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文档简介

河北张家口市2025届高考数学五模试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面,,两两互相垂直,点,点到,的距离都是3,点是上的动点,满足到的距离与到点的距离相等,则点的轨迹上的点到的距离的最小值是()A. B.3 C. D.2.若P是的充分不必要条件,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设集合,,则()A. B.C. D.4.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. B. C. D.5.在中,是的中点,,点在上且满足,则等于()A. B. C. D.6.等比数列若则()A.±6 B.6 C.-6 D.7.已知f(x),g(x)都是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,设函数F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,则()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)8.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为()A. B. C. D.9.二项式的展开式中,常数项为()A. B.80 C. D.16010.已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.11.已知过点且与曲线相切的直线的条数有().A.0 B.1 C.2 D.312.已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,则球O的表面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.直线是曲线的一条切线为自然对数的底数),则实数__________.14.已知二面角α﹣l﹣β为60°,在其内部取点A,在半平面α,β内分别取点B,C.若点A到棱l的距离为1,则△ABC的周长的最小值为_____.15.直线与抛物线交于两点,若,则弦的中点到直线的距离等于________.16.古代“五行”学认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克的两种物质不相邻,则这样的排列方法有_________种.(用数字作答)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知动圆Q经过定点,且与定直线相切(其中a为常数,且).记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线?(2)设点P的坐标为,过点P作曲线C的切线,切点为A,若过点P的直线m与曲线C交于M,N两点,则是否存在直线m,使得?若存在,求出直线m斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.18.(12分)已知点、分别在轴、轴上运动,,.(1)求点的轨迹的方程;(2)过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点,,求的取值范围.19.(12分)如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,,,分别为,的中点,是上异于,的点,.(1)证明:平面平面;(2)若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.20.(12分)某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关).年份年份代号年利润(单位:亿元)(Ⅰ)求关于的线性回归方程,并预测该公司年(年份代号记为)的年利润;(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(Ⅰ)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为级利润年,否则称为级利润年.将(Ⅰ)中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值,现从年至年这年中随机抽取年,求恰有年为级利润年的概率.参考公式:,.21.(12分)函数,且恒成立.(1)求实数的集合;(2)当时,判断图象与图象的交点个数,并证明.(参考数据:)22.(10分)如图,四棱锥中,底面,,点在线段上,且.(1)求证:平面;(2)若,,,,求二面角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

建立平面直角坐标系,将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值,利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程,得到,进而得到所求最小值.【详解】如图,原题等价于在直角坐标系中,点,是第一象限内的动点,满足到轴的距离等于点到点的距离,求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值.设,则,化简得:,则,解得:,即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.故选:.【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解,关键是能够准确求得动点轨迹方程,进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.2、B【解析】

试题分析:通过逆否命题的同真同假,结合充要条件的判断方法判定即可.由p是的充分不必要条件知“若p则”为真,“若则p”为假,根据互为逆否命题的等价性知,“若q则”为真,“若则q”为假,故选B.考点:逻辑命题3、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合,,由集合的交运算可得,.故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.4、D【解析】循环依次为直至结束循环,输出,选D.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.5、B【解析】

由M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足可得:P是三角形ABC的重心,根据重心的性质,即可求解.【详解】解:∵M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故选B.【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法:①定义:三条中线的交点.②性质:或取得最小值③坐标法:P点坐标是三个顶点坐标的平均数.6、B【解析】

根据等比中项性质代入可得解,由等比数列项的性质确定值即可.【详解】由等比数列中等比中项性质可知,,所以,而由等比数列性质可知奇数项符号相同,所以,故选:B.【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用,注意项的符号特征,属于基础题.7、A【解析】试题分析:由题意得,F(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),综上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故选A.考点:1.函数的性质;2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质,避免了由于单调性不同导致1-a与1+a大小不明确的讨论,从而使解题过程得以优化,另外,不要忘记定义域,如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题,通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑,然后推广到整个定义域上.8、C【解析】

由复数的几何意义可得表示复数,对应的两点间的距离,由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得,复数对应的点为,复数对应的点为,所以,其中,故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义,由复数的几何意义,将转化为两复数所对应点的距离求值即可,属于基础题型.9、A【解析】

求出二项式的展开式的通式,再令的次数为零,可得结果.【详解】解:二项式展开式的通式为,令,解得,则常数项为.故选:A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解,关键是熟练应用二项展开式的通式,是基础题.10、A【解析】

先求出函数在处的切线方程,在同一直角坐标系内画出函数和的图象,利用数形结合进行求解即可.【详解】当时,,所以函数在处的切线方程为:,令,它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示:利用数形结合思想可知:不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是.故选:A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题,考查了导数的应用,属于中档题.11、C【解析】

设切点为,则,由于直线经过点,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率,建立关于的方程,从而可求方程.【详解】若直线与曲线切于点,则,又∵,∴,∴,解得,,∴过点与曲线相切的直线方程为或,故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,求解曲线的切线的方程,其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.12、D【解析】

由题意画出图形,找出△PAB外接圆的圆心及三棱锥P﹣BCD的外接球心O,通过求解三角形求出三棱锥P﹣BCD的外接球的半径,则答案可求.【详解】如图;设AB的中点为D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB为直角三角形,且斜边为AB,故其外接圆半径为:rAB=AD=2;设外接球球心为O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2⇒R2=(R)2+r2⇒R;∴球O的表面积为:4πR2=4π.故选:D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,考查数形结合的解题思想方法,考查思维能力与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据切线的斜率为,利用导数列方程,由此求得切点的坐标,进而求得切线方程,通过对比系数求得的值.【详解】,则,所以切点为,故切线为,即,故.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题,属于基础题.14、【解析】

作A关于平面α和β的对称点M,N,交α和β与D,E,连接MN,AM,AN,DE,根据对称性三角形ADC的周长为AB+AC+BC=MB+BC+CN,当四点共线时长度最短,结合对称性和余弦定理求解.【详解】作A关于平面α和β的对称点M,N,交α和β与D,E,连接MN,AM,AN,DE,根据对称性三角形ABC的周长为AB+AC+BC=MB+BC+CN,当M,B,C,N共线时,周长最小为MN设平面ADE交l于,O,连接OD,OE,显然OD⊥l,OE⊥l,∠DOE=60°,∠MOA+∠AON=240°,OA=1,∠MON=120°,且OM=ON=OA=1,根据余弦定理,故MN2=1+1﹣2×1×1×cos120°=3,故MN.故答案为:.【点睛】此题考查求空间三角形边长的最值,关键在于根据几何性质找出对称关系,结合解三角形知识求解.15、【解析】

由已知可知直线过抛物线的焦点,求出弦的中点到抛物线准线的距离,进一步得到弦的中点到直线的距离.【详解】解:如图,直线过定点,,而抛物线的焦点为,,弦的中点到准线的距离为,则弦的中点到直线的距离等于.故答案为:.【点睛】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,体现了数学转化思想方法,属于中档题.16、1.【解析】试题分析:由题意,可看作五个位置排列五种事物,第一位置有五种排列方法,不妨假设排上的是金,则第二步只能从土与水两者中选一种排放,故有两种选择不妨假设排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1.考点:排列、组合及简单计数问题.点评:本题考查排列排列组合及简单计数问题,解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景,利用分步原理正确计数,本题较抽象,计数时要考虑周详.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),抛物线;(2)存在,.【解析】

(1)设,易得,化简即得;(2)利用导数几何意义可得,要使,只需.联立直线m与抛物线方程,利用根与系数的关系即可解决.【详解】(1)设,由题意,得,化简得,所以动圆圆心Q的轨迹方程为,它是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线.(2)不妨设.因为,所以,从而直线PA的斜率为,解得,即,又,所以轴.要使,只需.设直线m的方程为,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,设,,则,..故存在直线m,使得,此时直线m的斜率的取值范围为.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,涉及抛物线中的存在性问题,考查学生的计算能力,是一道中档题.18、(1)(2)【解析】

(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程,用坐标表示出,得到,所以,代入韦达定理即可求解.【详解】(1)设,,则,设,由得.又由于,化简得的轨迹的方程为.(2)设直线的方程为,与的方程联立,消去得,,设,,则,,由已知,,则,故直线.,令,则,由于,,.所以,的取值范围为.【点睛】此题考查轨迹问题,椭圆和直线相交,注意坐标表示向量进行转化的处理技巧,属于较难题目.19、(1)详见解析;(2).【解析】

(1)由直径所对的圆周角为,可知,通过计算,利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形,所以有.由已知可以证明出,这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面,利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;(2)以为坐标原点,分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求出相应点的坐标,求出平面的一个法向量和平面的法向量,利用空间向量数量积运算公式,可以求出二面角的余弦值.【详解】解:(1)证明:因为半圆弧上的一点,所以.在中,分别为的中点,所以,且.于是在中,,所以为直角三角形,且.因为,,所以.因为,,,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)由已知,以为坐标原点,分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,.设平面的一个法向量为,则即,取,得.设平面的法向量,则即,取,得.所以,又二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题.20、(Ⅰ),该公司年年利润的预测值为亿元;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)求出和的值,将表格中的数据代入最小二乘法公式,求得和的值,进而可求得关于的线性回归方程,然后将代入回归直线方程,可得出该公司年年利润的估计值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归直线方程计算出从年至年这年被评为级利润年的年数,然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【详解】(Ⅰ)根据表中数据,计算可得,,,又,,,关于的线性回归方程为.将代入回归方程得(亿元),该公司年的年利润的预测值为亿元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、(单位:亿元),其中实际利润大于相应估计值的有年.故这年中被评为级利润年的有年,评为级利润年的有年.记“从年至年这年的年利润中随机抽取年,恰有年为级利润年”的概率为,.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程,同时也考查了古典概型概率的计算,涉及组合计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.21、(1);(2)2个,证明见解析【解析】

(1)要恒成立,只要的最小值大于

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