2023考研：考点精讲一本通（数二版）

2023

考研数学

考点精讲一本通

目录

高等数学篇

第一章函数、极限与连续................................................................2

第：章一元函数微分学................................................................23

第二章不定积分.......................................................................47

第四章定枳分及其应用................................................................56

第五章常微分方程.....................................................................70

第六章中值定理.......................................................................78

第七章多元函数微分学.................................................................84

第八章..重积分.......................................................................99

第九章无穷级数（数学一、二）........................................................109

第十章数一专题......................................................................122

线性代数篇

第一章行列式........................................................................156

第一章矩阵..........................................................................165

第二章向量..........................................................................183

第四章方程组........................................................................190

第五章特征值........................................................................200

第六章.：次型........................................................................215

概率统计篇（数一数三）

第一章随机事件及其概率..............................................................228

第.•章一维随机变量及其分布.........................................................238

第二章一维随机变量及其分布.........................................................252

第四章随机变量及其分布.............................................................266

第五章人数定律与中心极限定理.......................................................274

第六章数理统计基本概念与参数估计...................................................277

f=)

等

\数\

学

第一章函数、帔限与连续

本章我*纲要妻］

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、

力极限之间的关系.

6.掌握极限的性质及四则运算法则.

7.掌握极限存在的两个法则，并会利用求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小局的比较方法，会用等价无穷小量

求极限.

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.

考点复盘清单

迤型清单一刷二刷三刷

【考点1】无穷小屋

【考点2】泰勒公式

【考点3］洛必达法则

【考点4】四则运兑

【考点5】函数极限让兑

【考点6】左右开弓法

【考点7］已知极限求其中待定参数

【芍点8］己知个极限求另•个极限

【考点9】数列极限定义与性质

【考点：10】数列极限计算

【考点11】函数的连续性

【考点12】函数的间断点

大纲考点精讲

第一节无穷小及其阶

J无穷小量

1.定义若!唾/3=o,则称/(X)为工->□时的无穷小.

2.无穷小量比阶

设lim/Q)=0,limg(x)=0,则lim上广=/.

(1)若/=0,称/(1)是g(x)的高阶的无穷小，汜以/(x)-o[g(x)]

(2)若/=oo,称./")是g(x)的低阶无穷小.

(3)若/=1,称〃工)与g(x)互为等价无穷小,记作/Q)〜g(x).

(4)若/二八0,称J。)与g(x)互为同阶无穷小.

3.常见等价无穷小

当戈->0时，有：

sinx-x,arcsinx〜x,tanx〜x,arctanx-x,

ln(l+x)-x,e'-l〜x,1-cosx~—x2,〜ax.

心【解题大招】

I【例1.1】确定下列无穷小的等价无穷小.

(1)当人-—>0时，x+2A*2+—J3~;

(2)当”->0时，sinx2+-1+In(1+x')-.

rrr,—r的「in('+sin月)

［例1.2】--------

f)Incosx

1-Jcosx)(1-VCOSJV)•••(1-Jcosx)

I【例1.3】计算lim

x>0(1-cosx)n!

4.高阶无穷小运算法则

设也〃为正整数，则:

（1）加减低阶吸收原则o(xm)±o(xn)=o“),/=min|m,n}

（2）乘法叠加原则0(/)-o(xn)=o(”)，o(xn)=o(x,n+n)

<3）数乘无关原则o(xni)=o(kxn,)=ko(xm)，(左WO)

【注】泰勒公式的完美搭档！

［【例1.4］（1）0，）-。（父）=；0，）一g3）=

(2)o，)・o，)=—；》、0（<3）=

(3)»(/)=。（-^^二

O

考点2泰勒公式［必记】

「【例1.5】常用等价无穷小公式(需熟记)

当K->0时，

(1)x-sinx~;(2)X-arcsinx~

(3)x-tanx〜;(4)x-arctanx〜

(5)x-ln(l+x)~.

I【例1.6］当x->。时，x-sinxcosxcos2x与ud为等价无穷小，则。二

I【例1.7】当入，->0时。e'+M(l-x)-l与为同阶无穷小.则“二

tan(tanx)-sin(sinx)

I[001.8]求极限lim

tanx-sinx

第二节函数极限计算

考点清单

考点3洛必达法则

考点4四则运算深藏不漏的高手

考点5匕种未定式的极限计算

心【解题大招】

(1)+型未定式

l+-x2-V1+X2

I【例1.9】求极限出口厂」——-----

^0(cosx-evjsinx2

^tanx_^urvtanx

「例3°】求极限㈣产河工？

Jl+tanx-Jl+sinx

［【例1.11】求极限lim

x->0xln(l+x)-x2

(2)8-8型未定式

ICOS〜X

[【例1.121Um

2

X—►()、sin'xX

(1A

【例1.13】求极限lim|x-InIT—].

X->CC»X)

(3)艺型未定式

oo

[【例1.14】(1)求极限J㈣(a+x+x'-J1一x+x].

(2)求极限lim(Jl+x+x?-Jl-x+x，)

(4)r型未定式

[(1501.15]计算极限吗(cos2x+2xsinx)e二

1

^ex+e2十…十/，

「【例1.16】求极限lim，其中「是给定的自然数.

x->0n

/vlX

(1+力

k例1.17】计算极限lim

XT。

(5)(boo型未定式

［【例1.18】求极限1皿xln|x.

(6)0°,8°型未定式.

「一/[\sinx

k例1.19]求极限lim-

考点6左右开4法求极限

心【解题大招】

e,/x+2

k例1.20】求极限！则sin.r

Jl+x+\Jl-x-2_

----7=^-----，x>0

Vl+x2-1

【【例1.21］已知〃x)=«

1且叽/(x)存在，则求。的值.

(I+xp-eC

--------,x<0

考点7已知极限求其中待定参量

心【解题大招】

S1UA

［【例1.22］若lim(cosx-h)=5t贝ija=_______,b=

x

xrOQ_a

例索3］若时皆i一肛则片--------,g

I【例L24】设1而"0+"丝+'"2=2,则Q二，b=

10X

考点8已知极限求另外一个极限

心【解题大招】

k例1.25］若㈣｝皿1+刈：2叭x)=i,则阿1上也包=

第三节数列极限

考点1数列极限定义

叫£=彳。任给£〉0,存在正整数N,当〃〉N时，就有民一/<£.

心【解题大招】

[【例1.26】(2例5年)设｛兑｝是数列，下列命题中不无硼的是().

(A)limx”=。，贝ijlim.0“+]=lim与“=a

limlim

(B)rlti-MmCWrt-〃K+Ci=^2，n/・=«-a>X，则^n=。.

(C)linu”=a,则皿“==a.

D—>xn->xw->x>

(D)山叫=limx加।=〃,则\mx„=a.

［【例1.27】下列命题中错误的是().

(A)若!吧工存在，则则I”存在.(B)若则I”存在，则勤凡存在.

(C)若亶产-0,则!吧同=。.（D）若岫|=0,则!吧天=0

考点2收敛数列的性质

(1)唯一性

(2)有界性

(3)保号性

【【例1.28］设{%},{"},£}均为非负数列，且出吗=°,!叫〃甘，［呼〃=°°,贝必

有().

(A)为〈”对任意〃成立.(B)“<C〃对任意n成立.

(C)极限lim%〃不存在.(D)极限］啜£不存在.

/J—X3U〃一>X'

考点3数列极限计算

1,连续化处理（归结原理.）

2.夹逼准则

若存在N>0,当〃〉N时，日!也4=!吧2〃=。，则!吧

⑥【解题大招】

12n

「【例1.29】lim---------+----------H----1--------

"f8〃'+〃+1，？+〃+2/+〃

「【例1.30】求极限lim行方伍力,c〉0).

/J-HO

,2Y

「【例1.31】(莫斯科经济学院1975年竞赛题)求/(%)=吧/+1+|—X(x>0).

%,

3.单调有界必有极限

单调增有上界的数列必有极限；单调减有下界的数列必有极限.

心【解题大招】

［【例1.32】设为=10/2=师或〃=12…证明数列｛%｝有极限，并求此极限

,11

I【例1.33】设〃|=2,a,+l=-an+—,〃=1,2,…则

,Ian

(I)证明极限存在.

(II)求该数列的极限.

x

［【例1.34】设数列&〃｝满足°＜现＜兀，«+i=sinx„（n=l,2,---）.

证明：（1）证明!叫/存在，并求该极限；

I

（II）计算

第四节连续与间断

考点1函数连续的定义

心【解题大招】

【例1.35】设函数/")有连续得导函数，/(°)=0，/'(0)=〃,若函数

[/(-)+asinx0

F(.r)=x''在x=0处连续厕常数/=.

A,x=0.

Incos(x-l)

,x工1,

[【例1.36】设函数/。)=<17由色间函数/(X)在x=l处是否连续？若不

[1,X=l.

连续修改函数在X=1处的定义使之连续.

考点2I

(1)初等函数在其定义区间内连续；

(2)(四则运算法则)设函数函(x),g(x)在点/连续,则/()土g(x),/(小⑴,

41(g(xN。)都在点为连续；

g|x)

(3)(复合函数的连续性)设函数尸/加(切是由函数歹=/(〃)与〃=g")复合而

成，若〃=g(x)在》=不)处连续，月.g(%)=Wo,而/=〃〃)在〃=4处连续,则复合函数

y=/[g(x)]在％=%处连续;

X2+1,\x\^C

［【例1.37】设函数=।।在(-8,+8)内连续，则C二

府'M>°

1(01］1,38］若/(x)在X=0处连续，贝“可!/，T)；哂/(丁7)=

考点3函数的间断点及其分类

心【解题大招】

［【例1.39】(2005年)设函数=二Z-,则().

ex-1-1

(A)x=0,%=1都是/(x)的第•类间断点

(B)x=0,尤=1都是/(X)的第二类间断点.

(C)x=0是/*)的第•类间断点，尤=1是/*)的第二类间断点.

(D)x=0是/〃)的第二类间断点，是"x)的第•类间断点.

|【例；40】(2020年)函数/(x)=上的第二类间断点的个数为().

(eA-l)(x-2)

(A)1(B)2(C)3(D)4

第二章一元函数微分学

本章日立至要刃;

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平

面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导致描述一些物理量,

理解函数的可导性与连续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公

式.了解微分的四则运算法则和•阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的

导数.

5.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握

函数最大值和最小值的求法及其应用.

8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近

线，会描绘函数的图形.

9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

考点复盘清单

题型清单—刷二刷三刷

【考点1】导数定义

【考点2】导数计算（句合、隙、分段、参数、反）

【考点3】高阶导数计算

【考点4】切线方程、法线方程

【考点5】微分的定义、几何意义

【考点6】函数的单调性

【考点7】极俏4最俏

【考点8】凹凸性4拐点

【考点9】曲线渐近线

【考点10］曲率（数•、-）

大纲考点精讲

第一节导数的定义

I导数的定义

心【解题大招】

【例2.1】已知/(x)=arcsinr，=”,求/'⑼.

V1+SillX

I【例2.2】设/(x)可导，厂(》)=/(工)(l+|sin》l),若使尸(%)在x=。处可导，则(

(A)/(0)=0(B)/r(0)=0

(C)/(0)+/'(0)=0(D)/(0)-,f(0)=0

考点2单侧导数

心【解题大招】

——pxvO

1+靛

I【例2.3】已知函数/(x)n0,x=0,wi)r(o)=

2x八

----,x>0

l+ex

1-COSX

x>0,

［【例2.4】设/'(x)=，&其中g(x)是有界函数，则/(X)在X=0处().

x-g(x),烬0.

(A)极限不存在(B)极限存在但不连续

(C)连续但不可导(D)可导

I【例2.5】设函数/(x)=g3|x7o|,其中g(x)在点xo处连续，证明/(力在点xo

可导的充分必要条件是g(%)=0.

|【例2.6】函数=-2)不可导点的个数是().

(A)3.(B)2.

(C)1.(D)0.

考点3函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数y=/(x)在点xo处可导，则/(无)在点xo处一定连续，反之不然，即函数

y=/(x)在点xo处连续，却不一定在点xo处可导.

考点4导数的推广定义

心【解题大招】

［【例2.7】设函数/(X)在x=0处连续,日」而"2=1,则().

XTOJ-

(A)〃0)=0且£(0)存在.(B)/'(0)=1且£(0)存在.

(C)/(0)=0且〃0)存在.(D)/'(0)=1且才(0)存在.

［【例2.8】设/(x)在工二。的某个领域内有定义，则/(x)在工二。处可导的.个充分条

件是().

(A)lim〃［/(。+5-/⑷］存在(B)网/@+2牛〃”田存在

(C)lim/S+人—)存:在(D)lim瓜匕32存在

A->O2hh

/（4+3力）-/（。-2万）

I【例2.9】设/'⑷存在，则照

h

第二节导数的计算

考点1必备知识

1.导数表（默写）

2.求导法则

|/(x)±g(x)]=/Q)二g'(x)

[7(x)・g(x)1=/'(x)g(x)+/'(x)g'(6

/'(x)gG)-/(x)g'(x)

(g(x)w。)

gYM

攵合函数求导

II例2.10】设函数gQ)可微，/?a)=e"g?"(x)=l,g'(l)=2,则g。)等于().

(A)In3-1.(B)-ln3-l.

(C)-lr2-l.(D)ln2-l.

已知，=/（含）/（X）.n,dy,

I【例2.11】=arcsinJC-

ax

［【例2.12］设y=(l+siju)。则了二,

考点3隐函数求导

|【例2.13】（2009年，数二，4分）设y=.”（用是由方程个+e3=x+l确定的隐函

数，则

考点4参数方程确定函数求导（数•、二）

x=arctailt,

，例2.14】（2015年，数二，4分）

y=3t+t\

考古5分段函数求学

心【解题大招】

［【例2.15］已知/㈤=HmYx"+/"+『"(x>0),求/'(x).

[[15IJ2J6]（2021年）已知/（x）=要•，求/"（好・

1"I人

考点6反函数的求导

心【解题大招】

,dx|

［【例2.17］已知y=/("其反函数为工=广(歹),证明加=7,疝7=-而

考点7高阶导数

心【解题大招】

［【例2/8】(2007年，数二/数三，4分)设函数y二」一，则/)(0)二

2x+3

I【例2.19】函数歹=ln(l-2x)在工=0处的〃阶导数”⑻(0)=.

【例2.20】设V=x2e2x,则严=.

[【例2.21】已知函数/■)具有任意阶导数，且/(幻=[/*)]2,则当〃为大于2的

正整数时，/")的n阶导数/〃&)=.

第三节导数几何意义及切线、法线方程

考点1导数的儿何意义

如果函数y=/(x)在点/处导数/'(%)存在，则在;L何上/'(%)表示曲线y=/(x)在

点(・%，/(%))处的切线的斜率.

［【例2例2】设/*）为可导函数，且满足条件物/⑴一,则曲线y=/&）

4人

在点（1,/。））处的切线斜率为（）.

（A）2（B）-1（C）-（D）-2

2

考点2切线方程、法线方程

切线方程：y-fM=r(x^x-xl.)

法线方程:丁一/(%)=/)(/Qo)*o)

[[1502,23]曲线sin(xy)+hi(y-x)=x在点(0J)处的切线方程为

［【例2.24】曲线与曲线V=〃lnx（。wO）和切，则〃二（）.

(A)4e.(B)3e.(C)2e.(D)e.

第四节微分的定义

考古1微分的定义

设函数y=/⑴在点/处有增量Ar时，如果函数的增量

缈=/（/+©）-/日）

可表示为绿=4\x+o（Ax）

其中小。）为与加•无关，。心）是加-0时比Ar高阶的无穷小，则称/⑴在X。处可微，

并把Ay中的线性主要部分4©称为/（x）在X。处的微分，记作力，即

dy=A\x.

考点2微分的计算

I【例2.25］设y=ln（l+3一,）,则dy=.

「【例2.26】设tan.y=x+y,则力=

考点3微分的儿何意义

［【例2.27】设函数丁二/（%）具有二阶导数，且八外>0,PM>0,加为自变量

.X在毛处的增量，切与⑪分别为在点小处对应的增量与微分，若盘>0则（）.

（A）0<dy<Ay.（B）0<Ay<dy.

（C）Ay<dy<0.（D）dy<Ay<0.

第五节导数的微分学应用

考占函数的单调性

（1）对于DXE/,若/'（x）>0（或<0）,则/卜）在/内单调增加（单调减少）;

（2）对于Vxe/,若/'（幻之0（或40）,则/卜）在/内单调不减（单调不增）.

心【解题大招】

【例2.28】设函数/(x)连续，目/'(0)>0,则存在b>0,使得().

(A)/(外在(06)内单调增加.

(B)/(X)在(一50)内单调减少.

(C)对任意的XE(0»),W/W>/(0).

(D)对任意的工£(一夕0),有7(X)>7(0).

「【例2.29】已知函数/⑴一阶可导，且/〃(》)>0.设F(x)=八x：,证明：F(x)

x-a

在5,+8)上单调递增.

I【例2.30］证明：(1)ex-\>X,XER

(2)x>ln(l+x),x>-l

考点2函数的极值

1.极值定义设函数/（1）在（〃,力）内有定义，沏是（〃“，）内的某一点，则

如果点X0存在•个邻域，使得对此邻域内的任•点心HX。），总有/（'）＜/（/），则

称/（X。）为函数/⑺的一个极大值，称X0函数/⑺广勺•个极大值点；

如果点X0存在个邻域，使得对此邻域内的仟点心工与），总有/3＞/（%），则

称/（%）为函数/（注）的一个极小值，称X0为函数/（1）的个极小值点.

函数的极大值与极小值统称极值，极大值点与极小值点统称极值点.

2.极值存在的必要条件

设函数/（》）在刈处叮导，ILxo为/（》）的•个极值点，则=

3.极值存在的充分条件

第一充分条件：设函数/卜）在几处连续，在飞的去心邻域。（/）内可导，且/'（X）在

天两侧异号，则/为极值点，则

I。如果在（X。-必见）内的任一点X处，有/'（X）＞O,而在（0,Xo+b）内的任一点X处,

有则/（%）为极大值，与为极大值点；

2。如果在（与-必/）内的任一点X处，有/'（x）＜o,而在（X。/o+M内的任一点x处,

有/Q）＞0,则/（%）为极小值，/为极小值点.

第二充分条件：设函数/（x）在/处有二阶导数，且/'（/）=0,/〃（凡）工0,则

当/（.%）＜0时，/（凡）为极大值，X。为极大值点.

当./（方）＞0时，/（.%）为极小值，与为极小值点.

心【解题大招】

【例2.31】设函数/(x)在(f欣)内连续，其导函数的图形如图所示,

则/(幻有().

(A)-一个极小值点和两个极大值点.

(B)两个极小值点和•个极大值点.

(C)两个极小值点和两个极大值点.

(D)二个极小值点和个极大值点.

:【例2.32】设/(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是().

(A)/(0)是极大值，/弓)是极小值.

(B)/(0)是极小值，“9是极大值.

(C)/(0)是极大值,/(中也是极大值.

(D)/(0)是极小值,/吟)也是极小值.

【例2.33】设函数〃x),g(x)具有二阶导数，且g"(x)<。，g(x0)=〃是g(x)的极

值，则/(g(x))在.％取极大值的••个充分条件是().

(A)f(a)<0.(B)f\a)>0.

(C)fn(a)<0.(D)fn(a)>0.

考点3函数的最大值和最小值

(i)求函数/(M在L⑹上的最值方法：极值点与端点值比较

(2)求实际问题的最值的方法

首先，建立实际问题的函数/(X),其次求/(X)的驻点(一般情况下驻点唯•)，最

后判定驻点是极大值点还是极小值点，从而得到极大值点为最大值点，极小值点为最小

值点.

I【例2.34】①函数P=x+2cosx在区间0,^上的最大值为.

②函数y=0在(04］上的最小值为.

考点4曲线的㈣H性

1.凹凸性定义：设儿丫)在区间/上连续，若对任意不同的两点七,乙,恒有

/【岩卜3小)+/㈤］■可卜I「/«)」/(刈:

则称/㈤在/上是凸(凹)的.

2.凹凸性的判定

设函数/(X)在小d上连续，在(。4)内具有•阶和二阶导数，在(。㈤内

(1)若/。)<0,则曲线y=f(x)在［明”上是凸的；

(2)若ra)>o,则曲线.=/a)在［。向上是凹的.

［【例2.35】设函数/")具有2阶导数,g(x)二〃0)(l-x)+/(l)x,则在区间［0』］上

).

(A)当/\x)>0时，/(x)^g(x).(B)当时，.

(C)当/"(x)》0时,/(x)》g(x).(D)当/"(x)》0时，-g(x).

考点5曲线的拐点

心【解题大招】

【例2.36】问助为何值时，点(L3)为曲线1=0父+加的拐点.

【例2.37】设函数/(x)=kO-x)|,则()

(A)x=0是/*)的极值点，但(0,0)不是曲线y=/(%)的拐点.

(B)x=0不是/(刈的极值点，但(0,0)是曲线＞=/*)的拐点.

(C)x=0是/(幻的极值点，且(0,0)是曲线y=/(x)的拐点.

(D)x=0不是/(幻的极值点，(0,0)也不是曲线y=/(x)的拐点.

［【例2.38】设函数/(X)在(-00,+8)内连续,其2

阶导数/"(x)的图形如本图所示，则曲线y=f(x)的拐

点的个数为

(A)0.(B)1.

(02.(D)3.

［【例2.39】设函数/（x）在（F，+8）内连续，其导函数

的图形如图所示，则

（A）函数/（X）有2个极值点，曲线y=/*）有2个拐点.

（B）函数/*）有2个极值点，曲线歹二/*）有3个拐点.

（C）函数/（X）有3个极值点，曲线y=f（x）有1个拐点.

（D）函数/"）有3个吸值点，曲线＞=/（©有2个拐

考点6I

心【解题大招】

1

【【例3.15】曲线y=(2x-l)e，的斜渐近线方程为

［【例3.16】曲线y=arctan」一一',的渐近线有().

(x+l)(x-21)

(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条

考点7曲率(数一数二)

心【解题大招】

-----------\x=t24-7,

【例240】曲线《、上对应于，=1的点处的曲率半径是().

产『+41+1.

(A)(B)2^.(C)10V10.(D)5710.

50100

第三章不定积分

本章妻碇*纲要回

1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.

2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积的性质，掌握换元积分法与分部积分法.

3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.

考点复盘清单

-刷|

题型清单二刷三刷

【考点1】不定积分的概念

【考点2】不定积分的计算（揍微分法）

【考点3】不定积分的计算（第一类换元法）

【考点4】不定积分的计券（分部积分法）

【考点5】不定枳分的计算（右理分式枳分）

大纲考点精讲

第一节不定积分的概念

OW原函数9不定积分的概念

设函数/（外在区间/上有定义，若存在尸。）能满足尸a）=/a）,.则称

/（X）为/（外在区间/的原函数，同时称“X）在区间/中的所有原函数（集合）称为

/（X）在区间/的不定积分，记为

即J/（x）cbr=F（x）+C.

其中J称为积分号，x称为积分变量，/（尤）称为被积函数，/（工）口称为被积表达式，

。为积分常数.

［【例3.1】已知）7（工）治=工皿+。，则/（x）=.

|［例3,2］已知/'Onx)=1+x,则f(x)=

考点2原函数的存在性

设了（》）在区间/上连续，则/（》）在区间/匕原函数一定存在.

［注］初等函数的原函数不一定是初等函数，例如卜in，）dxjcos，）ckj*,jV'\k等

被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故在考研中我们认为这些不定积分不可积.

|【例3.3】证明：若设/W在区间/上存在第••类间断点，则/（x）在区间/上原函

数一定不存在.

考点3不定积分的性质

1.线性运算性质

(1)J狂(x)dv=/:j/(x)dv.(2)j[f(x)±g(x)]dr=J/(X)(1Y±jg(x)dr.

2.不定积分与微分的反问题性质

(1)JF(X)CLY=F(X)+C(2)jrfF(x)=FCr)+C

I【例3.4】设。，〃是常数，且QH1,则下列各式中正确的是()•

(A)jf,(ax+b\lx=f(ax+b)^C.(B)^df(ax+b)dx=af(ax+b)+C.

(C)牛]f+垃改-/(ax+b).(D)f(ax+b)dx=af(ax-b^dx.

第二节不定积分的计算

考点1基本积分表【必记】

1.^xndx-

2.f—______

Jx

3.jaxdx-______

4.二______________

5.|cosxdx—

6.|sinxdx—____

12*

7.jsecxdx-—

2

8.jescxdx-_

9.|tanxsecx^Zr=

10|colxescxdx二

11.

12.

13.

14.

15..(a>0)

16.(。>。)

17..(a>0)

18..(a>0)

19..(a>0)

考点2第一类换元积分法（凑微分法）

1.常见的凑微分形式

j/(ax十b)dx=，+十。)

(1)

(2)jsinxf(cosx)dx=-j/(cosx)dcosx

(3)jsin岁(cosx)dr=-j/(cosx)dcosx

(4)j—/(Inx)dx=j/(Inx)dInx

.X

(5)

JXXJXX

j^=f(Vx)dx=j/(Vx)dVx

(6)

fe;/(ex)dr=j/(e')der

(7)

jx"T/0：")(k=Lj7(x〃)dE〃，H

(8)〃0

【例3.5】求下列各不定积分

(1)jcsc2(3x+2)dx

(3)sinx4dv

(5)jxx/1-x~dx

(7)f—eXdx

Jx

arctany[x

(9)dx

(l+x)Vx

［【例3.6】求下列各不定积分

(1)j(xlnx)2(lnx+l)(Zt

Intanx,

(2)―—―~ax

sinxcosx

I【例3.7】求下列各不定积分

(1)f-------dx4

建'+。一,2)

|[例3.8]jsin2xdx,jcos，.以rJcos4xdx,

考点3笫二类换元积分法

1.三角代换

yja2-x2令x=asinf

令x=qtant

Vx2-a2(x>0)令x=asect

2.无理根式换元

y/ax+b令对ax+b=t

［【例3.9】求不定积分J4/一一匕(«>0).

dx

frw3.W]J{a>0)

a2-x^

丘例3“】匕誉T公

।【例3」2】〕不需北

考点4分部积分法

设〃。)，l，(x)均有连续的导数，fjlljj//(x)dv(x)=w(x)v(x)-jV(A-)dW(X).

【【例3.13】求下列不定积分

(1)jxe'dr(2)Jxcosxdr(3)xlnxck(4)xarctanxdv

[【例3.14](l)[h向(2)Jarctanxdx

[【例3.15】J/sinxdx

[(W3.16]J(ln1+2)e'"x,je2v(tanx+1)2Jx

巷点、5有理函数的积分

(1)有理函数的相关定义：

有理函数是指两个多项式的商表示的函数三三二「小--------7

nt・・

Q(x)b()x+〃产+•+£

(2)定理：若卜.面定义中的0(、)可以被因式分解成

k/22

Q(x)=h()(x-a)•••(x-/?)(x+px+q)'…(p-4q<0)

尸(x)_444

---=------1------TH1-+…

Q(x)(x-a)(x-ay------(工一。)

则

(x-b)(x-by

<x+C]।gx+3।।<x+Q]]

x2+px+q(x2+px+q)2(x2+px-vqY

I【例318】17Tb

।【例319】

1

[【例3.201Jdx

(1+2x)(1+Y)

第四章定积分及其应用

本章考研声要求［I

1.理解积分卜.限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布•尼茨公式.

2.了解反常积分的概念，会计算反常积分.

3.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧

长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、

质心、形心等）及函数的平均值.（数学一、二）・

4.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积以及函数的平均值，会利用定

积分求解简单的经济问题.（数学三）.

考点复盘清单

题型清单-刷二刷三刷

【考点1】定枳分定义

【考点2】定积分性质

【考点3］定积分计算

【考点4】变双函数

【考点5】反常积分

（芍点6】定枳分应用（求面枳）

【考点7】定积分应用（求班转体体积）

【考■点8】定积分应用（求弧氏）

【考点9】定枳分应用（求旋转体他而枳）

大纲考点精讲

第一节定