2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第15讲 长度定值问题含解析

2023届新高考数学之圆锥曲线综合讲义第15讲长度定值问题

一、解答题

1.已知椭圆：—+/=1,过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A,B两点.

3-

（1）求证：O到直线AB的距离为定值.

（2）求』0AB面积的最大值.

2.已知直线1的方程为x=-2,且直线I与x轴交于点M,圆O：/+??2=1与乂轴交于人，B两点（如

（1）过M点的直线h交圆于P、Q两点，且O点到直线h的距离为42,求直线h的方程；

2

（2）求以1为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程；

（3）过M点的圆的切线L,交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD

的长.

3.已知椭圆。：工+上=1.

63

（1）直线/过点。（1,1）与椭圆C交于产,。两点，若丽=丽，求宜线/的方程；

（2）在圆O:尤2+y2=2上取一点M,过点M作圆。的切线,与椭圆。交于A8两点，求IMAI用的

值.

22

4.已知耳，工分别是椭圆C:二十二的左，右焦点，过点耳的直线/与椭圆C交于A，B

crb~

两点，点M（、历,1）在椭圆。上，且当直线/垂直于x轴时，\AB\=2.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）是否存在实数义使得|肺|+忸制=力"；|忸制恒成立.若存在,求出/的值：若不存在,说明理由

5.设椭I员IC：=+与=1（〃＞抗＞0）的一个顶点与抛物线C的焦点重合，F1,3分别是椭

7I'

a-b-

圆的左、右焦点，且离心率e=一，且过椭圆右焦点B的直线/与椭圆。交于M、N两点.

2

（1）求椭圆。的方程：

（2）是否存在直线/,使得丽.两=-2.若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.

I八

（3）若A8是椭圆C经过原点。的弦，MN〃AB,求证：上崇为定值.

\MN\r

6.已知斜率为々的直线/与椭圆C：1+4=1交于A，3两点，线段的中点为例（1，〃。（，〃＞。）.

（1）证明：&＜一一

2

（2）设厂为C的右焦点，P为C上一点，且丽+丽+丽=（）.证明：|咫|，忸»|，|丽|成等差数歹iJ，

并求该数列的公差.

7.己知椭圆。：=+与=1（。＞/?＞（））,离心率e=点G（也,1）在椭圆上.

a~b~2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点P是椭圆C上一点，左顶点为A,上顶点为B,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于

点N,求证：为定值.

8.已知椭圆C:4+4=1（。＞8＞0）的离心率为正，且过点（0/）.

a~b~2

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点A、3为椭圆C的左右顶点，直线/：x=2页与％轴交于点。，点。是椭圆C上异于A、8的动

点，直线AP、3。分别交直线/于E、F两点，当点P在椭圆C上运动时，|。石|・|。/|是否为定值？若是，

请求出该定值；若不是，请说明理由.

22

9.如图，已知椭圆。：工+匕=1,点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在X轴下

124

方），且线段AB的中点E在直线）'=X上.

（1）求直线AB的方程；

（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线＞=%于点M、N,证明：OMQN为

定值.

10.已知椭圆E:三过点（0,1）,且离心率为当.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线/：y=gx+〃?与椭圆E交于A,C两点，以AC为对角线作正方形A8CO,记直线/与x轴的

交点为M求证：忸N|为定值.

11.已知椭圆C：(a>b>0)经过(1,1)与两点.

（2）过原点的直线/与椭圆C交于A、B两点,椭圆C上一点M满足|加4|二|用回.求证：

112

研.画+所为定值.

12.已知椭圆。：与+£=1（〃>〃>0）过点过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆。分别

交于M,N两点.

（1）证明：当/+9从取得最小直时，椭圆。的离心率为走.

2

（2）若椭圆。的焦距为2,是否存在定圆与直线"N总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明

理由.

13.已知椭圆「：二+4=1（。〉匕>0）在右、上顶点分别为A、4,尸是椭圆「的左焦点，P型、£

（1）求椭圆「的方程:

（2）设宜线/与椭圆「相切于点M（M在第二象限），过。作直线/的平行线与直线〃尸相交于点N,

问：线段MV的长是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由.

14.已知点尸।为椭圆鼻+*_=1（a>b>0）的左焦点，［-L5-J在椭圆上，PQ_Lx轴.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线/：y="+〃］与椭圆交于（1,2）,B两点,0为坐标原点，ROA1OB,。到直线/的距离是

否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22

15.已知椭圆C：^-+^-=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A,B,左焦点为R0为原点，点P为

a2b2

3（

椭圆C上不同于A、3的任一点，若直线雨与P8的斜率之积为-一，且椭圆C经过点.

4k2；

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P点不在坐标轴上，直线网,P8交），轴于M,N两点，若直线07与过点M,N的圆G相切.切点

为「，问切线长|。刀是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.

16.已知椭圆+4=1（。〉〃>0）的离心率为立，且过点4（2,1）.

a~b~2

（1）求。的方程；

（2）点/，/7在。,，旦AA/_LAN,A£>_LMN,D为垂足,问是否存在定点Q,使得为定值，若

存在，求出Q点，若不存在，请说明理由.

第15讲长度定值问题

一、解答题

2

1.已知椭圆：三+）,2=1,过坐标原点0作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A,B两点.

3

（1）求证：O到直线AB的距离为定值.

（2）求/OAB面积的最大值.

【答案】（1）见解析；（2）走

2

【分析】

（1）设A（xi,yi）,B（X2,y2）,若k存在，则设直线AB：y=kx+m,联立椭圆方程，由OA_LOB,得

xiX2+yiy2=O,化简整理，再由点到直线的距离，即可得到定值；若AB的斜率不存在时，显然成立；

（2）运用弦长公式，化简整理，再由基本不等式，即可得到最大值，当斜率不存在时，经检验|AB|V2也

成立即可.

【详解】

⑴设A（xi,yi）,B（X2>y2）»

y=kx+in

若AB的斜率k存在，则设直线AB：y=kx+m.由〈,得（l+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0,

IJ+3y、3

rlll6km3m?-3

贝IJX1+X2=-------------T，X[X,=-------------©

l+3k212l+3k2

由OA_LOB,得X]X2+yiy2=xiX2+(kxi+m)(kxz+m)=(1+k2)xixz+km(xi+x：)+m2=0,

3|m|Q

将①代入，得4m2=3k?+3,即有曲=弓”2+1),则有原点到直线AB的距离d=7----Y

4Ml+k’2

当AB的斜率不存在时，|xi|=|yi|；可得肉|=尊=<1,依然成立.

所以点O到直线AB的距离为定值塞.

2

(2)|AB|2=(l+k2)(xi-X2)2=(1+k2)[(6km)2-4x3lD]

l+3k2l+3k2

3(9&"O/+i)12k23+————„3+—=4

=-^-——-——^=3+—7---2-=Q,2^1/，6+6

9Ar4i6k2il9k4+6k2+l9k+正+6

当且仅当9k』t，即1<=±4时等号成立.

k3

当AB的斜率不存在时，经检验|AB|<2.所以SaOABW，x2x立=

222

即有aOAB面积的最大值为近.

2

【点睛】

本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考杳点到直线的

距离公式和基本不等式的运用，属于中档题.

2.已知直线1的方程为x=-2,且直线1与x轴交于点M,圆O：/+y2=i与*轴交于A,B两点（如

图）.

（1）过M点的直线h交圆于P、Q两点，且0点到直线h的距离为Y2,求直线h的方程；

2

（2）求以1为准线，中心在原点，且短轴长为圆0的半径的椭圆方程；

（3）过M点的圆的切线12,交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD

的长.

【答案】（1）y=±—（x+2）;（2）y+y2=1；（3）1也

【解析】

【分析】

（1）可设直线/1的方程为y=k（x+2）,由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得;

(2)设椭圆的方程为「+与=1易得4=1或〃=1,分别可得〃和〃值,可得方程;

/b2

(3)可设直线A的方程为），='二（"2）和椭圆联立可得5/+我+2=0,由弦长公式可得.

3

【详解】

(1)・・・。点到直线/1的距离为立.

设4的方程为旷=4(％+2),.・・

，4的方程为y=±^y-(x+2).

(2)设椭圆方程为1+与=1(。>/7>0),半焦距为C,贝以=2.

a2b2V)

b=l,〃+/=2c，・・./=〃2+/=2.，所求椭圆方程为工+y2=]

2-

(3)设切点为N,则由题意得，椭圆方程为N,

在R/AMON中，MO=2,ON=\,则NNMO=30。，

・•・4的方程为)，=*(1+2)，代入椭圆]+丁=1中，整理得5/+8X+2=0.

【点睛】

本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的

方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用

韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直

接解决，但应注意不要忽视判别式的作用.

22

3.已知椭圆。：工+上~=1.

63

(1)直线/过点与椭圆。交于RQ两点，若而=丽,求直线/的方程；

⑵在圆0:/+y2=2上取一点M，过点”作圆。的切线/与椭圆。交于A3两点，求的

值.

13

【答案】（1）），=一一x+—；（2）2.

22

【分析】

（1）利用点差法解决中点弦问题中求直线方程；

（2）分类讨论切线，斜率不存在与存在，利用两向量垂直其向量的数量积为零，可证明。进而在

R/VOAB中，由与aBOM相似，得|加4|-|加8|=|0时|2求得答案.

【详解】

解：（1）设尸（石,）。。（/,%）,•.,户万二万a「.（1一一凹）=（工2-1,、2-1），即，““

1-乂=y2T

解得％+9=2，x+必=2.

•・・P,Q两点在椭圆。上，.•.土+岂=1,江+互=1,

6363

两式相减，得目7）4+•＜（）『％）5+%）*则口=-1

63册一公2

113

故直线/的方程为3-1=一不（工一1）,即月=一/不.

乙乙乙

（2）当切线/斜率不存在时，不妨设，的方程为工=血，

由椭圆C的方程可知，4（72,72）^（72,-V2）,

则砺=（正,0｝。豆=（行，一桓），.•.。4.。方=（），即OA_LO3.

当切线/斜率存在时，可设，的方程为＞=kx+m.A（孙为），回七,居），

-1^-!—=V2,即加2=2（公+1）,

收+i\）

联立/和椭圆的方程，得

△=(4公〃尸一4(1+2F)(2/w2-6)>0

4km

(1+2/)d+4kmx+2m2-6=0,则《

2/n2-6

w-2--公----+--1-

•.•。4=（电.必）.。公=（七.乂）,

22

/.OAOB=毛七+y4y3=+（依+in）（Ax4+m）=^\+k+初z（七+/）+m

22

2m2-6.-4km）（1+巧（2病-6）-4km+疗（2、+1）

=（1十%”——；+km；——+nr

2代+12k2+\2k2+]

_3病一642—6_3（2/+2）—6尸—6

2/+12父+1

:.OA±OB.

综上所述，圆。上任意一点M处的切线交椭圆。于点A8,都有OA_LO"

在R/VO45中，由△04例与.BOM相似，得|MA|-|M8|=|0M/=2.

【点睛】

本题考查椭圆中利用点差法解决中点弦问题，还考查了直线与椭圆的位置关系中的定值问题，属于较难题.

22

4.已知后，尸2分别是椭圆c：；•+与=l（Q>b>0）的左，右焦点，过点6的直线/与椭圆C交于A,B

a~b~

两点，点M（夜,1）在椭圆。上，且当直线/垂直于x轴时，|AB|=2.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）是否存在实数3使得〔A娟+忸国=必用忸国恒成立.若存在，求出/的值；若不存在，说明理由

【分斤】

（1）根据题意得到关于。泊的方程组，求解出的值，则椭圆方程可求;

6制+|班|

（2）根据条件可得r二,当直线/的斜率不存在时，直接计算即可；当直线/的斜率存在时,

设/：），=攵（X+虚），联立直线/与椭圆方程，根据韦达定理形式表示出/,由此确定出是否存在/满足条

件.

【详解】

|阴=也=2

a

解：（1）由题意可得〈

解得/=4,〃=2.

22

故椭圆。的标准方程为三+上=1.

42

（2）由（1）可知£卜0,0卜丹（&,0）.

2

A|A£|十|B£|

当直线/的斜率不存在时，|A国=忸用=1=1,则/==2.

当直线/的斜率存在时，设其斜率为匕则直线/的方程为y=Mx+&），A（X，X），B（X2，）’2）・

y=A（％+四）

,整理得（］卜血左工+以

联立《222%2+2+422-4=0,

土+匕=1

142

,4扬4攵〜u而II［（□~：4«2+T

则mi*+毛=_亦］，%々=布］，从而村―%|=｛（玉+毛）一©丙=2.+1

故|AFJ|+忸制=|AB|=JFli苗-司=：：2：：

乙KI1

由题意可得|八胤=+应|,忸制="2+11+拉|.

则|A^M凰=（3+1）卜丙+血住+■+2卜坐三）•

4/+4

因为同+|%HMM，所以源1焉1=卷｝=2.

2百1

综上，存在实数4=2,使得M制十|%|=必"忸制恒成立.

【点睛】

易错点睛：利用宜线与圆锥曲线联立求解相关问题的易错点：

（1）假设直线方程的时候，要注意分析直线的斜率是否存在；

（2）利用公式+一小或j+（£|.加一司不仅可以求解弦长,同时还可以求解两点之间的距

离.

5.设椭圆C：；+==1沆>0）的一个顶点与抛物线C：<=46）,的焦点重合，Fi,乃分别是椭圆

cTb-

的左、右焦点，且离心率e=!，且过椭圆右焦点尸2的直线/与椭圆C交于M、N两点.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线/,使得丽.西=-2.若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.

（3）若46是椭圆。经过原点O的弦，MN//AB,求证:的为〜

22

【答案】(1)?+与=1(2)y=JI(x-l)或)，=-血(工-1)(3)定值4

【分析】

（1）根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点，结合离心率，即可求出椭圆的标准方程.（2）由题可知，椭圆的

右焦点为（1,0）,直线/与椭圆必相交.分两种情况讨论：①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；②

设存在直线/为y=k（x-I）（后0）,与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线/的

方程；（3）设M（XI,>'I）,N（X2,>,2）>A（X3,y3）,B（XI,54）,求出|MN|与|AB|的长，从而可证结论.

【详解】

（1）抛物线C:工2=46）,的焦点为（（）,、万）

•・•椭圆C：三十千=1（心心0）的一个顶点与抛物线C：f=4岛的焦点重合

・•・椭圆的一个顶点为（0，百），即0=6

..cJ一庐1._0

a\a22

22

••・椭圆的标准方程为三十匕=1

43

（2）由题可知，椭圆的右焦点为（1,0）,直线/与椭圆必相交.

qo_______3、Q5

①当直线斜率不存在时，M（1,—）,N（l,----）,OMON=1,--■=-T=~~7»不合题

22I2八2J44

意.

②设存在直线/为），=A（x-I）（40）,且M（xi,yi）,N（K2,”）.

“V2

,-----1-----=I

由<43得（3+4R）f-女力+软2・12=0,

8k24£-12

“尸2=诉中工2=

3+U2

xx

OMON=xAx2+,必=\i+k?[与%一(X+%)+1]

竺E+M竺七/三十启土菱

3+4公(3+4-3+4/J3+4公

所以Z=±5/2»

故直线/的方程为y=&（x—1）或），二一夜（亲—1）

（3）证明：设M（xi,y\）,N（12,以），A（xi,2），B（心，/）

由(2)可得：|MM="+女[尤1-司=J(1+〃)[(X+%2『-4//2

12俨十1)

3+4公

三+乙=112

由,47一消去」，并整理得：-

H同=11+k?|x3-x4|=4.

3+4左

3+4/

【点睛】

本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题时要认真审

题，注意合理地进行等价转化.

6.已知斜率为攵的直线/与椭圆G1+三=1交十A,B两点,线段A3的中点为河（1，"枢机》。）.

（1）证明：k<一一；

2

⑵设尸为C的右焦点，f为C上一点，且户A+而+RS=O.证明：|/叫|闭，成等差数列,

并求该数列的公差.

【答案】（1）k<--

（2）返或也

2828

【详解】

分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明.

（2）解出m,进而求出点P的坐标，得至“方卜再由两点间距离公式表示出|同而得到直1的方程，联

立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解.

详解：⑴设4（%/）,3（%,%），则立+至=1,立+五=1.

4*33

两式相减，并由入二&=%得

由题设知装至=1,入岁■=机，于是

22

k=------

由题设得0＜相＜3,故％＜一」.

22

（2）由题意得尸（1,0）,设「（£、%），则

（玉-1,%）+（%-1，乂）+（马-1，%）=（。，0）・

由（1）及题设得七=3—（％+9）=1,%=一（y+%）=-2"＜0-

又点P在C上,所以加=1,从而尸（1，-|），忸户卜今

于是

I可|二j&T）2+y2=34一1）2+31—点=2-^.

同理阀=2-/.

所以.|+|丽卜4_g（x+8）=3.

故2府卜|FA\+\而|,即|列FP\]FB\成等差数列.

设该数列的公差为4则

2同=||而卜|丽卜;不一看二;J（1+々『一44q•②

将加=2代入①得A=—1.

7I

所以/的方程为丁二一工+一,代入。的方程，并整理得7/-14工+—=0.

44

故王+£=2,%W二[，代入②解得同二色也.

所以该数列的公差为土叵或-生包

点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第•问利用点差法，设而不求可减小计算

量，第二问由已知得到而+丽=0,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的

计算能力，难度较大.

7.已知椭圆C:二十==1（。>8>0）,离心率6=①，点G（JI1）在椭圆上.

crb“2

（1）求椭圆c的标准方程；

（2）设点P是椭圆C上一点，左顶点为A,上顶点为B,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于

点N,求证：|ANHBW|为定值.

【答案】（1）二+二=1：（2）见解析.

42

【解析】

试题分析•：（1）根据椭圆C的离心率6=亚，点G（友,1）在梢圆上，结合性质/=〃+/,列出关于

2

。、b、c的方程组，求出。、。、。，即可得椭圆C的标准方程；（2）设夕（毛,%）,根据三点共线

斜率相等，可分别求出的坐标，利用两点间的距离公式可将用/,为表示，结合点

2（马，然）在椭圆°上消去小，）'。即可得结果•

试题解析：（1）依题意得£=立，设c则4=2加力=&,

a2

由点在椭圆上，有三+±二1,解得也=1,则〃=2.b=JL

a发

椭圆c的方程为：—+22=i

42

设P（毛Jo）,MIO,wLV（w,0）,A（-2,0）^10,72），则Q&JJ由APM三点共线，则有3=%,

即上产三，解得物=士、，则刈0,生,

4+22/+21耳+2,

由BPN三点共线，有即」：一"二二,解得〃=二^

*天〃＞0-

则（0,^^|4|.小1|=|^^-2|.|二一百=一正£”21丐.户「金「走

k〉o-J-,>o_v2々_2y0-v2七-2

=4yo：+24一4氐0比—4舛2yo-石飞）+8

xo>o-V2x0+2y0-2VI

又点P在椭圆上，满足争+*1=1，有2改/+4〉/=8,

,，…一E.—40%1―4012底一、氏）+16

代人上式得ANI-BM=—・”•C-~r—|

x0y0--V2^+2v0-2v2

I4巫飞汽-4或（2%-1-16nr

二”07y「岳下珑=地’

可知AN-BM为定值40".

【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、椭圆的离心率、直线的斜率公式以及圆锥曲

线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，

先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中

消去变量，从而得到定值.

8.已知椭圆C:二十《=1（。＞力＞0）的离心率为且，且过点（°，1）・

a~b-2

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点A、3为椭圆C的左右顶点，直线/：x=20与4轴交于点。，点P是椭圆。上异于A、8的动

点，直线AP、8。分别交直线/于E、F两点，当点P在椭圆。上运动时，|。石|“。/|是否为定值？若是，

请求出该定值；若不是，请说明理由.

2

【答案】（1）—+/=1：（2）为定值I

4/

【分析】

（1）由题意可知〃=l,e=£=@，结合/=〃+/,可求出椭圆方程.

a2

（2夜+2）闻

%

(2)设2(/，%)，则直线的方程为y=(x+2),求出口国=同理得出

%+2ko+Z

,将点尸在椭圆上这个条件代入，可得到答案.

【详解】

(1)由题意可知人=1

又因为e=£=Y3且/n6+c?,解得。=2,

a2

所以椭圆C的方程为二+9=］；

4.

(2)|。玛・|。尸I为定值1.

由翅意口J得：A(-2,0),6(2,0),设尸(与,治)，由超意可得：-2vx°v2,

所以直线AP的方程为y=』4；a+2),令x=2&，则)，=(2夜+?治

%+2%+2

同理：直线台产的方程为y=%2),令工=2&，则尸(2员？为

不。一2x0-2

即好”

(2逝+2)闾(2及-2)闾二4y；=4立

所以斗|。「|二

卜。+2||%-2|忖一4|4一片

而亨+y；=l,即4需=4一工3

代入上式得。耳耳=1,

所以|。石|・］。/|为定值1.

【点睛1

本题考查利用窝心率求椭圆方程和椭圆中的定值问题，考查运算能力，属于难题.

9.如图，已知椭圆。：工+匕=1,点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A点在工轴下

124

方），且线段AB的中点E在直线）'=工上.

（1）求直线AB的方程；

（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线），=%于点M、N,证明：OMQN为

定值.

【答案】（1）x+3y+6=0（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）两点确定一条直线，所以只需再确定A点坐标即可，这可利用A在椭圆上及AB中点在直

线=x上联立方程组解得：A（-3,-1）,从而根据两点式求出直线AB的方程为x+3y+6=0.

（2）本题涉及的条件为坐标，所以用户（%,先）分别表示M点、N点坐标就是解题方法：由A,P,M三点

3y-x

共线，又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标王,二一-n-----n-,由B,P,N三点共线，点N在直线

%一为+2

y=x上，，解得N点的横坐标4=-----.所以OM.ON=、伤

-0|-V2|XN-0=2|XW|-|XV|=2

厮一）‘0一2

3yo一3|I-2x0

%-%+2|-2

2/2_6/%2/2-6七)儿x（）—3x（）Y）

=2,又为2="(所以OM.ON==2=2=6.

(%一)'O)2-4V

为2-2/%一2「打

J

试题解析：解：(1)设点E(m,m),由B(0,-2)得A(2m,2m+2).

代入椭圆方程得替誓L，吟+（…2小

3

解得〃2=或〃2=0(舍).3分

2

所以A(—3,-1),

故直线AB的方程为x+3y+6=0.6分

222

(2)设P(x°,y°),则互+近=1,即),2=4-至

124°3

设〃（如，加）,由A,P,M三点共线，即行||而,

J(%+3)()%+l)=(y0+l)(xw+3),

3y-%

又点M在直线y=x上，解得M点的横坐标4,二一0—、，9分

玉）一为+2

设N（/，yN），由B,P,N三点共线，即丽||两，

，工0(%+2)=(%+2)%,

点N在直线y=x上，，解得N点的横坐标—二了.一i时分

%一）'（）—」

3%一天||-2厮

所以OM.ON=V^^-。,&4-。=2除卜|/1=2

/一)'0+2||毛—)，0_2

2X()22/2-6%%天）-340尤

=2=2=2=6.16分

(工0-)’0)2-4x2-2xy-^-•V

000?7°为

考点：直线与椭圆位置关系

io.已知椭圆七：£+±

2=l（a>b>0）过点（0,1）,且离心率为旦

crb~2

（1）求椭圆E的标准方程;

=！X+机与椭圆E交于A,两点,以AC为对角线作正方形A8CQ,记直线/与x轴的

（2）设直线/:yC

2

交点为N,求证:忸N|为定值.

【答案】（1）—F_/=]；（2）证明见解析.

4

【分析】

（1）由题意可知b=i,e=-=.C5=—，即可求得。的值，求得椭圆方程;

a\（T2

（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AC|,|MN|及

|BAf=|BM『+|MN『=；k€f+|MN『，由此即可求证忸叫为定值.

【详解】

（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴且6=1,

2

cIb6.

eU=卜滔F-4=2.

故椭圆E的标准方程为：—+/=1.

4-

（2）设A（x，x）、。（&,%），线段AC的中点为M,

1

y=­x+m,

2

联立《,，消去,v»得产+2nvc+2m2-2=0-

x).

—+y-=1

4

由A=(2m)2-4(2/n2-2)>0,解得-72<m<42

2

M+%=_2m,xix2=2m-2,

(I

y+y=—(x+x)+2/w=zw,二M-ni,—m

2(2I2

・•・\AC\=J(1+/)[(%+%)2-4中2

4m2-4(2〃/-2)]=V10-5AH2.

又直线I与x轴的交点N（—2m,0）,

:.|MN|=J(一"z+2〃?

・•.|BN『=|BM|2=；aq2+|MN『=|,

故|BN|为定值.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算

能力，属于中档题.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点的直线/与椭圆C交于A、B两点,椭圆C上一点M满足|"4|=|加到•求证:

112

研.所+所为定直

【答案】（1）3A2+4/=7；<2）证明见解析

【分析】

（1）椭圆。过（1,1）与两点，利用待定系数法求a?、"即可得椭圆方程；（2）根据直线/的斜

率情况分类讨论，当斜率不存在或A=0时易证定值，当斜率存在且AW0时联立直线方程与椭圆方程，结

,,,,112

合|M4|=上必叫有定值，整合结论值［++7陷2为定值即得证

【详解】

（1）椭圆。过（1,1）与两点，则

解得

13

彳+赤

・•・椭圆。的方程为3/+”2=7

(2)过原点的直线/与椭圆C交于A、B两点：IOAROBI

1[2_22

当直线/的斜率不存在或％=0时，有+|08『+|0例|2~a2+b2

当直线/的斜率存在且ZwO时，令直线/：y=kx,代入椭圆方程有x=±

若A（+3），B（-一J展),即Q『■即

又椭圆。上一点M满足|喇=阿却，知：OW垂直平分AS,可令直线OM：y=-j-

702+1）

3k2+4

1122（4公+3）2（3/+4）。

故-------T+--------TH-----------T=---;----+;----=2