2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.2 降次──解一元二次方程(B卷)(含答案)-

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷22.2降次──解一元二次方程(B卷)(含答案)-22.2降次──解一元二次方程(B卷)（综合应用创新能力提升训练题90分70分钟）一、学科内综合题（每题6分，共30分）1．已知方程x2-7x+12=0的两个根是一个直角三角形的两条直角边，求这个直角三角形的面积．2．若代数式3与-2a2的和是a2，那么x的值应是多少？3．已知c为实数，并且方程x2-3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x-c=0的一个根，求方程x2+3x-c=0的根及c的值．4．试证明无论a取何值，关于x的方程（a2-6a+10）·x2-2a+1=0都是一元二次方程．5．若方程x2+mx+1=0与方程x2-x-m=0只有一个相同的实数根，求m的值．二、实际应用题（每题8分，共16分）6．红旗林场计划修一条横断面为等腰梯形的水渠，横断面面积为1.8m2，上口宽比渠底宽多1.4m，渠深比渠底宽少0.1m，求渠道的上口宽和渠深．7．操场上，小强同学把一个沙包向斜上方抛，沙包上升的高度h（米）与抛出后的时间t（秒）的关系是h=25t-5t2，几秒钟后，沙包在离开手20米高的地方？三、创新题（9题9分，其余各10分，共29分）8．（巧解妙解）解方程：（1）x2-3│x│-4=0．（2）2（y-）2-3（-y）-2=0．9．（新情境新信息题）到高中时，我们将学习虚数i，（i叫虚数单位）．规定i2=-1，如-2=2×（-1）=（±）2·i2=（±i）2，那么x2=-2的根就是：x1=i，x2=-i．试求方程x2+2x+3=0的根．10．（一题多解）解方程4（2x-1）2=9（x-4）2．四、经典中考题（15分）11．一元二次方程x2-2x-1=0的根是__________．12．如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（）A．6B．8C．-6D．-813．若方程x2-m=0的根为整数，则m的值可以是________（只填符合条件的一个即可）14．用配方法解方程x2-4x+1=0．答案:一、1．解：方程x2-7x+12=0的两个根为x1=3，x2=4．所以直角三角形的两条直角边为3，4，则该三角形的面积为×3×4=6．点拨：欲求三角形的面积，先求该三角形的两条直角边，即应先解一元二次方程．2．解：依题意：x2-4x+6=2，x2-4x+4=0，x1=x2=2，所以x的值应是2．点拨：解此题应先弄清合并同类项的定义，那么a的指数应相等，即可得方程x2-4x+6=2，解之得x=2．3．解：设方程x2-3x+c=0的一个根是x，则依题意：①-②得c=0．当c=0时，方程x2+3x-c=0化为x2+3x=0．解得x1=0，x2=-3．所以c的值为0，方程x2+3x-c=0的解是x1=0，x2=-3．点拨：通过设出方程x2-3x+c=0的一个根，把这个根代入第一个方程，把它的相反数代入第二个方程，即可得出一个方程组，进而可求c的值及方程的解．4．证明：因为a2-6a+10=a2-6a+9+1=（a-3）2+1≥1．所以不论a取何值，a2-6a+10都不为零，所以这个方程是一元二次方程．点拨：欲说明此方程为一元二次方程，只需说明二次项系数不为0即可．5．解：设这两个方程相同的实数根是x，则：x2+mx+1=0①，x2-x-m=0②，①-②，得（m+1）x+（1+m）=0，（m+1）（x+1）=0，m+1=0或x+1=0，即m=-1或x=-1．当m=-1时，两方程完全相同且m2-4<0，不合题意，故m=-1舍去．当x=-1时，（-1）2-（-1）-m=0，m=2，所以m的值是2．点拨：解决这类问题，通常都采用设公共根代入的方法，在代入相减后可用因式分解的方法求出m与x的值，此时容易被m=-1迷惑，在没有代入检验的情况下，造成失误．二、6．解：设渠道的深度为xm，则渠底宽为（x+0.1）m，上口宽为（x+0.1+1.4）m．依题意，列方程，得（x+0.1+x+1.4+0.1）·x=1.8整理，得x2+0.8x-1.8=0．解得x1=-1.8（舍去），x2=1．所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5．答：渠道的上口宽2.5m，渠深1m．点拨：根据梯形的面积公式，列方程的关键在于明确梯形的上、下底和高，因此，设出适当的未知数就成解题的突破口，根据题意，设渠深是最合适的设法．7．解：依题意：25t-5t2=20，整理，得-5t2+25t-20=0，解之，得t1=1，t2=4答：抛出后1秒或4秒时，沙包在离开手20米高的地方．点拨：题目中给出上升的高度（h）与出手后的时间（t）之间的关系式，因此，数量关系十分明显，代入进行计算即可，需要注意的是，计算出的两个值都是符合题意的，不能舍去任何一个．拓展：沙包抛出后运动的路线可以看作是一条抛物线，它所对应的函数叫做二次函数．在学完二次函数的图象和性质后，同学们对此题会有更进一步的理解．三、8．解：（1）原方程可化为│x│2-3│x│-4=0，（│x│-4）（│x│+1）=0，因为│x│≥0，所以│x│-4=0．即│x│=4，所以x1=4，x2=-4．点拨：题中的未知数带着绝对值，我们可通过分情况讨论去掉绝对值，但那样做比较麻烦，而且容易出错，根据实数的性质，x2=│x│2，用│x│2代替x2，然后把│x│看作一个未知数，即可求出│x│的值，然后再求出x的值．（2）原方程可化为：2（y-）2+3（y-）-2=0，（y-+2）[2（y-）-1]=0，（y+）（2y-2）=0，y+=0或2y-2=0，所以y1=-，y2=1．点拨：遇到带有括号的一元二次方程时，有些需去掉括号，化为一般形式求解，有些直接利用括号内的部分作为整体进行运算．本题就是将（y-）看作整体，把方程左边直接分解因式．9．解：x2+2x+3=0，x2+2x+1=-2，（x+1）2=-2，x+1=±i；x=-1±i，所以x1=-1+i，x2=-1-i．点拨：对于题中所给的一元二次方程，可采用公式法求解，但在计算时，被开方数为-2，我们知道，在实数范围内，负数不能开平方，那么在实数范围内是无意义的，但由于题目给我们提供了虚数单位这一概念，通过分析得=i，问题得以解决，也可以用配方法求解．拓展：随着同学们年龄的增加，会遇到很多目前解决不了的问题，这就需要我们学习新的知识，同学们不妨回顾一下，由于两个数相减时，被减数小于减数，人们引进了负数，形成了有理数的概念，在进行有理数的开方运算时，产生了大量的开方开不尽的数，于是人们认识了无理数，进而形成了实数的概念．也就是说，人们认识现实世界的范围是不断扩大的，我们还会遇到新问题，产生新知识．10．解法一：用直接法开平方法：2（2x-1）=±3（x-4）即2（2x-1）=3（x-4）或2（2x-1）=-3（x-4）解得x1=-10，x2=2．解法二：用因式分解法：整理，得x2+8x-20=0（x+10）（x-2）=0，所以x1=-10，x2=2．点拨：同学们可以发现，对于同一个一元二次方程，无论你采用哪种方法，求得的方程的解都是一样的，对比上述两种解法，就这个方程而言，直接开平方法是最恰当的，因式分解法的整理过程容易出现错误．四、11．x1=1+；x2=1-点拨：把-1移到方程右边，用配方法解比较合适．12．C点拨：因为x2+x-1=0，所以x2=1-x，x2+x=1．所以x3+2x2-7=x·x2+2x2-7=x（1-x）+2x2-7=x-x2+2x2-7=x2+x-7=1-7=-6．13．4点拨：m应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．14．解：x2-4x+1=0，移项，得x2-4x=-11．配方，得x2-4x+4=-1+4，（x-2）2=3，x-2=±，x=2±，即x=2+，x=2-．22.2降次──解一元二次方程(B卷)（60分钟60分）一、综合题（每小题6分，共24分）1．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（a+b）200的值是多少？2．设p，q是整数，方程x2－px+q=0有一个根为－2，求p－q的值．3．设方程x2+kx－2=0和方程2x2+7kx+3=0有一个根互为倒数，求k的值及两个方程的根．4．求证：无论x为何实数时，代数式x2－4x+4.5的值恒大于零．二、应用题（每小题6分，共12分）5．毛皮大衣标价为13200元，若以9折降价出售，仍可获利10%，毛皮大衣的进价是多少？6．某村计划修一条横断面为等腰梯形的渠道，其横断面的面积为10.5m2，上口的宽比底宽多3m，比深多2m，求上口开挖时应挖多宽？三、创新题（每小题6分，共12分）7．要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m；（1）求鸡场的长和宽各为多少米？（2）墙的长度am对题目的解起着怎样的作用？8．已知关于x的方程x2－2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）给m选取一个合适的数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．四、中考题（每小题4分，共12分）9．方程（x+1）（x－2）=0的根是（）．A．x=－1B．x=2C．x1=1，x2=－2D．x1=－1，x2=210．若x1、x2是一元二次方程2x2－3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是______．11．在正数范围内有一种运算“*”，其规则为a*b=a+b2，根据这个规则，方程x*（x+1）=5的解是（）．A．x=5B．x=1C．x1=－4，x2=1D．x1=4，x2=－1附加题（20分）已知a是方程x2－6x－1997=0的一个正根，求代数式8+的值．答案:一、1．分析：设出公共根构造二元一次方程组，解出符合条件的公共根．解：设公共根为x0，则①－②，得（a－b）（x0－1）=0，当a=b时，方程有两个公共根，不合题意；当x0=1时，a+b=－1，则（a+b）200=1．2．分析：把－2代入方程，9－4－p+2p+q=0，∴×（－4－p）+（2p+q+9）=0，∵p、q是整数，∴p=－4，q=－1，∴p－q=－4+1=－3．点拨：（－4－p）当p不为－4时，（－4－p）为无理数．3．分析：设a是方程x2+kx－2=0的根，则是方程2x2+7kx+3=0的根，∴a2+ka－2=0，①+3=0，②由②，得3a2+7ka+2=0，③由①，得ka=2－a2，代入③，得3a2+7（2－a2）+2=0，∴4a2=16，∴a=±2．代入①，得或当时，方程①变为x2－x－2=0，根为2和－1，方程②变为2x2－7x+3=0，根为和3；当时，方程①变为x2+x－2=0，根为－2和1，方程②变为2x2+7x+3=0，根为－和－3．4．分析：利用配方法将代数式配成一个完全平方式加上某数．证明：x2－4x+4.5=（x2－4x+4）－4+4.5=（x－2）2+0.5∵（x－2）2≥0，∴（x－2）2+0.5>0，∴不论x为何实数，代数式x2－4x+4.5的值恒大于零．点拨：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程中有所应用，而且在数学的许多领域有着广泛应用．二、5．解：设毛皮大衣的进货价为x元．由题意，得13200×90%－x=10%·x．解得x=10800．答：毛皮大衣进货价为10800元．点拨：打几折就是百分之几十或十分之几．6．分析：本题可设上口开挖时挖xm，则底宽、深均可用含x的代数式表示，从而这个等腰梯形的面积可用含x的代数式表示，方程可列出，进而可求出上口宽．解：设上口开挖时应挖xm，则底宽（x－3）m，深（x－2）m，面积为m2，根据题意，得·（x－2）=10.5．整理，得2x2－7x－15=0．∴（x－5）（2x+3）=0，∴x1=5，x2=－（不合题意，舍去）答：上口开挖时应挖5m．点拨：对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积－截去的面积．三、7．解：（1）设垂直墙的一边为xm，由题意，得x（35－2x）=150，解得x1=10，x2=7.5．当x=10时，35－2×10=15；当x=7.5时，35－2×7.5=20．（2）当a<15时，问题无解；当15≤a<20时，问题有一解，即宽为10m，长为15m；当a≥20时，问题有两解，可建宽为10m，长为15m或宽为7.5m，长为20m的鸡场．点拨：这是个与实际有关的题，解题时一定要结合实际．8．分析：由根的判别式得出解的情况，先假设△≥0，得出解．解：（1）△=[－2（m+1）]2－4m2=8m+4．由题意，得8m+4≥0，m≥－，∴当m≥－时，方程有两个实数根．（2）选取m=0，方程为x2－2x=0，解得x1=0，x2=2．点拨：本题是开放性试题，m的值不是唯一的答案．四、9．D分析：两个因式的积等于0，就是每一个因式分别等于0．10．分析：根据根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=（）2－2×=－1=．11．C分析：由a*b=a+b2，得x*（x+1）=x+（x+1）2=5，解得x1=－4，x2=1．点拨：按指定的运算格式求解，关键是灵活地运用公式．附加题分析：∵a是方程x2－6x－1997=0的正根，∴a2－6a－1997=0，∴6+=a，∴原式=2+a，a==3±．∵a是正根，∴a=3+，∴原式=5+．点拨：关键找出6+，依次把繁分式一层层化简．22.2降次──解一元二次方程(C卷)（拔高训练60分45分钟）一、科学探究题（16分）1．（1）先计算下列方程中的b2-4ac，再解方程．①2x2-3x+1=0；②4x2-4x+1=0；③x2+3x+4=0．（2）通过计算，你发现b2-4a的值和根的个数之间有什么关系？（3）已知关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0，试证明，不论m取何值，原方程都有两个不相等的实数根．二、开放题（7分）2．已知关于x的方程x2+bx+c=0的一个根是1，试给出一对符合条件的b和c的值．三、阅读理解题（7分）3．按下列范例提供的方法解方程49x2+6x-=0．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是x=，方程y2+by+ac=0的根为y=，显然有x=．因此，要求ax2+bx+c=0的根，只要求出方程y2+by+ac=0的根，再除以a就可以了．范例：解方程72x2+8x+=0．解：先解方程y2+8y+72×=0，得y1=-2，y2=-6．所以方程72x2+8x+=0的两根是x1=，x2=．四、信息处理题（10分）4．如下所示，方程①、方程②、方程③、…、是按照一定规律排列的一组方程，序号方程方程的根①x2+3x+2=0x1=-1x2=-2②x2+4x+3=0x1=-1x2=-3③x2+5x+4=0x1=-1x2=-4④x2+6x+5=0x1=-1x2=-5⑤x2+7x+6=0x1=-1x2=-6……（1）请问x1=-1，x2=-19是不是上面所给的一列方程中的某个方程的两个根？若是，写出这个方程．（2）请写出这列方程中的第n个方程和它的根（n是自然数，n≥1）．（3）用你观察到的规律，直接写出下列方程的根．①x2+25x+24=0；②x2+1000x+999=0．五、实践题（10分）5．用一根长20cm的铁丝，折成一个面积为16cm2的矩形方框，怎样折呢？能否折成一个面积为30cm2的矩形方框，实际做一下，验证你的结论．六、推理论述题（10分）6．象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985．经核实，有一位同学统计无误．试计算这次比赛共有多少个选手参加．答案:一、1．解：（1）①因为a=2，b=-3，c=1．b2-4ac=（-3）2-4×2×1=9-8=1．所以x=，即x1=1，x2=．②因为a=4，b=-4，c=1，b2-4ac=（-4）2-4×4×1=16-16=0，所以x==，即x1=x2=．③因为a=1，b=3，c=4．b2-4ac=32-4×1×4=9-16=-7<0由于b2-4ac<0，所以无意义．故原方程没有实数根．（2）结论是：当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根．当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根．当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．（3）依题意：a=9，b=-（m+7），c=m-3．b2-4ac=[-（m+7）]2-4×9·（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157=（m-11）2=36．因为不论m取何值，（m-11）2≥0，（m-11）2+36>0所以原方程必有两个不相等的实数根．点拨：这道题让我们经历了一个知识的探索发现、总结、应用的全部过程，解决这类问题，就要从题目设计的环环相扣的一组问题出发，逐步去理解、分析、应用，同学们应特别去体验知识的应用过程．拓展：通过这道题，我们可以发现（b2-4ac）的值就决定了方程的解的情况．所以，又把（b2-4ac）叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，用符号“△”表示．二、2．解：b=2，c=-3点拨：把1代入原方程可得1+b+c=0，即b+c=-1，令b=2，求出c=-3，在给出b、c的值时，一定注意要使b2-4ac≥0，也就是保证你所写的一元二次方程有实数根．三、3．解：先解方程y2+6y-7=0，得y1=-7，y2=1．所以方程49x2+6x-=0的两根是x1=-，x2=．点拨：题目已经提供了解方程的方法，同学们阅读的关键就在于理解这种解法的思想和步骤．四、4．解：（1）x1=-1，x2=-19是这一列方程中的第18个方程的解．这个方程是：x2+20x+19=0．（2）第n个方程是x2+（n+2）x+（n+1）=0．它的根为x1=-1，x2=-（n+1）（3）方程①的两个根是x1=-1，x2=-24．方程②的两个根是x1=-1，x2=-999．点拨：题中给出的这一列方程呈现出很强的规律性，观察规律，可先从观察这列方程的各项系数入手：①各项系数都是正数，②二次项系数为1，一次项系数比常数项大1．其次，观察方程的两根与系数间的关系：①其中一个根必是-1，另一个根等于常数项的相反数，最后，观察各系数与方程的序号间的关系：一次项系数比序号大2，常数项比序号大1．五、5．解：设矩形方框的长为xcm，则宽为（10-x）cm，依题意，得x（10-x）=16．整理，得x2-10x+16=0．解得x1=2（舍去），x2=8．所以折成的矩形方框长8cm，宽2cm．若矩形方框的面积为30cm2．则x（10-x）=30，整理，得x2-10x+30=0．因为b2-4ac=（-10）2-4×1×30=100-120=-20<0，所以此方程没有实数根．所以长为20cm的铁比不能折成面积为30cm2的矩形方框．点拨：把铁丝折成矩形方框，关键在于求出方框的长和宽，因此通过设相应的未知数，列方程求出矩形方框的长和宽即可解决问题．对于第二问，在解方程时，发现一元二次方程没有实数根，因此可以断定，这样的要求是达不到的．拓展：实际上我们来探索一下，用20cm的铁丝折成的矩形方框的面积最大是多少，设其长为xcm，则宽为（10-x）cm，矩形的面积为ycm2．则y=x（10-x）=-x2+10x=-x2+10x-25+25=-（x-5）2+25，因为-（x-5）2≤0，所以，当x=5时，y最大=25．即当矩形的长为5cm时，折成的矩形面积最大，也就是把20cm的铁比折成边长为5cm的正方形方框．六、6．解：设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与（n-1）个选手比赛一局，共计n（n-1）局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n（n-1）局．由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n（n-1）分．显然（n-1）与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n（n-1）=1980，得n2-n-1980=0，解得n1=45，n2=-44（舍去）．答：参加比赛的选手共有45人．点拨：解决问题的出发点，首先在于弄清比赛的总局数，式子可很快列出，下边的困难在于对四个同学统计分数的判别，由于相邻两个自然数乘积的个位数字只能是0，2，6，故可排除1979，1984，1985，于是可列出方程，本题推理的难点就在于对四个数字的判别上，同学们往往想不到这一层关系．22.2降次——解一元二次方程达标训练一、基础·巩固·达标1．将下列方程各根分别填在后面的横线上：（1）x2=169,x1=，x2=;（2）45－5x2=0,x1=，x2=.2.填空：（1）x2+6x+（）＝（x+）2；（2）x2－8x+（）＝（x－）2；（3）x2+x+（）＝（x+）2.3.方程x2+6x－5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A.（x+3）2=14B.(x－3)2=14C.(x+6)2=12D.以上答案都不对4.用配方法解下列方程，配方错误的是（）A.x2+2x－99=0，化为（x+1）2=100B.t2－7t－4=0，化为(t－)2=C.x2+8x+9=0，化为（x+4）2=25D.3x2－4x－2=0，化为(x－)2=5.方程2x2－8x－1=0应用配方法时，配方所得方程为.6.如果x2－2(m+1)x+m2+5=0是一个完全平方公式，则m.7.当m为时，关于x的方程(x－p)2+m=0有实数解.8.解下列方程：（1）9x2=8；（2）9(x+)2=4；（3）4x2+4x+1=25.二、综合·应用·创新9．用配方法解下列方程：（1）x2+x－1=0；（2）2x2－5x+2=0；（3）2x2－4x+1=0.10．（1）用配方法证明2x2－4x+7恒大于零；（2）由第（1）题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.三、回顾·热身·展望11．解一元二次方程：（x－1）2=4.12．用配方法解方程：x2－4x+1=0.参考答案一、基础·巩固·达标1．将下列方程各根分别填在后面的横线上：（1）x2=169,x1=，x2=;（2）45－5x2=0,x1=，x2=.提示：利用直接开平方法解题，其中方程（2）化为x2=9.答案：（1）13－13（2）3－32.填空：（1）x2+6x+（）＝（x+）2；（2）x2－8x+（）＝（x－）2；（3）x2+x+（）＝（x+）2.提示：本题思考的方法有两点：其一，看二次项系数是否为1，若是1，配方时，只需加上一次项系数一半的平方即可，如（1）左边加9，配成x与3和的完全平方；其二，若二次项系数不是1时，为便于配方，要先提取二次项系数，使括号内首项为1.答案：（1）93（2）164（3）3.方程x2+6x－5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A.（x+3）2=14B.(x－3)2=14C.(x+6)2=12D.以上答案都不对提示：配方法解一元二次方程时，为便于配方，要化二次项系数为1；同时两边各加上一次项系数一半的平方，注意勿忘加上右边的项.移项，得x2+6x=5，两边各加上9，得x2+6x+9=5+9.即（x+3）2=14.答案：A4.用配方法解下列方程，配方错误的是（）A.x2+2x－99=0，化为（x+1）2=100B.t2－7t－4=0，化为(t－)2=C.x2+8x+9=0，化为（x+4）2=25D.3x2－4x－2=0，化为(x－)2=提示：A：移项，得x2+2x=99.配方，得x2+x+12=99+12，即（x+1）2=100.所以A项正确.B：移项，得t2－7t=4.配方，得t2－7t+()2=4+()2，即(t－)2=.所以B项正确.C：移项，得x2+9x=－9.配方，得x2+8x+42=－9+42，即（x+4）2=7.所以C项错误.D：移项，得3x2－4x=2.二次项系数化为1，得x2－x=.配方，得x2－x+()2=+()2，即(x－)2=.所以D项正确.答案：C5.方程2x2－8x－1=0应用配方法时，配方所得方程为.提示：配方前，必须先把二次项系数化为1，同时两边各加上一次项系数一半的平方，整理即可得