2023届高考数学专项练习高分突破智取压轴小题13 与球相关的外接与内切问题含答案

2023届高考数学专项练习

与球相关的外接与内切问题

一.方法综述

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多

面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的

空间想象能力以及化归能力。

研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：

（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.

（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.

（3）球自身的对称性与多面体的对称性；

二.解题策略

类型一柱体与球

[tt1]（2020.河南高三（理））已知长方体ABC。-44GA的表面积为208,A3+3C+AA=18,

则该长方体的外接球的表面积为（）

A.116万B.1064C.567rD.534

【答案】A

【解析】

（AB+BC-^AA=IS,,,

【分析】由题意得出《ADM-由这两个等式计算出AB-+8。?+M，可

[ABBC-^-BC'AAy+ABAAi=104

求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.

【洋解】依题意，AB+BC+AA,=18,ABBC+BCAA.-^ABAA.=104,

222

所以，AB+BC+A^=（AB^BC+AA]）-2（ABBC+BCAA]+ABAA]）=116,

故外接球半径r=JAB”。、到=V29，

2

因此，所求长方体的外接球表面积S=4〃/=1167r.故选：A.

【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径.

【举一反三】

1.（2020•河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为G的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2,若

该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（)

A.-7iB.—7TC.5万D.87r

33

【答案】D

【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图,

则其外接球的半径R=OB=］=五,

V1丫⑶（2sin60。）

外接球的表面积S=4〃x2=8/r.故选：D

【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面

的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形“用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径.

2.（2020•安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，

得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为。，则这个球的表面积为（）.

33

A.-7ccrB.C.6兀（『D.-7ta~

42

【答案】D

【解析】由已知作出截面图形如图1，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的

位置关系如图2所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为〃?，外接球的半径为

R，则4=上加，2R=G〃Z，所以R二手〃，所以外接球的表面积为5=4乃店=4/乂［号］=1^2,

【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出外接球的半径与正三角形的边

长的关系是本题的关键，

3.12020•河南高三（理））有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm,高度为100cm,

现往里面装直径为10cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）

（附：1.414,百732,上=2.236）

A.22个B.24个C.26个D.28个

【答案】C

【解析】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为5&cm,每装两个球称为“一层“，这样装〃层球，

则最上层球面上的点距离桶底最远为（10+5夜（〃-1）卜m,

若想要盖上盖子，则需要满足10+505-1）＜100,解得〃41+9收到3.726，

所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.故选：C

类型二锥体与球

【例2】5.已知球。的半径为亚，以球心。为中心的正四面体「的各条棱均在球。的外部，若球。的

球面被「的四个面截得的曲线的长度之和为84，则正四面体「的体积为.

【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题

【答案】18拒

【解析】由题知，正四面体截球百所得曲线为四个半径相同的网，每个圆的周长为2不，半径为1,故球心

。到正四面体各面的距离为=半，设正四面体棱长为。，如图所示，则斜高

AE=3EF=^~a，体高在Rt二AEF和Rr二4Go中，==

23404E3

即77=:，••"=6,V」曳2.旦=叵63=18拉.

\/66/_V6334312

丁一三

【举一反三】

1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD的体积为则正四面体ABCD的外接球的体积为—

【答案】*2ffa3

2

【解析】如图，

设正四面体ABCD的棱长为*过A作AD_LBC,

设等边三角形ABC的中心为0,则A。==FV

・•.PO=卜一（六）2=a

=]'；X，TX,^X=7,即X=V2a.

再设正四面体ABCD的外接球球心为G,连接GA,

则户=402+GO2-（ya）2+（苧Q-R）L即R=yfl.

・••正四面体ABCD的外接球的体积为V二半x（劣尸二?启故答案为：生犹

2.（2020•宁夏育才中学）《九章算术》是我国占代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积

粮食的容器的下面是一个底面积为32国高为h的圆柱，上面是一个底面积为32。高为h的圆锥，若该容器有外

接球，则外接球的体积为

【答案】288乃

【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，

其外接球的直径是2R=3〃，设圆柱的底面圆半径为，母线长为/=/?,

则订2=32乃，解得尸=4&，又『+（2，）2=（3疗，

.•/2+（80）2-9/，,解得/z=4,

・・•外接球的半径为R=：X4=6,

2

，外接球的体积为V=皿=网曳=288产.

33

3.（2020•贵阳高三（理））在四棱锥P—ABC。中，底面A8C。是边长为4的正方形，△^4。是一个正三

角形，若平面小DJ_平面A8C。，则该四棱锥的外接球的表面积为（）

14万「28乃-56万、112乃

A.——B.-------C.——D.---------

3333

【答案】D

【解析】

【分析】过Q作P尸_LA。，交AD于尸，取5c的中点G,连接PG,FG,取。厂的三等分点〃

（PH=2HF）,取G/的中点E,在平面尸始过日尸分别作GEP厂的垂线，交于点O,可证。为外

接球的球心，利用解直角三角形可计算PO.

【详解】如图，过P作P/J.AD,交AO于尸，取8C的中点G,连接PG,/G,在。尸的三等分点”

（PH—2HF）,取GF的中点E,在平面PFG过E"分别作G凡尸尸的垂线，交于点O.

因为AE4O为等边三角形，AF=FD，所以尸/_LAO.

因为平面夕4。，平面A3CO,"面平面A8CD=AQ,Pbu平面PAD，

所以比_L平面ABC。，因Gbu平面ABC。，故PFLGF.

乂因为四边形48co为正方形，而G,少为3cA。的中点，故尸GCD,故G尸_LAO,

因AO「PP二/，故平面尸AD.

在心APG产中，因OE上GF,PF上GF,故,OE上PF,故OF_L平面ABC。,

同理OH_L平面BAO.

因E为正方形ABC。的中心，故球心在直线OE上，

因以为△/%£>的中心，故球心在直线OH上，故。为球心，0P为球的半径.

在RfAPG/中，PH=2PF=，4X^=巫,OH=EF=2,

3323

故8=/4+号=后=¥^所以球的表面积为47rxm二卫|三.

类型三构造法(补形法)

【例3】已知三棱锥P-A3c的各个顶点都在球。的表面上，PA_L底面ABC,AB1AC,AB=6,

AC=8,。是线段A8上一点，且A£>=2£>8.过点。作球。的械面，若所得截面圆面积的最大值与最小

值之差为25"，则球。的表面积为()

A.1284B.1327rC.144万D.1567r

【答案】B

【解析】・；B4_L平面ABC,AB1AC,将三棱锥P—A3C补成长方体PQMN-A8EC,如下图所示:

设连接OF、DF.0D,可知点。为PE的中点，

因为四边形A8EC为矩形，AEBC=F,则/为AE的中点，所以，OFHPAQOF=gpA,

设%=2x，且AE=J/W'S=10'.•.PE=JPA2+AE2=25/、+25,

所以，球以的半径为R=?PE=Jf+25,

2

AryQ

在用A/ABE中，ZABE=-,AB=6,4石=10,cosZBAE=—=-,

2AE5

2_

在「AZ)77中，AD=-AB=4,AF=5>

由余弦定理可得DF=JAD2+AF2-2AD-AFcosZBAE=J万，

•/。/u平面ABCD,则OF工DF,

-OF=^PA=x,...OD=J。尸+DF?+17,

设过点。的球。的截面圆的半径为一，设球心。到截面圆的距离为d,设。。与截面圆所在平面所成的角

为0，则d=QC)sin0=,/?2一产.

当。=0时，即截面圆过球心。时，d取最小值，此时厂取最大值，即9：=叶=Jf+25；

当。=擀时，即。。与截面圆所在平面垂直时，”取最大值，即4_=OD=Jf+i7,

此时，厂取最小值，即“卜-(3=2&.

由题意可得乃[(=)2—(*n)[=(d+17)l=25i,・.・x>0,解得x=2五.

所以，R二后,因此，球。的表面枳为5=47斤=132万.

故选：B.

【举一反三】

1.(2020宁夏石嘴山模拟)三棱锥5-ABC中，侧棱M与底面ABC垂直，“=1，AB=2,0C=3且AB1BG

则三棱锥S-A8C的外接球的表面积等于.

【答案】10n

【解析】把三棱锥5-ABC，放到长方体ABCD-S31C】Di里,如下图：

SC=<5©+AC2=d因此长方体ABCD-5%CWi的外接球的直径为JU,

所以半径R二呼,则三棱锥5-A5C的外接球的表面积为4碇2=10n.

2

2.（202（）前泽高三模拟）己知直三棱柱4BC-A】B]Ci的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和丫，

此三棱柱的高为2V3,则该三棱柱的外接球的体积为

C.学D.

【答案】C

【解析】

如图所示，将直三楂柱4BC-A】B]C[补充为长方体,

则该长方体的体对角线为J(2b)火技“U

设长方体的外接球的半径为R则2R=4，R=2,

所以该长方体的外接球的体积P==攀故选C.

3.（2020,贵州高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

【答案】A

【解析】【分析】如图所示画出几何体，再计算体积得到答案.

【详解】由三视图知该几何体是一个四棱维，可将该几何体放在一个正方体内，如图所示;

在棱长为2的正方体—中，

取棱B£,DA,A民BC,CD的中点分别为E,M,N,P,Q,

则该几何体为四棱锥E-MNPQ,其体积为:x"5『x2=g.故选：A

类型四与球体相关的最值问题

【例4】（2020.福建高二期末（理））在外接球半径为4的正二棱锥中，体积最大的正二楂锥的高力=（）

1413「716

A.—B.—C.-D.—

3423

【答案】D

【解析】

【分析】设正三棱锥底面的边长为明高为人由勾股定理可得42=（/?-4尸+（亭，，贝|」8人一肥二；/,

三棱锥的体积V=^（8『一〃3）,对其求导，分析其单调性与最值即可得解.

【详解】

解：设正三楂锥底面的边长为。，高为/?,根据图形可知

22

4=(/7-4)+

则8/?一"」/〉（）,.

3

又正三棱锥的体积

手/〃二半（8万一〃2）力=乎（8/?2—/）,则V，=¥（］6/L3〃2）,

令V'=0,则〃=3或〃=0（舍去），

3

.•.函数V邛侬2一川）在（of单调递增，在件8）上单调递减，

.•.当力=乎时，V取得最大值，故选：D.

【点睛】本题考查球与多而体的最值问题，常常由几何体的体积公式、借助几何性质，不等式、导数等进

行解决，对考生的综合应用，空间想象能力及运算求解能力要求较高.

【举一反三】

1.（2020・广东高三（理））我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角

三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如

图所示的堑堵，AC1BC,若AA=A8=2,当阳马8-AACG体积最大时，则堑堵A8C一4与6的

14x/2

C.---------71D.4瓶兀

【答案】B

【解析】依题意可知8C_L平面｛CGA•设4c=a，AC=〃，则

AC?+BC?

a2+b2=AB2=4.V.=-x-xACxAAxBC=-xACxBC<-x=-x-=~,当

BMCCI32"332323

且仅当AC=3C=0时取得最大值.依题意可知M3cMBA,MBg是以A田为斜边的直角三角形,

所以堑堵ABC-4四c外接球的直径为48,故半径。3=；43=；乂7M2+=V2.所以外接球的

体枳为三.（血了二浮，

特别说明：由于8C_L平面ACC4,AABCAABAAA/4是以为斜边的直角三角形，所以堑堵

ABC-A禺G外接球的直径为为定值，即无论阳马B-AACG体积是否取得最大值，堑堵

ABC-A4G外接球保持不变，所以可以直接由直径4B的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的

体积.故选：B

2.（2020•遵义市南白中学高三期末）已知4，B,C,。四点在同一个球的球面上，AB=BC=5

ZABC=90°,若四面体A8CO体积的最大值为3,则这个球的表面积为（）

A.4"B.8〃C.164D.32万

【答案】C

【解析】

根据4B=BC=遥.可得直角三角形AABC的面积为3,

其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，

设小圆的圆心为。.由于•底面积不变.高最大时体积最大.

所以。。与面ABC垂直时体积最大，最大值为为;SMBCXOQ=3,即:、3乂。。=3,.二。。=3,如图，

JJ

设球心为。，半径为R,则在直角A4QO中，即R?=（x/3）2+（3-R）?,R=2,

则这个球的表面积为S=4^-X22=16^，故选C.

3.（2020•河南高三（理））菱形ABCD的边长为2,ZABC=60°,沿对角线AC将三角形ACD折起，当三

棱锥D-ABC体积最大时，其外接球表面积为（）

A岳D2厉厂20「20

A.---冗B.-----71C.—71D.--71

3393

【答案】D

【解析】

【分析】当平面ACD与平面ABC垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到

斤=（G-OG）2+（*）2和夫2=OG2+（竽尸，计算得到答案.

【详解】易知：当平面ACD与平面ABC垂直时体积最大.

如图所示：

£为人。中点，连接DE,BE,外接球球心。的投影为G是A/13c中心，在BE上

=73，DE=73，上G=丁，j=—

3

设半径为R,则R?=(6-OGy+(\斗，R2=OG2+

解得：/e=—,表面积S=4."?2=—故选：D

33

圜

三.强化训练

一、选择题

1.（2020・广西高三期末）楂长为。的正四面体ABC。与正三楂锥E—BCZ）的底面重合，若由它们构成的多

面体人8CQ石的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（）

A.工B.此C.会/D.三/

4664

【答案】A

【解析】由题意，多面体A8CDE的外接球即正四面体4BCO的外接球,

由题意可知4E，面8c。交于尸，连接。尸，则.立”=立〃

323

且其外接球的直径为AE,易求正四面体A8C。的高为』/一上〃二上

I13J3

设外接球的半径为凡由双一［乎〃一R）=（曰〃）得R=

设正三棱锥后一BCD的高为近因为AE=^~a=S+h，所以人=』5〃.

236

因为底面ABC。的边长为。，所以EB=EC=ED=JCF?+h?=E,

2

则正三棱锥E-BCD的三条侧棱两两垂直.

12>/33+>/32q

即正三棱锥E-8CO的表面积S=3x'xfV2Y

---aH—crx—=-----cr,故选：A.

22224

2、（2020辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥5—ABC中,

SA=BC=v'41,58=AC=5,5C=AB=V可，则三棱锥5-ABC外接球的表面积为（）

A.25nB.25V2nC.50nn-50V2H

【答案】c

【解析】如图,

把三棱锥5—ABC补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为明60

则。2+炉=41,+c2=25/a2c2=34»

•••三棱锥外接球的半径/?=FZ空=炉

22

・・・三棱锥S-ABC外接球的表面积为S=4TTR2=50m

故选:C.

3.（2020•安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而旦每个顶点都引出相同数目

的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧儿里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究

了正多面体的作图，并证明了每个止多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，

则它们的楂长之比为（）

A.72:1:73B.2：V2：V3C.2:72:1D.2:72:3

【答案】B

【解析】设正四面体、正方体、正八面体的棱长以及外接球半径分别为

她2R=6x包a,2R=Cb,R=^c,

22

即〃=2咚）,〃=竿,二=及/?「.a:〃:c=2:a:5/^故选：B

4.（2020・北京人大附中高三）如图，在四棱锥S-ABCO中，四边形A8CO为矩形，入B=26，4）=2,

ZASZ?=120°,S4_LAO,则四棱锥外接球的表面积为（）

A.\64B.204C.80乃D.1004

【答案】B

【解析】由四边形A8C0为矩形，得A3_L4。，乂S4_LAO,且S4c43=A,，4。_1平面S48,

AB2A/3_V3_2

则平面S4B_L平面A8CO,设三角形S48的外心为G,则一2sin/ASB-2sin120。一耳一.

T

过G作GO_L底面SA8,且GO=1,则OS=疗用=石•却四棱锥外接球的半径为右.

•••四棱锥外接球的表面积为S=4乃x（石尸=20几.故选B.

5.（2020河南省郑州市一中高三）在三棱锥P-/I8C中，平面ABC,ziB4C=120%AP=41,AB=2»

M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为月，则三棱锥P-A5C的外接球的表面积是（）

A.yB.9历1C.18nD.40n

【答案】C

【解析】解：如图所示:

三棱锥P-AEC中，PA1平面ABC,AP=yil,AB=2，

"是线段8c上一动点，线段PM长度最小值为月，

则：当AMLBC时，线段P.M达到最小值，

由卜：PAl^ABG所以:PA2+AM2=PM2,

解得：AM=1,所以：BM=C，则：zBAM=60B,

由于：zB4C=120S所以：4MAe=60'则：△ABC为等腰三角形.所以8。=26，

在AABC中，设外接圆的直径为2r=总%=4,则：r=2,所以外接球的半径R=卜+（辛）2=/，

则：S=4•用•?=18m故选：C.

6、（2020河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角

形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）

C.9JII).10n

【答案】C

【解析】由三视图可得，该几何体为一个三楂锥，放在长、宽、高分别为2,1,2的长方体中，此三楂锥

和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为

<2：+2?+12=3,从而外接球的表面积为9加故答案为：C.

7.（2020.江西高三期末（理））如图，三棱锥P-A3C的体积为24,又NPBC=ZABC=90。,BC=3,

A6=4，PB=4屈,且二面角P—8C—A为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.169万B.144万C.1857rD.80〃

【答案】A

【解析】因NP3C=NA4C=90。，所以4CJ•平面Q43，且为二面角「一4。一A的平面角,

又8C=3,A3=4，PB=4M,由勾股定理可得尸C=13,AC=5,

因为S.B=[PB,ABsinNPBA=8而sinNPBA,所以三棱锥的体积

V=-SSPABBC=-X85/10sinZPBAx3=24,解得sinNPBA=，

3310

又ZPBA为锐角，所以cos/P84=典，

10

在AE48中，由余弦定理得PA?=160+16—2x4x47^x^=144,

10

即24=12,则P4MRV+A4，故P4J_4B，

由BCJ_平面。钻得8C_LQ4,

故PA_L平面ABC,即P4_LAC,取PC中点。,

在直角M4c和直角APBC中，

易爵OP=OC=OA=OB,故。为外接球球心,

外接圆半径PC=—,故外接球的表面积S=44序=169万.故选：A.

8.（2019・湖南长沙一中高三）在如图所示的空间几何体中，下面的长方体的三条校长

"=4）=4,AA=2,上面的四棱锥P—A4GA中RE二C£,PEJL平面AMG2，PE=1，

则过五点A、B、C、D、P的外接球的表面积为（）

【答案】C

【解析】问题转化为求四棱锥P-ABC力的外接球的表面积.PC=〃73=J万，

3_V13_13

AsinZPCD=-7=.所以APCO外接圆的半径为"二;一F=7,由于PE_L平面片片加。，

则PE_L平面ABC。，Pfu平面PC。，所以平面尸C力，平面ABCD,

所以外接球的六二2之+/=4+臀二菱•所以S球表面积=4兀R2=等

3bJoV

9.三棱锥P—ABC中，底面ABC满足BA=BC,"BC=g,点P在底面ABC的射影为AC的中点,，且该三棱

锥的体积为荒，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（）

A.3B.VI?C.22D.且

23

【答案】B

【解析】设外接球半径为凡P到底面ABC的距离为力，AC=2。，

x\x2axaxh二孔a2h=g

$4D4

因为R2=s一幻2+M，所以氏=誓=噂=?+W，

因为R—:—左=0=h=Vl?»所以当0<A<时,R<0,当h>近9时，R>0，因此当h=»

〃取最小值，外接球的表面积取最小值，选B.

10.（2019•河北高三月考）在平面四边形A8CD中，ABLBD,NBCD=30。，AB2+4BD2=6»若将△AB。

沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A-BDC外接球的表面积是（）

A.47rB.5兀C.67rD.8兀

【答案】C

【解析】取3。中点£/，设MCD的外心为M,连MB,MF,EF,

则MF±BD,ABMF=-NDMB=ZBCD=30°,/.BM=2BF=BD

2

分别过EM作MRE/的平行线，交于。点，

即OE//MFQM//EF,

•・•BD±AB,:.E为AABD的外心，

平面ABD±平面BCD,AB_L平面BCD，

EF//AB,EF_L平面BCD，.二OM_L平面BCD,

同理OEJ_平面曲，分别为AABD,她。£>外心，

「.。为三棱锥的外接球的球心，。8为其半径，

OB2=BM2+OM?=BD2+EF2=BD2+-AB2=-,

42

S.^=4^xOB2=64.故选:C

11.（2020•梅河口市第五中学高三期末（理））设三棱锥P-A8C的每个顶点都在球。的球面上，AEAB是

面积为G的等边三角形，44cB=45。，则当三棱锥尸。的体积最大时，球。的表面积为（）

28，八八32

A.-71B.10笈C.——兀D.121

33

【答案】A

【解析】如图，由题意得上AZf=J5,解得A8=2.记A8=C,6C=GAC=Z?,

4

a12

S^BC=；a/?sinC=~~^,由余弦定理/-a+b-2zz/?cosC♦得4=a?+b?—6abN2ab—6ab，

，力＜5殳=2（2+a）,当且仅当4=8时取等号.

所以C4=C8且平面PABJ_底面ABC时，三棱锥P-ABC的体积最大.

分别过ATXB和A4BC的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心O,

设AB48和AABC的外接圆半径分别为弓，r2,球。的半径为R,

2121：=2+二，

贝也=F，r,=-x--------=’2.故R?=r;+1-f\

V3-2sin45°233

OQ

球。的表面积为4.=7乃.故迄A

A

12.（2020四川省成都外国语学校模拟）已知正方形力加9的边长为4,E,尸分别是8C,⑦的中点，沿力£,

EF,粕折成一个三棱锥A4外'（使反C,〃重合于?），三棱锥PT牙'的外接球表面积为（）

A.6nB.12nC.24nD.48n

【答案】C

BEC

由题意可得，三棱锥跖的三条侧棱为，PE,左两两互相垂直，

且"=4,PE=PF=2，

把三棱锥2-4%补形为长方体，则长方体的体对角线长为、42+2?+2?=2瓜,

则三棱锥的外接球的半径为外接球的表面枳为47Tx（、石）2=24/1.故选：C.

13.已知球。夹在一个二面角。-/一/之间，与两个半平面分别相切于点4区.若A3=2,球心。到该二

面角的楂/的距离为2,则球。的表面积为（）

A.8乃B.6乃C.4万D.2乃

【来源】江西省萍乡市2021届高三二模考试数学（文）试题

【答案】A

【解析】过。，A,3三点作球的截面，如图：

DB

设该截面与棱/交于。，则O4_U,OB11,又。AlOB二。，

所以/J•平面408,所以OQJJ,所以|。。|二2,

依题意得。所以O,4,D,8四点共圆，且。力为该圆的直径,

因为|A8|=2=|O/)|,所以A3也是该圆的直径，

所以四边形OADB的对角线A3与。。的长度相等且互相平分，所以四边形。为矩形，又

所以该矩形为正方形，所以|OA|=*|A8|=0，即圆。的半径为正，所以圆0的表面

积为4;rx(0)2=8开.

故选：A

14.已知点A£C在半径为2的球面上，满足4B=AC=1,BC=B若5是球面上任意一点，则三

棱锥S—A8C体积的最大值为()

3+2&3+262+3右3+x/3

/A•D•L・1Lz•

1261212

【答案】A

【解析】设aA3c外接圆圆心为。'，三棱锥5-ABC外接球的球心为。，AB=AC=\,设。为BC中

点，连AO,如图，

£

2

设AA3c外接圆半径为，

，二(^^)2+(A。一厂产=■1■+(考■一厂)？，解得尸=1,

242

;.|00]=V22-r=6

要使S—A8C体积的最大，需S到平面A8C距离最大,

即S为。7?的延长线与球面的交点，最大值为百+2,

所以三棱锥S—ABC体积的最大道为1x(石+2)S八8c=』X("+2)XLX2X6=2YI.

3,32212

故选：A

15.已知半球。与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1,则圆台侧面积

取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为()

46B6C出□邪

92763

【答案】D

【解析】如图1所示，设8C=x,CO'=〃，作C/_LA3于点尸，延长00'交球面于点E,则3b=1—r，

OO1=CF=y/BC2-BF2=^-(l-r)2>由圆的相交弦定理及图2得

C0OO=O'EO”=(1+OO')(1—O。)，即、=(1+Jx2_<f)2)(]_jx2_(]_,不卜解得

2

则圆台侧面积S=7T1+1-+

则，=2万一当1,令£=0,则x=2且或x=—3叵(舍去),

233

当0〈工<辿时，S'>0,当述一

夜时，S<0,

3

(

所以函数5=兀・1+1—~—上递增，在，及上递减,

I2J

所以当工二冬巨时，S取得最大值.

3

当工=8C=毡时，/=1--=-,则5尸=1一一=2

3233

在轴截面中，NOBC为圆台母线与底面所成的角，在RLATF3中可得cos/OBC=g£=",

BC3

故选:D.

16.（2020・重庆八中高三）圆柱的侧面展开图是•个面积为16方的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球,

则V的最大值为.

【答案】学

2"=/r=2

【解析】设圆柱的底面直径为2人高为/,则〈i—解得…兀•故圆柱的底面直径为人高为％，

47r30冗

所以圆柱内最大球的直径为4,半径为2,其体积为式X23=一1.

33

17.（2020•江西高三）半正多面体（$即小组〃/〃$。4/）亦称“阿基米德多面体''，如图所示，是由边数不全相同

的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,

如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形,

六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为0,则该二十四等边体外

接球的表面积为.

【解析】由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为衣，侧棱长为2的正四棱

柱的外接球，(2Rf=(V2)2+(&y+2?,A=夜,

二.该二十四等边体的外接球的表面积S=4兀R?=4KX（V2）2=8兀.

18.（2020•福建高三期末（理））在棱长为4的正方体A3c。一4片中，£,尸分别为4%，8。的

中点，点M在棱4a上，若平面在M交44于点N,四棱锥N-3。。片的五个顶点

都在球。的球面上，则球。半径为

a2729

【答案】土二

3

【解析】如图1,名,例,尸三点共线，连结与£鸟£历尸从而与£平面EEM，则与£与A圈的交点即

A.EA.N1

为点N,又RfAB]B,N与RrA/\EN相似,所以般二发二彳;

o,B]/VDjZ

如图2,设AgRN的外接圆圆心为。半径为广，球半径为R,在ABQN中,

NNBR=45°,D、N=,由正弦定理得r=gJL所以2P=g石，在MA。。/中，解得

pp=45/29即2R=a而.所以所求的球的半径为名丝.

333

19.（2020•黑龙江高三（理））设4氏C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，在6c中，

BC=6./B4C=60°，则三棱锥D-ABC体积的最大值为

【答案】18g

【解析】&ABC中，8C=6,ZMC=60°,则/一二」一=46二2厂「.1=26，

sinAsin600

222

/7nlix=dR?-户+1=6,cr=tr+c-2Z?ccosA=b+c-be>bebe<36»S=g"c、sinA"9百

当。=匕=。=6时等号成立，此时V='s〃=18g

3

20.（2020•河北承德第一中学高三）正三棱锥S—ABC的外接球半径为2,底边长AB=3,则此楂锥的体积

为____________

【答案】巫或祖

44

【解析】设正三棱锥的高为h,球心在正三棱锥的高所在的直线上，H为底面正三