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文档简介

2025届广西南宁三中、柳铁一中等高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的部分图象如图中实线所示,图中圆与的图象交于两点,且在轴上,则下列说法中正确的是A.函数的最小正周期是B.函数的图象关于点成中心对称C.函数在单调递增D.函数的图象向右平移后关于原点成中心对称2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则3.设,则A. B. C. D.4.抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.5.函数的大致图象是A. B. C. D.6.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为()A. B. C. D.7.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.8.已知是虚数单位,则复数()A. B. C.2 D.9.已知双曲线的左、右顶点分别是,双曲线的右焦点为,点在过且垂直于轴的直线上,当的外接圆面积达到最小时,点恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为()A. B.C. D.10.若双曲线的离心率为,则双曲线的焦距为()A. B. C.6 D.811.已知直四棱柱的所有棱长相等,,则直线与平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.12.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①直线与直线的斜率乘积为;②轴;③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中,所有正确判断的序号是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数,满足约束条件则的最大值为________.14.已知三棱锥中,,,则该三棱锥的外接球的表面积是________.15.甲、乙两人同时参加公务员考试,甲笔试、面试通过的概率分别为和;乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试面试都通过才被录取,且甲、乙录取与否相互独立,则该次考试只有一人被录取的概率是__________.16.函数的定义域是____________.(写成区间的形式)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,记不等式的解集为.(1)求;(2)设,证明:.18.(12分)如图,在正四棱柱中,已知,.(1)求异面直线与直线所成的角的大小;(2)求点到平面的距离.19.(12分)在中,内角的对边分别是,已知.(1)求的值;(2)若,求的面积.20.(12分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,证明.21.(12分)某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所.(1)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;(2)若已知甲同学特别喜欢高校,他必选校,另在四校中再随机选1所;而同学乙和丙对五所高校没有偏爱,因此他们每人在五所高校中随机选2所.(i)求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率;(ii)记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数,求随机变量的分布列及数学期望.22.(10分)已知关于的不等式有解.(1)求实数的最大值;(2)若,,均为正实数,且满足.证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据函数的图象,求得函数,再根据正弦型函数的性质,即可求解,得到答案.【详解】根据给定函数的图象,可得点的横坐标为,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,当时,,即函数的一个对称中心为,即函数的图象关于点成中心对称.故选B.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式,以及三角函数的图象与性质,其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式,再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及运算与求解能力,属于基础题.2、C【解析】

在A中,与相交或平行;在B中,或;在C中,由线面垂直的判定定理得;在D中,与平行或.【详解】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则:在A中,若,,则与相交或平行,故A错误;在B中,若,,则或,故B错误;在C中,若,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若,,则与平行或,故D错误.故选C.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.3、C【解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数,然后求解复数的模.详解:,则,故选c.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.4、A【解析】

首先求出样本空间样本点为个,再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数,再求出重复数量,可得事件的样本点数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为个,具体分析如下:记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”,有以下3种位置1____,__1__,____1.剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所有可能分别都是,但合并计算时会有重复,重复数量为,事件的样本点数为:个.故不同的样本点数为8个,.故选:A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理,古典概型的概率计算公式,属于基础题5、A【解析】

利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数,可排除B选项;当时,,可排除D选项;当时,,当时,,即,可排除C选项,故选:A【点睛】本题考查了函数图象的判断,函数对称性的应用,属于中档题.6、D【解析】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.7、C【解析】

求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.【详解】当时,,令,则;,则,∴函数在单调递增,在单调递减.∴函数在处取得极大值为,∴时,的取值范围为,∴又当时,令,则,即,∴综上所述,的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.8、A【解析】

根据复数的基本运算求解即可.【详解】.故选:A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.9、A【解析】

点的坐标为,,展开利用均值不等式得到最值,将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为,由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,因为,,所以,当且仅当,即当时,等号成立,此时最大,此时的外接圆面积取最小值,点的坐标为,代入可得,.所以双曲线的方程为.故选:【点睛】本题考查了求双曲线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.10、A【解析】

依题意可得,再根据离心率求出,即可求出,从而得解;【详解】解:∵双曲线的离心率为,所以,∴,∴,双曲线的焦距为.故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题.11、D【解析】

以为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.求解平面的法向量,利用线面角的向量公式即得解.【详解】如图所示的直四棱柱,,取中点,以为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设,则,.设平面的法向量为,则取,得.设直线与平面所成角为,则,,∴直线与平面所成角的正切值等于故选:D【点睛】本题考查了向量法求解线面角,考查了学生空间想象,逻辑推理,数学运算的能力,属于中档题.12、B【解析】

由题意,可设直线的方程为,利用韦达定理判断第一个结论;将代入抛物线的方程可得,,从而,,进而判断第二个结论;设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,进而判断第三个结论.【详解】解:由题意,可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所.则直线与直线的斜率乘积为.所以①正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,,根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以直线轴.所以②正确.如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以③不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

作出约束条件表示的可行域,转化目标函数为,当目标函数经过点时,直线的截距最大,取得最大值,即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部,转化目标函数为当目标函数经过点时,直线的截距最大此时取得最大值1.故答案为:1【点睛】本题考查了线性规划问题,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算能力,属于基础题.14、【解析】

将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,求得的值,然后利用球体表面积公式可求得结果.【详解】将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,则,由勾股定理可得,上述三个等式全部相加得,,因此,三棱锥的外接球面积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算,根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键,考查推理能力,属于中等题.15、【解析】

分别求得甲、乙被录取的概率,根据独立事件概率公式可求得结果.【详解】甲被录取的概率;乙被录取的概率;只有一人被录取的概率.故答案为:.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题,属于基础题.16、【解析】

要使函数有意义,需满足,即,解得,故函数的定义域是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)证明见解析【解析】

(1)利用零点分段法将表示为分段函数的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)将不等式坐标因式分解,结合(1)的结论证得不等式成立.【详解】(1)解:,由,解得,故.(2)证明:因为,所以,,所以,所以.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查不等式的证明,属于基础题.18、(1);(2).【解析】

(1)建立空间坐标系,通过求向量与向量的夹角,转化为异面直线与直线所成的角的大小;(2)先求出面的一个法向量,再用点到面的距离公式算出即可.【详解】以为原点,所在直线分别为轴建系,设所以,,所以异面直线与直线所成的角的余弦值为,异面直线与直线所成的角的大小为.(2)因为,,设是面的一个法向量,所以有即,令,,故,又,所以点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离,意在考查学生的数学建模以及数学运算能力.19、(1);(2).【解析】

(1)由,利用余弦定理可得,结合可得结果;(2)由正弦定理,,利用三角形内角和定理可得,由三角形面积公式可得结果.【详解】(1)由题意,得.∵.∴,∵,∴.(2)∵,由正弦定理,可得.∵a>b,∴,∴.∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.20、(1)单调递减区间为,,无单调递增区间(2)证明见解析【解析】

(1)求导,根据导数的正负判断单调性,(2)整理,化简为,令,求的单调性,以及,即证.【详解】解:(1)函数定义域为,则,令,,则,当,,单调递减;当,,单调递增;故,,,,故函数的单调递减区间为,,无单调递增区间.(2)证明,即为,因为,即证,令,则,令,则,当时,,所以在上单调递减,则,,则在上恒成立,所以在上单调递减,所以要证原不等式成立,只需证当时,,令,,,可知对于恒成立,即,即,故,即证,故原不等式得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,利用导数证明不等式,函数的最值问题,属于中档题

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