2023高考数学常考必考题型清单-上海-试题答案解析

2023年高考数学常考必考题型总结

第一章集合&逻辑&不等式&复数&向量

例1：

解析：(1)解法1：常规解法

全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合力={-1,o,I,2},"=1-3,0,2,3},

则L4={-2,-1,1},：.A^vB={-\,1},故选C.

解法2：交补排除法

;要求的是如⑸可，；♦要求的集合里的元素不能含有乃集合中的元素，故排除ABD,故选C.

(2)集合-3X-4V0}=(-1,4),B={-4,1,3,5},则力"B={1,3},故选D.

例2:

解析：(1)集合/={x|1<xV4},Q={x\2<x<3},则PA。={x|2vxV3}.故选B.

1234

（2）:•集合/=（（«,j，）|x,j，WN*,,#={（“，j,）|*+p=8）,

yX

：.A^={（x9y）\[^'x,J£N・}={（1,7）,（2,6）,（3,

[x+j，=8,

・・・ACB中元素的个数为4.故选C.

例3：

解析：（1）・・・3£力，且力G5,13WR,・・・。=3,故答案为3.

（2）由题意知集合力={xW>1}（真数位置*—1>0）.

集合V="K力I}（根号底下的数大于等于零）所以4U4,故选R.

例4:

解析：(1)由〃，解得“V0或

根据集合判别法可得““>1”是％2>/'的充分不必要条件故选A.

(2)当A=2〃，为偶数时，〃=2〃江+“，此时sina=sin(2〃加+0)=sin/?,

当A=2〃+l,为奇数时，a=2nn+n-fi,此时sin”=sin(五一=sin/?,即充分性成立，

当sin〃=sin/,则〃=2〃“+/，〃6Z或〃=2〃江+江一/,〃£Z,

即a=A?r+(T)A/,即必要性成立，则“存在A£Z使得a=An+(-1)4/T

是弋ina=sin/T的充要条件，故选C.

例5：

北大博士邱崇

曜柘.⑴2T=(2_i)(l_2i)=_5i=柏冼D

解析.(l)i+2i—(l+2i)(l-2i)-1+4—।•故选口・

(2)(l+2i)(2-f-i)=2+i+4i+2产=5i,故选B.

(3)由z(l+i)=l-if得z==(i=-i,，z=i.故选D.

例6:

解析：（1）口诀法：因为复数吊在复平面内对应的点位于实轴上，

1-i

所以不为实数，根据实虚虚实差为。得，〃二T故选。

（2）Vz=-3+2i,：.z=-3-2i,.••在复平面内£对应的点为（-3,-2），在第三象限.故选C.

（3）=当=（.器入）=A+赤，工虚部为小故选以

（4）解法1：常规解法复|虹，Zz满足匐=伍|=2，“+Z2=v^+i.

2

所以%+。|=2,/.\Zi+Z2\=（Z.+4）•口+5=4,・'・8+ZiZ1+ZiZi=4,得jz2+ZiZj=-4.

2

••\zt—zl\=S—ZiZz—%&=12.又由一「2|>0・故岛一益|=2，5.故答案为2，5.

解法2：画图法结合题意，复数转化成向量画出符合的图象如右：

设工=行，京=就.则△/加和△/!”）为等边三角形.

/.ZABC=30°./.8c=248COS30。=2X2X竽=2V3.

AB

例7:

解析：=3=5+2/.，髀（表卜，

当日仅当”=|2,J，=3?时等号成立故答案为：9（

JQo

例8:

解析（积为定值）：设/=〃，/=〃，原题转化为5血+〃=1,求</+力的最小值•

由5M—52=1,可得〃=与/，由。"（J,可得〃^（o,4，

E.,r1一力-1+46

则〃+力=

当且仅当6=/=1/“=》2=而1，可得1+户的最小值为会4

北大博士邱崇

解析（和为定值）：4=（5x*+j，2）・4j，2=（5〃+6）・4bA.|［巧=竿①十）尸，

故1+，当且仅当5“+〃=4〃=2,

I34

即/=亍・X?=而时取得等号，可得1y的最小值为-.

例9:

解：①已知a>0,b>0,且a+〃=l,所以（〃+6）2W2a2+2〃，则/+，故A正确.

②利用分析法：要证2"，只须证明〃一力>-1即可，即〃〉〃一1,由于〃>。，力>。，且

a+b=\,所以〃>0,A-l<0,故B正确.

③log2〃+10g2b=log.必&log.（三"）=一2,故C错误.

④由于“>。，〃>。，且〃+〃=1•利用分析法：要证\不+避成立,只须对关系式

进行平方,整理得〃+•即2•41■故山区《；=空，当且仅当“=〃=3

时，等号成立.故D正确.

故选：ABD.

例10:

解：设5>0,。力2=1,贝。=1+〃2,所以“2=（1+户）2,：=12〃.

mJ工/—1,（1+从）■>,「（1+―）•一/1+F

则］+而=中+8b22V1T一防一=2、^-.

1一b*J+力2\/^b［

由于力>。，所以一^一=--、T—=彳，（当且仅当力=i时，等号成立）

当'=1时，方="）.故旧hv

所以!+需的最小值为2X^=1•故答案为：L

u0/7L

例11:

北大博士邱崇

解：X>。,J>0,K+2J，=5,

则（x+1）=2号+/2『+1=驾2=24+6

\/xyVxy7xyy/xy

由基本不等式有：2VH+

当且仅当2\行=时，即q=3,x+2»=5时,即

Vxy

时等号成立‘故的最帕为瘀.故答案为：心

例12:

解析：因为a>0,8>0,且岫=1,

ah.ab,8bat

—~v~—---―——

则云+茄+E2・2ba+b22a2a—hV2

当且仅当

取等号，故答案为：4.

例13:

解析：

因为“，/>WR,且〃-3b+6=0,可得：a—3力=-6.

则2"+崇=2”+2!N2/2"12”=2,2。7。=:,当且仅当2“=2，即“=-3,6=1时取等号.

因此所求函数的最小值为.故答案为：.

例14:

北大博士邱崇

证明（常规解法）：

由题意可得，〃1。臣4+力=1即2〃+力=1,〃>0,b>0,

“。+2力12（\］2）八12a2b

则1nf=万+工=（万+2）（2。+〃1A）=万+了+529・

当且仅当得二子且2a+〃=l即〃=力=：时取等号，故选：D.

证明（倒数二元和最值法）：

由题意可得，〃1。&4+力=1即2a+〃=l,此时〃=1,〃>0,力>0,

则0:;b=1+：的最小值为:（\^记+，^）・=；X（，2X2+S3⑴2=9.

当且仅当得=?且2〃+力=1即〃=/>=；时取等号，故选：D.

例15:

解析：据题意1，设，=*+!,*£（1,5）,根据对勾函数的性质总加=4.

x+-X

42929\29\

且当x=5时，x+^=E,故七［4,互卜且当蚱［4・歹）时,■为，的单调增函数.

故〃的取值范围是卜9.一号）

例16:

解析：解法1：常规解法：J

⑴在^力相中,。是48边上的中点,则方=而+而

=而+罚=而+（AC+而）=2CD-刀.故选C.

解法2：特殊图形法：«I

设△4FC是以NC为直角的等腰直角三角形，且直角边长为2.

如图建立平面直角坐标系，则力（2,0）,8（0,2）,C（0,0）.

所以。点坐标为（1,1）,所以方二（0,2）,

将ABCD四个选项代入计算，只有C选项得（0,2）,故选C.

（2）解法1：常规解法：

在△/mC中，力。为4c边上的中线/为/屹的中点，

筋=方一族=筋_=益_:X；（凝+JC）

=毋凝_:就，故选人.

北大博士邱崇

解法2：特殊图形法:

设是以N/I为直角的等腰直角三角形，且直角边长为4.

如图建立平面直角坐标系，则4。，0),笈(4,0),C(0,4),

所以。(2,2),故E(1,1),

所以酉=(3.-1),方=(4,0).%=(0,4),

将，5。四个选项代入计算，只有A选项得(3,-1),故选A.

解法3：画图法(看谁长的像就选谁)：

在△力5c中，画出A,B,C,D四个选项中的向量，只有A选项和

互向量像，故选A.

例17:

解析：⑴:向量：=(1,2),1=(2,—2),・・・27+力=(4,2),・“=(1,切，

;〃3+%・・・；=,,解得”:被答案为今

(2)解法1：常规解法：;向量；，办为单位向量，且：，力的夹角为45。，

ff->一、2\2

••a•b=\a\-|6|cos45°=1X1X下一=下一，又A4一力与“垂直，

:(3-S)-a=k\a\l-a-A=0,即〃---怖=。•则A=f•故答案为

解法2：画图法：画出符合题干条件的图如图，—“一,.Z/1.方

«,1的夹角为45°,解图中的直角三角形可得A=容・/」•

一fffI

（3）解法1：常规解法：单位向量a\=\b\=\,ab=1X1XCOS600=-.

对于A,G+2911+2『=3+2=]•所以0+29与7不垂直；

对于B,（2^4-S）4=2；4+r=2x|+l=2,所以（27+今与际垂直;

〃-2力）b=ab-2b=方-2=-1,所以（〃-2万）与力不垂直；

北大博士邱崇

解析：(1)解法1:常规解法

22

由：,力为单位向量,且而+b\=\f\a+b\=\,可得7+2%・b+b=\,

1+2ah+1=1.所以2〃•力=T.则—b\=u2—2m•h+b2=y/3.

故答案为\丹・C

解法2：画图法

因为i"为单位向量,且日+%1=1,画出符合的图象如图：

B

则△狗。为等边三角形，故可得/力4c=30",A

在△/〃(？中.HC=2,8cos300=质故笞案为，5・

(2)向量3,工满足日1=5，向=6,1%=-6,可得】+小=/-2'Zb

=，25-12+36=7.COsV“・〃+b>=——=—^r=—=。丁==・

同|.+臼5X75X735

故选D.

例19:

解析：坐标法

如图，以力为坐标原点建立平面直角坐标系，

翩意可得，4。，0),以2,0),P[x,y),-l<x<3

则方=(x,j，)，AB=(2,。),所以方•方=2x.

故石­标的范围是(-2,6),故选A.

例20:

解析：解法1:等和线法

如图,连接BO.找到1倍线所在的位置,作B。的平行线.

当与圆在另一侧点E相切时・A+从的值最大•

因为与圆C相切,所以过点E的直线恰好是3倍线.

故选A.

1倍线

北大博士邱崇

解法2:坐标法

如图，以/为原点，以/①，力。所在的直线为x,P轴建立如图所示的坐标系，

则40,。），以1,0）,。（。，2）,C（1,2）,

故动点?在以点C为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为匚・・MC=2,CD=\,

:.BD=V,22+l2=A/5,:・；BCCD=；BDr,:.Y=-^

4

・••圆的方程为(X—1尸+(y—2)2=g.

设点尸的坐标为cos0+l.2/sin。+2).

2A/5

*•AP—XAB+/iAD,:.cos〃+l.：sin。+2

=2(1,O)+〃(O,2)=a,2〃)，

-+-1=z.sin"+2=2〃,

2+〃="5co$4++2=sin(0+0)+2,

其中tan°=2J：-IWsinS+e)01,工1S2+403,

故2+4的最大值为3,故选A.

例21:

解析：解法1：等和线法

首先找到।倍线的位置为AC所在的直线.

过点力作4c的平行线/,则/为A倍线所在的位置・

因为诟=niPB+©一〃’）记.

所以小+停一〃'）=9=A，所以;周=去因为蜘=9.

所以1?必=6,|力必=3.在Rt△45c中，cosN"5="故由余弦定理得

3IS[X

32=32-|CD|2-2x3X|CD|X-，解得。=0或CO=7■•故答案为。或天~・

_________________________________北大博士邱崇

解法2:坐标法如图.以力为坐标原点.分别以力",4C所在

直线为',『轴建立平面直角坐标系，则8（4,0）,C（0,3）,

由成=niPB+一斤.得而=m（PA+获）+停一〃'）（国+就）•

整理得羽=-2m~4B+（2m-3）^C=-2/«（4,0）+（2/«-3）（0,3）=（-8/〃，6加一9）.

由/P=9,得64〃J+（6加-9）2=81,解得〃j=衣或利=0.

当机=。时，刀=（0,—9）,此时。与。重合，|。|=0；

27Q—6”，Vv

当机=西时,直线产力的方程知,=\一x，直线5c的方程为彳+}=1

联立两直线方程可得•1=?帆・『=3-2矶即0倍1,墓）.

­•\CD\=J偿丫+偿-3了=y.A。的长度是。或3故答案为。或祟

例22:

解析：解法1：中点转化式

取MN的中点E,连接OE.

故|泥卜：|赤|=卜由中点转化式得布.苏=|正「一|泥「=|加「一；・

所以应|取最小时苏•苏的值最小,显然。七±8C时|。为最小,由题意可得此时的|。七|=崂一.

故而•冰的最小值为（¥）.一1=%故答案为三.

解法2:坐标法：以8为原点，以BC变轴建立如图所示的直角坐标系，

•・•/月=60。，48=3.：.A（^.芋）,*：BC=6,AC（6,0）,

：.D.・.・|MV|=1,设M(“，O),则N(K+1,0),其中0WxW5,

=/-4*+岑_=J-2）2++当x=2时取得最小值，最小值为搭，故答案为y.

第二章基本初等函数

例1：

_________________________________________北大博士邱崇

解析：因为初。幻4=2.则log.4"=2.则4"=32=9.

则4"=击=4•故选B.

例2：

解析：把〃。=3.28,7=6代入凡,=1+，，可得/=0.38.

・•・/(，)=e°w,当)=0时,/(0)=1,则e°-=2,

两边取对数得0・38/=In2.解得，=爆"8.故选B.

v.Jo

例3：

解析：函数J=若T的定义域为实数集R,关于原点对称，函数9=/(2=-^7.

•A-I1I1

则/(-幻=-±7=-/W,则函数J=/(x)为奇函数，故排除C,D.

解法1:特殊值：又因为/⑴=2>0,故^除B•故选A.

解法2:值域法：当x>0时，J，=/(x)>0,故排除B,故选A.

例4：

解析：J=/(x)=xcosx+sinx,则/(-x)=-xcosx—sinx=-fM,

・・・/(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C,D.

当X=刷，y=fM=7TCOS7T+sin7T=-IT<0,除R,故选A.

例5：

解析：函数/(-X)=9三5=-三O=-/(X)，则函数/(X)为奇函数，

IkJX

图象关于原点对称，排除A，当工=।时，/⑴=e—：>0,排除D.

当"一十”时，〃x)-+8,排除C,故选B.

例6：

解析：解法1：构造函数采用单调性法

由2*―2『<3_一3-1pJ^2x-yx<2'-X>，令/(x)=2'—

则/G)在R上单调递增，且/'(x)</W,

所以工<>,即J-x>0,由于p-x+l>l,故ln(j-x+l)>加1=0.

解法2：取特殊值法

取*=T,J'=0.满足2'—2y3'-3"此时加(j，-x+l)=ln2>0,

ln|x-y=In1=0,可排除B,C,D选项.故选A.

例7：

解析：,:&=解32=logR饭Vlog34=.

J

b=logs3=logsv/27>log5^25=\.

f=,**•a<c<b.故选A.

例8：

北大博士邱崇

解析：解法I:特殊值法

令x=l,则由已知条件可得3'=2,51=2.所以>，=器,7=器,

,3加2加2・）加9,=51n2ln2B,

从11而=3y==v-r<=2.5?=-z-^r-=-p-r>2,

，八“u，ln3|n3ln3,ln3ln3'

则3j，V2xV5z,故选D.

解法2：常规法

x,y,二为正数，令2、=3，=5：=A>l.lgA>0.

则—统-一康

•A3v--J但fi汉-,22工v一-怛-^段,5―,、Ji的L.

♦:汴=期>俄=",72=V/32>V/25=^/5.

Algv/3>igy2>也於>0・J3y<2x<5:故选D.

例9：

解析：解法1：常规法

/(x)=x2-2x+a(eA-'+e-x+,)=(x-1)2+«(ex-'4-e-x+,)-1,

令，=x—1,则p=/十,(/+葭)-1为偶函数.

图象关于，=0对称，若P=0有唯一零点，

则根据偶函数的性质可知当，=0时，J=T+2〃=0.

所以〃=；•故选c.

解法2：幸运数字法

令x=0,得〃=0无答案；令x=l,得”■故选C.

幸运数字法：

只要看到题干特别复杂，尤其是函数形式，只需要从x=。、±1、±2……

往后逐个代入，若是有Ex出现，可代入;或e,遇到和选项一样的就是答案.

例10：

北大博士邱崇

解析:解法1:数形结合法

由g(x)=0得/'(X)=一x一■.

作出函数/(X)和-x—■的图象如图：

当直线J=-X一■的截距一,即时,

两个函数的图象都有2个交点,即函数g(x)存在2个零点.

故实数■的取值范围是［-1,+8)・故选C.

解法2：特殊值法+数形结合法

令〃=0,作出函数/晨)和刀=-、的图象如图：

有两个交点满足题意,排除A.D.

令a=-l,作出函数/(X)和J，=-x+l的图象如图：

有两个交点满足题意,排除B.故选C

例11：

解析：解法1：常规解法：函数/(X)=Inx+In(2-x),

：•/(2—x)=In(2—x)+Inx,

即/(x)=/(2-x),即P=/(x)的图象关于直线x=1对称，故选C.

解法2：特殊值法:因为/(；)=加4+加,./(y)=Iny+Iny,

所以/4)=/(9),故排除A,B选项，C对；又因为八；)+/臣于0.排除D选项.故选C.

例12：

；二2：得2&W(F=-小)，Mx)为奇函数;

解析：解法1：常规解法：由

由/(x)=ln|2x+11-ln|2x_11=加।j|=加|

・・2x+llx-1+2

1+可得内层函数，=1船的图象如图.

2x-llx—1

“32(*一引X~2~

在-8-当上单调递减,在(一：・目上单调递增，在(|.+8)上单调递减.

又对数函数F=In,是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得./(x)在，8,-会上单调递减.故选D・

解法2：特殊值法/(1)=间2+1|-111|2-1|=加3>0,

/(-I)=ln|-2+11-ln|-2-11=-In3<0,

故/⑴=-r(-D,奇函数；

/(-2)=In|,故排除ABC.故选D.

例13：

北大博士邱崇

解析：解法1:常姚法

设XV0,则_K>0,・・・/(-x)=e-x_],・・,设/(x)为奇函数，・・・_<(*)=「一],

即/(x)=-铲+1.故选D.

解法2：特殊值法

;是奇函数，•••/(-l)=-/(l)/(l)=e-l，故一/(数二1-e・

代入一1,四个选项分别为：

A选项e-IWI-e.不符合题意；B选项e+1于1-e.不符合题意；

C选项—e一1芋1一e,不符合题意；D选项—e+1=1—e,符合题意.故选D・

例14：

解析：解法।：常规解法

函数#(x)=ln(，JT?-x)满足以-*)=ln(vT+P+x)

=加丁，------=-In(\/l+x2-x)=-g(x),

\/7\r+x2-x

所以4(X)是奇函数•函数/(X)=ln(，TB—*)+1,/w=4.

可得/(")=4=ln(\/l+〃2—.)+1,可得hi(\/l+〃2—a)=3.

则/(-〃)=-ln(，l+〃’一■)+1=7+1=_2.故答案为-2.

解法2:结论法(奇函数十常数)

因为慰⑸=加("丁一X)是常见的奇函数.

所以/(X)=In(/F-x)+1满足奇函数加常数.

故/(〃)+/(-〃)=2,则/(-“)=-2,故答案为-2.

结论：常考奇函数：

/(■*,)=log.(\/X24-1±x)

fM=Iog“茫m或/(x)=log。

*人*i人

/(.r)•'或/(x)=ax-ax

XI„-XC式

fM=gx_a-xst/W=QX].一

/(x)=sinx,/(x)=tanx

1•/(X)=奇函数：/(-Vo)+/(-Xo)=0,最大值+最小值=o；

2./(x)=奇函数+a：/(.v0)十/(-x0)=2a,最大值+最小值=2a.

例15：

解析：：函数〃x)为奇函数若/⑴=T,则/(T)=1,

又：函数/(X)在(-8,+8)单调递减，—10/(x—2)Wl,

・・・/⑴W/(x—2)S/(-l),・•・一IWx—2W1,解得：x£[l,3],故选D.

例16：

_________________________________北大博士邱崇

解析：解法1:数形结合法

•・•/(X-1)的图象可由/(X)的图象向右平移一个单位得到，

且/(X)是奇函数，在(-8,0)单调递减，八2)=0・

二画出/(x—1)的草图如图，要使x/(x—1)2。，

(x>0.fx^O.

即j/a-l)20,或j/(x-l)S0.

结合图象可得实数x的取值范围是卜1,0]U[1,3],故选D・

解法2:特殊值法

•・・/(x)是奇函数，在(-8,0)单调递减，且/(2)=0,

画出/G)的大致图象如图.

取*=-3,/(-3—1)=/(-4)>0、则-3/(—4)<0、排除B;

取x=4,八4-1)=/(3)<0f则4八3)V0,排除4C,故选D.

例17：

解析：解法1：常规法

函数/(x)(xWR)满足/(-幻=2-/(、)，即为/(x)+/(-x)=2,可得〃x)关于点(0,1)对称，

函数7=皇，即J，=l+!的图象关于点(0,1)对称，即有(阳，珀为交点，

即有(F,2一凹)也为交点，(必，处)为交点，即有(-X2,2一心)也为交点，

・

则有£(吃+*)=(X1+")+(*2+y2)+…+(X,”+y„)

i=l

=yKM+J1)+(--V1+2—y,)+(x2+y2)+(一.%+2—y2)

+...+(xm+ym)+(~xm+2—%)]=m,故选B.

解法2：特殊值(函数)法，常取基本初等函数

据题意可知/(x)关于点(0,1)对称，可取/(x)=x+1则J=三」与J，=x+1的交点

,

分别为(1,2)和(-1,0),机=2.所以£(H+J，・)=I+2—1+0=2=〃,，故选B.

/=1

抽象函数适用模型的初等函数

正比例函数/(#公"丈0)

/(")=/("⑺鸵《;)=隽

票函数/3二尸

/(*1y)=/(*)/(>)it/(xy)=久;；

指数函数/*)«*(«><>1)

/(号)二/(X)+/⑺切：,)=/(X)f(y)

对数函数/(K)用第X(">。，且"£|)

/(-x)+/(x)=b/(*)

例18：

_________________________________北大博士邱崇

解析：'；f(l-X)=/(I+X),・•・函数图象关于X=1对称,

又•・"(*)是奇函数”•周期丁=4(1—0)=4.・・"⑴=2,

・・・/(2)=/(0)=0,/(3)=/(1-2)=/(-I)=-/⑴=一2,/(4)=/(0)=0,

则/⑴4-/(2)4-/(3)+/(4)=2+0-2+0=0,

则/⑴+/(2)4-/(3)+…+/(50)=12[/⑴4-/(2)4-/(3)+/(4)]+/(49)4-/(50)

=/(1)+/(2)=2+0=2，故选C.

例19：

解析：因为/")为奇函数，所以/(。)=e。+〃e。=0,得〃=-1・

函数/(*)=+〃e，,导数./\x)=e-ae"，

若/(x)是R上的增函数，则/(x)的导数/'(X)=「一。丁20在R上恒成立，

变形可得：“We?'恒成立,分析可得,即。的取值范围为(一②，0],

故答案为：7；(F，。]・

例20：

解析：技巧双括号不等式问题

根据常见奇函数q(x)=i・(QTi-x)是奇函数，

所以“幻1=Rn("+1一£)1是偶函数•又因为做x)=/是偶函数，

所以/(X)=|l・(，^Ti-x)l+x■是偶函数,故/<2硝>/(|a+l|),即|2。|,

变形可得：4〃2>〃2+%+1,即露2-2〃-1>0,解可得：〃<-；或“>1,

即■的取值范围为卜8.-U(1,+8).故选D.

技巧双括号不等式问题：

1•题干中给定复杂函数解析式(多半为加和，对数函数+指数函数/二次函数

求/(M土"〃)W(2)A的参数问题，

2.原函数具有奇偶性，且至少单侧单调・

例21：

_________________________________________北大博士邱崇

解析：由奇函数可得八。)=0,由f(2—x)=/(x)+/(2),

令x=2可得/(2)=0,贝旷(2-幻=/(x),/(x)的图象关于直线x=l对称,

所以八幻是周期为4的周期函数.当与.xBe［0,1］,且占羊x■时.

都有/(”?—,所以/(外在区间［0,1〕上单调递增•

根据以上信息可画出函数/(X)的草图如图所示：

人.

■^8(\y<4~-i\y2\^/46\y/8x

选取A,易得八11十/(刃=…=/(ZlH7)十/(ZUI刃=U,

/(2)=/(4)=••••=/(2018)=/(2020)=0,

所以/⑴+/(2)+”3)+…•+7(2020)=0,A正确•

选项B,直线、=-5是函数j，=/(x)图象的一条对称轴，B正确.

选项C,函数T=/(x)在［-7,7］上有7个零点，C不正确•

选项D,函的，=/(x)在17,-5］上为减函数，D正确•

故选：ABD.

例22：

解：由已知可得］+小£「凶=0.95%解得eD似一刃=5,

两边取对数有-0.236-53)=-加19,解得/飞66,故选C.

例23：

解：把心=3.28,7=6代入&=1+”,可得r=0.38,・・・/(，)=e°w,

当，=0B寸，/(。)=1,则。°如=2,两边取对数得0.38，=加2.解得，=照=1.8.故选B.

V.3O

例24：

解：由题意，尸点初始速度为10。故。点的速度也为io7.

当尸在靠近4点的三等分点时：，・io・=io・g)亲，解得、=10・加5，

当尸在二等分点时：解得x=10'ln2,

所以经过的时间为［10B［ln2-ln!)］^10B=ln1.故选D.

例25：

北大博士邱崇

解：(1)•入=+・•・y越大*越小，了=/(X)是单调递减函数,A>o,

当40歹080时#最大为85,于是只需令100—135•(；)\>95,解得.v>3.

故道路密度x的取值范围为(3,40).

(2)把x=80,i，=50代入羽=/(x)=-A(x-40)+85中，得50=-A•40+85,

100.r-135-(|V-x,0<x<40,

7

(--(x-40)x4-85x,40sxs80.

当0VxV40时,g单调递增,4<100X40-135X(；)X40%4000;

当40sxs80时,g是关于x的二次函数开口向下，对称轴为x=耳，此时4有最大值,

为一[x(殍)'+120X竿=^|^>4000.

综上,车辆密度q的最大值为若一•

28800

答：(1)若交通流量95,道路密度x的取值范围是(3,40);(2)车辆密度夕的最大值为

例26：

“…、4a』5x10010

解：(I)由题目/=而二而=三・

(2)设总损失和，,则),=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械和装备费+森林损失费.

y=125tx+100x+60x(500+100。

=125“提+1。。*+30。。°+60D00

x-2

=314504-100(x-2)+要与

231450+2，100・62500=36450.

当且仅当100(x—2)=要当，即*=27时j有最小值36450.

答：(1)，与x的函数关系式是/=北；(2)派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少.

第三章三角函数与解三角般

例1:

f_3①

解析(常规解法)：<cos”4,又〃为第二象限角，

[sin%+cos2a=1②

则sina>0,cosa<0,联立①②，sin2a+—sin2a=1,

34

解得sin”=—.cosa=-—,贝|)sina+cosa=-q•故选C.

______________________________________北大博士邱崇

解析（勾股定理）：＜ana=-1•如圄•所以〃=3,b=4,则c=5.

又〃为第二象限角，sina>0,cos«<0,

341

故sina=—.cosa=--,则sin”+cos«=--,故选C.

例2：

解析（1的妙用）：

cos■〃一§in・〃=1-43

cos20=cos*〃—sin'Z?=

sin2^+cos2^?1+tan2/7TT4=一g

tan/9-12-11

1+tan，=1+2=3

例3：

解析：因为sin・（[+«）=：,

与+2翻=；+白加2〃=弓

2—ycos

4iJJO

解得sin2a=；,故答案为:.

例4：

解析（和差公式法）：

因为（：0$20。8§25。-sinZ/sinZqucosQOo+ZS0）=卓,故选A.

例5：

解析（和差公式法）：

由2tan，一ta«+.）=7,得2tan°—鲁鬻J=7.

即2tan，-2taiP夕一tan。-1=7—7tan〃，

得2tan2〃-8tan，+8=0,即tan?，-4tan"+4=0,

即（tan。一2尸=0,则tan〃=2,故选D.

例6：

解析（和差公式+辅助角公式）：•・sin〃+sin（〃+5）=l,

sinO+]sin〃+=1，即,sinO+^^cos。=1,

得，〃空

3&cos+sin”5,得（

=1sin6+g，故选B.

例7：

北大博士邱崇

解析⑴：2sin2«=cos2/z4-1,

4sinacosa=2cos2a—H-l=2cos2a,/.2sina=cosa,

又sin?”+cos%=1,..sin2a+4sin2a=1,又“£(0,冗).

sina—7].故选8.

(2)：coslx=1—2sin2x=g

例8：

解析：

由3cos2a—8cosa=5,得3(2cos%—1)—8cosa—5=0,

即3cos2a—4cosa—4=0,解得cos”=2(舍),或cosa=—.

a€(0,n).则sina=-cos2a==.故选A.

J

例9：

解析(常规解法)：

f(x)=cosx—sinx=y/lcos(,F),

由24江&*+弓02〃兀+兀，A£Z,

得24九一1Sx&2〃7t+手.keZ,

即/(x)的单调递减区间为［2ATT—；,2〃元+普］.4£Z,

又「/(x)在［一叽上单调递减，因此［一〃,§卜府一千・2〃五+誓

易得。的最大值为半故选A.

解析(特殊值法)：

f(x)=cosx—sinx=\J1coslx+-j

当〃二三，函数在给定区间内不单调，故。<与・故选A.

例10：

解析(常规解法)：.•』=杯,亲2=字是函数/(犬)=sinwx(w>0)

两个相邻的极值点，「"Xz一词对应三角函数的半周期，

.•.，=2当_京)=兀=答.-2,故选4

______________________________________北大博士邱崇

解析（技巧解法）:皆一筌卜耳•则3=2,故选：4

例11：

解析（常规解法）：/（x）=sin|x|是一个偶函数，不是周期函数，可排除D选项；

/（x）=cos|x|与j=co3x的图像保持一致，的周期为27r,可排除C选项；

fM=Isin2x|在弓处取得最大值,不可能在区间（弓,三）单调递增,可排除B.

故选A.

解析（结论法।特殊值）：由表格及口诀：降毒绝对减半今排除。・

代入特殊值：力中./图=0<1=/图；吕中/图

可知8不可能单增•故选：A.

例12：

解析（常规解法）：

由图象可得最小正周期小于九一（一竽）=等.

大于2X1-等）=掌，排除A,D;

由图象可得《等）=cos（-3•/一看）=0,

c.■■47r.7T,.itz

即为一$3+不=A7r+彳,keZ,

若选B,即有0=分=今■由一等乂呈+5="+，

~T

可得A不为整数，排除B;

若选C,即有。=器=9.由一答'9+5="+/,可得,成立.

~T

故选：C

解析（相位对应法）：

-警+尹-%解得"同，所以7=管=竽

故选：C・

例13：

北大博士邱崇

解析（相位对应法+直接分解）：

由图象知函数的周期r=2X（答一看卜加，即襦=%即㈤=2.