2023年广东省河源市统招专升本数学自考模拟考试(含答案)

2023年广东省河源市统招专升本数学自考

模拟考试(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.

.若当/-*0时，&'+2.产+3犬与工是等价无穷小・则常数A=(>

A.OB.1

C.2D.3

2.

若F%)=/⑴冽胸然中,战的一个是(

_=/(])

A.J

d[/(jr)djr]=f(x)

B.”

c

F'DcLr=/(J7)

■

c.

d[/(JT)CIJT]=/(JT)+C

D.」

3.

设4S为事件，且P(A)=0.6,尸(5)=0.4,尸(A5)=02则P(AB)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

4.

-sin'/40.

设/(1)=v"§要使/(£)在(一8,十8)上连续♦则“=()

a/=0.

A.OB.1C.JD.3

5.

设/(i)为奇函数•则FQ)=-c~)为()

A.专函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法确定

6.

ro00、3

100=()

、010,

’000>’000、00)(Q00、

A.000B.100C.000D.000

、010)

J00；、000；1000;

7.

函数/(%)=—=+ln(x-l)的定义域是()

V4-x2

A.(1,2)B.(1,2]C.[-2,2]D.(l,+oo)

8.

/+2..rV0.

设函数八］)=J1..r=0.则下列结论正确的是

24-3.r..r>0・

A.lim/(.r)=1B.lim/'(x)=2

C.lim/(.r)=3D.不存在

,r•<1

9.

定积分『~一的值是

dz()

Jo1+x

A.21n-iB.In2-1C.jln2D.1ln2

J

10.

.设f(x)为连续函数•则/(x)dr=()

J0

A.cos.r/(sinx)d.rB.sin.r/(cos.r)da,

Joo

「与•f

C.|cos.r/(cos.i)d.rD.sin.rf(sin.z)d.r

11.

,设函数y=n—1sirw.则取=()

Zax

2

A.1—[cosyB.1—^-cosx・

C2—c。”D2cosx

12.

当XfO时，下列无穷小髭中，比X高阶的无穷小量是()

2

A.sinxB,x+xC.4xD.1-COSX

0(x)=.sinZ2drr则，(x)=()

13.

A.sinx4B.2xsinx4C.cosx4D.2xcosx4

14.

若不定积分［/（»"=5+c,则/⑴=（）

A.in|x|B.-C.-XD.4

x_r'_rJ

15.

曲线中的垂宜渐近线市（）

r"-1

A.0条B.1条C.2条D.3条

对于函数y=上"-二9-，以下结论正确的是（）

x-2x-3

A.x=3是第一类间断点，％=-1是第一类间断点

B.x=3是第一类间断点，4=-1是第二类间断点

C.彳=3是第二类间断点，％=-1是第一类间断点

16D.x=3是第二类间断点，x=-l是第二类间断点

17.

离散型随机变量X的分布律为PCX=k）=ak（k=1,2・3・1）.则。=（）

A.0.IB.0.05C.0.2IX0.25

18.

设e，=1—i,则Irru=）

A-AB.2kn

,44

C三D.2版+r

,44

19.

下列各函数是同一函数的是()

A./(%)=111，与8(%)=2111XB./卜)=%与义(%)=7?

c./(x)=p^-^g(x)=x2-lD.y(x)=|x|与g(x)=/F

20.

下列四个结论正确的是()

A.函数/(x,y)在点(xj)可微分，则/(x,y)在该点一定连续

B.函数/(x,y)在点(x,y)连续，则/(x,y)在该点一定可微分

C.函数/(x,»)在点(xj)的偏导数名及丝均存在，则/(x,y)在该点一定连续

dxdy

D.函数/(xj)在点(再内的偏导数警及警均存在，则/(x,y)在该点一定可微分

dxdy

21.

J-+"VO.

若"要使/3)在(一a.+co)连续.则a=()

a+2上,_r20.

A.0B.1

C.jD.2

22.

设在［0J］上/'(!•)>0,则r(0)./(l)和八1)一/(0)或“0)—/(D几个数的大

小顺序为()

A./(I)>/'(0)>/(1)-/(0)B./(1)>/(1)-/(0)>/(0)

C./(1)-/(0)>/(1)>/(0)D./(I)>/(0)-/(1)>/(0)

23.

8

若级数E>.均发放,则必有)

En-l

g8

A.十九）发散B.Z(&।十九I)发散

Jf-l11-1

oooo

C.Z（a：+比）发散D.发散

3=1n=l

微分方程位=

e?r的通解为（）

dx

A.eJ>=CB.e2x--ey=C

2

C.-e2x-e^=CD.e2x+ey=C

24.2

25.

1；亍2j

6.交换I-J。力R/（xj）。0J；力,/（xj）dx的积分次序，则下列各项正确的

是（）

A」时;力B・J；电"（“M力

c「呵;/（"）由D11囱;“%回办

26.

在0,1.2,3,4五个数中任意取3个数，则这三个数中不含0的概率为（）

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8

27.

若函数/Q)=(In.r)'(1>1),则/'(1)=()

A.(ln^)r1B.(liu),+(liu)rln(lnx)

C.(ln.t),ln(hu)D./(liu)'

28.

极限liniG（J工+a—&）=1•则a的值是（）

，.8

A.1C——D.2

B-72

29.

.若，（/）连续.则下.列等式正确的是（）

A.d/Q）=/（J）B.d/（j）d.r=/（①）

V-•

*n

2

C.r（x）d.r=fXx）D.d/'（J2）dj-=f\x）d^,

30.

./'（心）一o是曲线/（”）的图形在“一”0处有拐点的（）

A.充分必要条件B.充分条件非必要条件

C.必要条件非充分条件D.既非必要条件也非充分条件

二、填空题（20题）

・arctan.r.

31/"I

32.

设函数/⑴、g⑴均可微，且同为臬一函数的原函数，/⑴=3/1）=1,则

/⑴一g⑴=.

33.

已知曲线y=M+N2上点M处的切线平行于直线y=5^—1,则点M的

坐标为

级数'（二#1）的收敛区间为

34.

内设函数/（①）=1皿，则df设）=

1

(210)3

1

36.

a

设函数z=f(u.v).u=xytv=yf其中/具有连续偏导数，则卷二

37.为

dz

dy

38.

OO

幕级数z受产的收敛半径为

39.«=i

设A，3为三阶方阵.IA1=4AB=E•则|3|=

40.

Iini(1+3J■尸=

41.…

42.

若向量a={0.1U}-ft={1.0.1},c={1.1.0},则(aXb)•c=

LarctanX,

--dx=

43.九人尸

设平面区域D：f+丁(依，则二重积分JJ/Rz-M-Jclrdj，=

44.D

45.

设F(z)是/(/)的一个原函数，C为任意实数，则f(2N)dz=

心in一>0.

设/（x）=I在I=0处连续，则a

a+/•]W0

46.

1.I）0.

设/（X）=V则/L/<e'）]=

士V0,

已知e，一了y=e,则？〃(0)=

48.

才+2」

x2+41+87

49.

arctanw

50J可了

三、计算题(15题)

51.

已知函数n=/(1，»)由方程xz—yz-x+y—0所确定，求全微分dz.

计算不定积分I=[J1ln(；~r)d^.

52.

求极限lini（1H---\e~x.

l+81xI

53.

计算不定积分f

2«r十3

54.

求极限吗（就后一外

55.

56.

1彳

设/（JT）=（2）十一,求名⑺.

求不宗积分1dr

57.」、E

力求曲线e^+y+cosx-luO在x=0处的切线方程.

58.

设^=©-«111%,求y”.

59.

求，（2工+y）ck♦其中区域D由直线y=jr.y=2z,y=2用成.

60.0

61.

设函数y=y（］）是微分方程，+J—2y=0的解•且在1=0处八］）取得极值3,

求

八求二阶线性常系数非齐次微分方程/-63=cosx的通解.

62.

计算JxsiYxdx.

63.

%-x2+3X3=1,

已知线性方程组卜】一2X2+4X3=2,

2xj-x+ax=fe.

64.23

（1）问为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解?

（2）当方程组有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示其通解.

65.

计算二重积分『In/T+fd/dy,其中D={Cx,y>|1<4>.

四、证明题（10题）

66.

证明：若/（彳〉・#（T）在上连续•在（”•〃）内可导•且/（«>—/（/八=0,乂（］）w0,

则至少存一点36（“,〃）•使/=o.

67.

证明：当才〉0时乡:〉ln（1+才）.

/TT7

68.

设函数/（l）在［0,1］上连续，在（0.D内可导，且/（I）=1,证明，在在」）内至少存在

一点久使得+"'%）-2g=0成立.

证明不等式e兄〉兀二

69.

证明：当0V上V1时.（1一2）1“（1一公＞2r

70.

71.

设在［-aw］上连续（。＞0.为常数）.证明「/（i）da=「［/（］）+/（-

、一aJ0

并计算「上.

J-于1+e।

72.

证明：sini）dr=?f（sin.r）di,并计算丁‘，""，-"

Jo2Jo，Jo1+cosF

73.

设/（1）在［一。，。］上连续（。＞0，为常数），证明「/（外心=「［/（1）+/（一幻］日,

Jr0

并计算「Wd才.

J-f1+e”

74.

已知方程x"一/一13+£=0有一正根.r-1,证明方程llx10-7x*-3r24-1=0

必有一个小于1的正根.

75.

证明不等式:比＜小（1+3其中i＞。.

五、应用题（10题）

76.

求曲线y=Ini在区间（2.6）内的一点，使该点的切线与直线才=2口=6以及

,¥=ln.r所围成的平面图形面积最小.

77.

欲做一个容积为的无盖圆柱形储粮桶，底用裙制加壁用木板制,已知每平方米

错价是标价的5倍，睚靴才能使费用最少.

78.

某工厂需要围建一个面积为64平方米的长方形堆料场.一边可利用原来的墙壁，而现

有的存砖只够砌24米长的墙壁•问这些存砖是否足够围建此堆料场？

79.

求曲线段丁=/（o41）上一点处的切线，使该切线与直线）=0,I=1和曲线

»=/所围成图形的面积最小.

求乎=＞I二（2.4）处切线与v=一＞+4.r+1所用图形面积.

80.

81.

设D是曲线y=x?以及该曲线在（1,1）处的切线利y轴所闱成的平面区域。求：（1）

平面区域D的面积S；（2）D绕y轴旋转而成的旋转体的体积V。

82.

某工厂生产某产品时，口总成本为C元，其中固定成本为50元，每多生产一单位产

品，成本增加2元，该产品的需求函数为Q=50—5p,求。为多少时，工厂日总利润L

最大？最大利润是多少？

83.

某工厂生产两种产品力和3,出售单价分别为10元与9元，生产x件产品4与生产y

件产品A的总成本是：C（x,»）=0.01（3/+盯+3y2）+2x+3y+400（元）.求两种产

品的产量分别为多少时，获得的利润最大？

84.

某房地产公司有50套公寓要出租•当月租金定为2000元时•公寓会全部租出去.当月

租金每增加loo元时,就会多一套公寓租不出去•而租出去的公寓每月需花费20（）元的维修

费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

85.

求平面5+4+二=1和柱面产+，=1的交线上与.Qy平面距离最短的点.

o43

六、综合题（2题）

O,该曲线的方程：

60.

87.

已知曲线y=a>0）与曲线y=In6在点（Jj>,以）处布■公切线,试求:

（1）常数。和切点（Z），山）；

（2）两曲线与1轴用成的平面图形的面积S.

参考合案

1.B

lim廉+2、厂+3-=|k+4x+9.d_

imk=1.故应选B.

1

2.A

[md[/⑴如打⑴也依选项B和选项阴不忍肌『⑴d[二F⑴+C,

3.A

解：P(A5)=P(J+5)=1-+5)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=0.2

4.C

【精析】吧3nf=y-7-f=%。）=。・根据连续的定义可知a1

5.B

【精析】因为F(-.r)=/(-j)(e-z-ez)=/(6(c，-I')=FQ),所以F(a)为

偶函数•故应选B.

D

000'000〕000000

【评注】

0010000000

01001001.0100

000000000'000

100000100000

01000010000

6.D

7.A【评注】由题意：4-/>0及x-l>0,解得:l<x<2,所以选A.

8.B

【精析】lim/(x)=lim(i+2)=2.lim/(x)=l:m(2H-3x)=2,于是lim/Q)=

lim/(J)=2,所以=2,故应选B.

，…

9.D

【精析】1-En(l+1)]=1—ln2.

Co

10.A

［答案］A

＞三「三

22,i

【精析】cosw/(siru)dw=/(sinj')d(sinj*)/(/)dz.

oJoo

ll.B

【精析】半=Cr-Jsim)--ycosa'，故应选B.

da'LJ

D

【评注】lim吧=1,lim把二=1，lim1=8，所以选D.

12.DX…XXT°xnrx

【评注】因为“(x)=sinx4,2%=2心山/,故选B.

13.oB

14.D

【精析】上⑺心7+c,两边求导得…―-

15.B

田由及+3.r+2(,r+l)(T+2)

【精析】因为kM—1

(1+1)(/—1)

lim/Cr)=-4，lim/Cr)=8,所以只有］=1这一条垂直渐近线，故应选B.

L-lL;r~*l

16.B

B

【评注】本题考查函数的间断点.当x=3及x=-l时函数没有定义，故x=3及

2

［曰4c上f-9..(X-3YX+3)31.x-9

x=-l是间断点，又hm-^-------=lim-7---弋---r=-,lun---------=«

J3X2-2X-37(X-3)(X+1)2<->->x2-2x-3

所以选B.

17.A

【精析】根据离散型随机变量分布律的性质知£成=1.即〃+2a+3a+4“=1,故

A-1

a=0.1.

［答案1B

【精析】、—Lnc"=Ln(1—i)

=In42+iArg（1—i）

=ln&+“2-7r一片•）（£为整数）,

18.B1L

所以Imz=2kn--7-.

4

19.C

A

久）A【评注】本题考查的是二元函数的连续性、偏导数及可微的关系.

ZU.A

21.B

［答案］B

【精析】观察可知函数/（I）在除.，=0外的各点处均连续.根据函数在一点连续的充

要条件可得Um/（I）=lini1/'（,r）=1/（O）.HPlirn（a4-2a）=a=lini（JJ+1）=1•故

/*0/2.r*（1.r

u=i.

22.B

【精析】由拉格朗日中值定理知/（D—/（0）=/（"，其中£6（0,1）.由于

则/U）单调增加，故/（o）＜/＜e）＜/（1）.即/（o）＜/（1）-/（o）＜/（1）.故

应选B.

23.B

C

【评注】本题考查的是变量可分离的微分方程的通解.

■•

解：由题意画出积分区域如图:故选B.

O1x

L答案」A

【精析】P=W=上=d4•故应选A.

26.A

27.B

［答案］B

【精析】/(/)=(ln.r)r=erln(,ar,.

rlndn用'=(显尸卜―]•土

=(lnj)r1+(Ini)'ln(Inz)•

故应选B.

28.D

【精析】lim77(，4+r—6)=lim—°"~—=+=1,故a=2.选择D.

一+8，―-s/x+a+〃4

29.D

jd/(.r)=/Q)+C,A错.d"(z)clr=/(i)cU.B错.|/(,r)dr=fix)+C,C借・

D正确.

30.D

【精析】曲线的拐点只能是二阶导数为零或者不存在的点,所以r(ao)=0不是曲

线/(Z)的图形住①=20处有拐点的必要条件.反之,/“(、门)=0•此时/(/)在1=10

处不一定有拐点，故应选D.

31.

・arctan1」「、

~~；—7-d.z、=arctan.rdJz(arctan.r)

J1+.

—(arctan.r)2+C=《(arctaru、)？+C.

乙Z

32.2

【精析】由函数/hr),gQ)均可微,且同为某函数的原函数.因此可设该函数为

"•T)•则^(.r)d.r=/(w)+C,jq(.r)d.r=*(］)+C?,

则/(a)—g(x)=4(7)cb—C1—(J^(-C2)=C2—G=C,

即/(x)与g(x)相差一个固定的常数，又因/(I)=3,g(l)=1.

则f(x)-g(a-)=/(l)-g(l)=3-1=2.C

33.

(2,4)

34.

(一4,2)

【精析】这是缺项的某级数如“宁广•（告广＜葭得4

VzV2.故收敛区间为（一4,2）.

35.

secGe^gd了

【精析】d(e场政)=•(3ni)'di=sec2^e13^do：.

［答案］(5)

1

【精析】(210)3=1X2+3X14-1X0=(5).

36.⑸1

37.

疼du，①du4dv

38.

arctanex+C

arctanex+C【评注】利用凑微分的方法解题•

【精析】P=lim：1yL故收敛半径为2.

392-(«+1)•22

40.

\_

T

【精析】•则I1=1•即4IB|=1.故|

A5=EA||8E|8|=4

［答案1

【精析】linMl+3.r)==lim(1+3.r声y

r-।h»

=1+3-rM］n芯=e

aXb=011={1.1,—1)・

(aXb)•c={14,-1}•{1,1,0}=2.

43.

8

44.

【精析】如图所示，由被积函数及积分区域可知.该积分利用

极坐标计算较为简便，在极坐标系下.积分区域可表示为o&

6&2冗.0&「忘我，所以

z

|\/R'—JC2—ycLrdj»

=R3由

45.

)F(2z)+C

乙

C1C1

【精析】/(2.r)d.r=—/'(2.z)d(2.r)=—F(2.r)+C.

46.0

【精析】limf(.r)=lima'sin—=0.lim/'(.r)=lim(.r2Ia)=a,|||函数/(.?)在

.r=0处连续.则a=0.

［答案］1

【精析】因为e'>0•所以/(e)=l./［/(e*)］=/(l)=1.

【精析】由e，一处=e,令才=0得》=1,两边对N求导得七，一丁一工/=0,将(0,1)

代人得，(。)=e、进一步对e3》'一了一xyf=0求导得+e?〃—3/—y—

xy'=0,将y(0)=1♦j\0)=eI代入得了"(0)=e\

InQ心+47+8+C

【精析】原式=5d(T-+4z+8)

V+4.r+8+4/+8

=-^-ln(.r~+4,r+8)+C=In{.F+(_r+8+C.

［答案1-1-(arctan.r)z+C

乙

【精析】:rclan］业_arctanad(arctanz)

J1+J

【精析】令FQ”，N)=xz—yr—w+y,

则Fi=之——1•F\=——之+1,F：=1——y,

他Cz__Fj_1-z卫___之一1

JiFz/-y'%Fzw-y

因此dz=-----dx+-----djr.

w—5x-y

52.

【精析】I=jyda+桢「）心

k

ln(1—x)d(-5)

=In|JC——ln(1—a*)—In|JCI+ln(1—x)+C

y)ln(l-x)-C.

53.

2

],2,n,1lim[xln(ll7)-x]1

【精析】limfl+-小=limezh(1+7)-e-=，令/=匕则

JrIls.r

rln(I+f)-fjHr'

Im2nm-―1'™2(iTt)_i_

=+=e?

原式=&*o+1=&T+

54.

【精析】令，则

原式=J治山=jW山=j(i—$)dr

=%/2^rF2arctan—-+C.

55.

1-----/1;

［精析］原式=|im=lim壬一零则7=］加_旺三

x-oxarcsirktl。x3k

56.

1»

因为/(/)=(了)+产=「所以有

fQ)=-e-rla,(1+Ini)+2e2dn,(l+Inj)

=(1+Inz)2#

57.

【精析】—th、

Jv^F+Ttt~-i

9

-Ddz=京3—2f+C

=4"(、石二下1)3—2与不i+c

J

58.

解：方程两边对x求导，A(e^+v+cosx-l)=0＞即电=也出..

dxv7dxx户+1

当第

x=Oj=-l,xuo=L所以切线方程为x-y=l.

59.

【评注】解：y'=e~x(-x)rsinx+e-Tcosx=e-T(cosx-sinx),

yn=-e-x(cosx-sinx)+e-x(-sinx-cosx)

=-e-x(cosx-sinx+sinx+cosx)=-2e-xcosx.

60.

【精析】由题意可知,如图所示,积分区域。为0&y42,9&

X4丁，则

r

故通解为：y=Ge2”IGe"S=—2(；e2*1C2e.

由题意知：(0)—0.^(0)—3.

v<0).c,y)(',.3.「।

x-0I(1-1・

即n]

Vr(())=(-2(;e”•(；2)=—2(\I(\-().(2―2・

z-0

故V—e-2ri2ez.

62.

【精析】原方程对应的齐次方程的特征方程为产|r—6=0•得口=-3,七=2,所

以对应的齐次微分方程的通解为V-Ge->+Qe”，

3=i不是特征方程的根•故设原方程的特解为y*=Asin.r*Bcosi.则

(V*y=­Bsinx-Accs«r.(y*)“=­Asinjr—Bcosjr.

代人原方程得

—Asinj—BCOSJ-Bsinj-rACOSJ?—6(Asinz+BCOSJ)=COSH,

则八=春1=一击，故特解为”=Qin"—枭"

原方程的通解为y=Y丁*=Gc3r+Q6"+需sinl—参os/.

63.

原式=卜12^^&=1]匕_：卜8$2xdx=^---^jxdsin2x

解:

-一[(rsin2x-Jsin2xdx)=亍-(xsin2x+；cos2x)+C.

64.

31、

-1-1-

a-5b—

a/5时，有唯一解；a=5,bxl时，无解；a=5,b=l时，有无穷多解.

"1020、

(2)当a=5,6=1时，01-1-1

&00O/

再=-2毛,

同解方程组为:.X=k&+n（%为任意常数）.

天=苍—1

65.

【精析】该二重积分适合选择极坐标系下进行计算,Q：0<e《2n.l4「W2,

故「InMx二十/d.rdy=d°[rlnrdr

D

=jInrdr

2「2.1

=■R^r2,•Inr—r'•—dr)

=兀(41n2--i-r2J

=7t(41n2-4)

=(4ln2-yU.

66.

【证明】设F（i）=

因为均在［a・〃］上连续.在（4・份内可导.

所以F（以在0,口上连续，在内可导.

乂/（a）=f（b）=0♦则F（a）=F（b）=0.

则由罗尔定理知,在（〃・〃）内至少存在一点岂

使F'（E）=0•即“9・2/（f）*（W）=o・

又因为X⑺W0.所以g（?）半0.两边同除以以9.

得/“%）«%）+2/（f/（W）=0.

67.

【证明】原不等式即为^^—ln(l+i)〉0,令八］)=—=一1(1+外,则

/iTF4T7

/T+7----------------------------

zx2"1+1_1_T+2-2/I+-

1I=1+^—干=2(1+I)"7

(/FF7-1产

>0(T>0),

2(1+jj，1+z

故/（］）在［0,+8）上单调增加，则/（T）>/（0）=0（T>0）,

即当1>0时——ln（l+l）>C成立，故原不等式成立.

68.

【证明】设FO）=xf（x）—x2,

因为/（彳）在10,口上连续，在（0,1）内可导,

所以F（x）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，

乂/（1）=1,

F（0）=0•/（0）-02=0,F（l）=1•/（I）-I2=0,

即F（o）=F⑴,

故由罗尔定理知在（0,1）内至少存在一点S使F'（f）=0,

即/（£）十&,（£）—2£=0成立.

69.

【证明】两边取对数，并将冗换为得辅助函数.

设/(1)=elm—JT)=——1.

当;r>e时<0.则f(x)在[e,+8)时单调减小,

J'(JC)</(e)=0,取1=兀>e,/(7T)V0.

即T<e\

70.

【证明】令/(a=(12)ln(l2x./(x)=In(lx)1

/(Jr)=-^+7-当0VzV1时・/'G)>O・

所以f'Cr)在0<才V1内单调递增•又/(O)=0.所以>0.

故/(才)单调递增,又因为/(0)=。•所以当0V/V1时•/(1)>0.

即当OVzVl时，(12)ln(l6>2].

71.

【证明】因/(x)=春[/(/)+/(—1)1+4[/(/)一/(一/力・

而是奇函数.JU（H）+/（—1门是偶函数.

)[/(N•)一/(—x)]dx=0,

乙

所以jf(.r)ckr=24r[/(7)+/(—=|[/(/)+/(—/)]d.r；

J-uJoZJo

(X，

4COSNTpcos>r.cos(—^)-Tpccos.rcos>r-

01+c~+1+Cz

-f]+「01+c，1+♦

7cosTdr=sin①

0：=4

72.

【证明】令冗一，♦d,r=—d/.当,r=0时t=7：.当父=木时t=0.

1ro

、r/(sini)d、r=(穴—f)/[sin(兀—/)](—dr)

031c

一](7t—z)f(sinr)dr

(K-/)/(sin/)dr

o

=K/(sin/)d/—r/(sin/)df.

Jo'Jo'

又定积分与积分变量无关，即「又定inZ)dr=.r/(sin.r)d.r.

J00

整理得.r/(sin.r)d.r=-y|/(sinr)di.

o4Jo

jsin.ri7Tsnrr」

iJoi^?7d'r

f£rr京do

=--^arctan(cos.r)

乙4

73.

【证明】因"工)=1E/(X)+/(-]+1L/(X)-/(-

乙u

而:［/（N）—/（一/）］是奇函数,4［/（工）+/（一二）［是偶函数,

乙乙

故（J［/（N）—/（—N）］（lr=0,

所以1f(x)clJ'="1

h[/(i)+/(—i)]clr=[/(])卜/(—a)]di;

•0乙0

ICOS(­x)寸re7COSJ,.

cosw•I「COS。'COSN'-|d.jr

TTP-1+e"J

-f1+♦二0l+e-