题意,舍去)答:人均收入的年平均增长率为.三、新课预习:1.利用配方法解一元二次方程(1)通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.(2)配方法解一元二次方程的一般步骤:①移项:通常将含有末知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边；②将二次项系数化为1；③配方:方程两边同加一次项系数一半的平方,使方程左边成为一个完全平方式；④解方程:利用直接开平方法解方程.2.用配方法将二次三项式变形,结果是(A)A.B.C.D.3.用配方法解下列方程:⑴(2)解:配方,得开平方,得即解:移项,得配方,得开平方,得即22.2.1配方法（二）◆课堂测控知识点一完全平方式1．填空：（1）x2+4x+_____=（x+______）2;（2）x2－6x+_____=（x－______）2．2．填空：（1）x2－x+m是完全平方式，则m=______．（2）x2+5x+n是完全平方式，则n=_______．知识点二二次项系数为1的情形下的配方法3．（过程探究题）解方程：x2+10x+9=0解：x2+10x+9=0．移项，得x2+10x=－9，配方，得x2+10x+52=－9+52（加上一次项系数10的一半的平方）．（x+5）2=______，由此可得x+5=4或x+5=－4．所以x1=______，x2=_______．4．（2008，太原）解方程：x2－6x－2=0知识点三二次项系数不为1的情形下的配方法5．（过程探究题）用配方法解方程2x2－4x－1=0．解：2x2－4x－1=0．方程两边______，得－=0．整理，得x2－2x－=0，方程的左边加上______的一半的______．右边也加上一次项系数一半的平方（即（）2），得x2－2x+（）2－=（）2．整理，得x2－2x+1=，变形，得（x－1）2=，两边直接开平方，得x－1=±，所以x1=_____，x2=______．完成上述填空．6．运用配方法解下列方程（1）（2008，泰安）6x2－x－12=0;（2）4x2－8x－3=0◆课后测控7．用适当的代数式填空：（1）x2－4x+____=（x－_____）2;（2）x2－8x+_____=（x－______）2;（3）x2+x+_______=（x+_____）2．8．若方程25x2－（k－1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．－9或11B．－7或8C．－8或9D．－6或79．用配方法解一元二次方程x2－6x－5=0，则方程变为（）A．（x－6）2=41B．（x－3）2=14C．（x+6）2=41D．（x+3）2=1410．要使方程x2－x=左边能成完全平方式应该在方程的两边都加上（）A．（－）2B．（－）2C．（）2D．（）211．方程2（x－1）2=的根为（）A．x1=1+，x2=1－B．x1=+1，x2=－1C．x1=－1，x2=+1D．以上都不对12．用配方法解下列方程（1）x2－4x－2=0（2）x（x+4）=6x+12（3）2x2+7x－4=0（4）3（x－1）（x+2）=x+4（5）3x2－6x=8◆拓展测控13．阅读材料后再解答问题阿拉伯数学家阿尔．花拉子利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x2+2x－35=0的一个解．[阿尔．花拉子解法]将边长为xm的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x2+2·x·1+1·1，而由x2+2x－35=0变形及x2+2x+1=35+1（如图22－2－2所示）即左边边长为x+1的正方形面积为36．所以（x+1）2=36，则x=5．你能运用上述方法构造出符合方程x2+8x－9=0的一个正根的正方形吗？试一试吧!答案:1．（1）4，2（2）9，32．（1）（2）[总结反思]运用完全平方式a2±2ab+b2要全面观察代数式是否是表示两个数的平方且加（减去）上这两个数积的2倍．3．16，－1，－94．解：x2－6x－2=0．配方，得x2－6x+（）2－（）2－2=0，所以x2－6x+9=11．（x－3）2=（）2．即x－3=或x－3=－．x1=+3，x2=3－．[总结反思]把一元二次方程化为ax2+bx+c=0形式．且x2+x+=0配方过程为x2+x+（）2=（）2－，（x+）2=，即x1,2=－±（b－4ac≥0）．5．除以2，－2，平方，1+，1－．6．解：（1）6