数学一轮复习基础讲义下册（适合艺术生、基础生一轮复习）第45讲二项式定理含答案及解析

第45讲二项式定理1．二项式定理．2.二项展开式的特点(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有项．(3)二项式系数：各项的系数()叫做二项式系数．(4)各项的次数和都等于二项式的幂指数.3.二项展开式的通项公式展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作4.二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与的值有关．【题型一：二项式定理】1．（全国高二课时练习）二项式的展开式中为常数项的是（）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项2．（全国高二课时练习）等于（）A．2n B．2n－1 C．3n D．13．（全国高二课时练习）若的展开式有16项，则自然数的值为（）A．9 B．10 C．11 D．164．（包头市第六中学高二期中（理））若且，则实数m的值为（）A．1或﹣3 B．﹣1 C．﹣3 D．15．（全国高二课时练习）设为虚数单位，则展开式中的第三项为（）A．－20i B．15i C．20 D．－156．（陕西金台·高二期末（理））展开式中的第4项为（）A． B． C． D．7．（全国高三专题练习（理））二项式的展开式中的常数项为（）A． B． C． D．8．（重庆市第六十六中学校高二月考）二项式的展开式中，常数项为（）A．-4 B．4 C．-6 D．69．（全国高二课时练习）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（）A．－34 B．－672 C．84 D．67210．（广东荔湾·西关外国语学校高三月考）展开式中的常数项为－160，则a＝（）A．－1 B．1 C．±1 D．211．（赣榆智贤中学）二项式的展开式中常数项为60，则（）A． B． C．2 D．312．（全国高二课时练习）的展开式的常数项为（）A．6 B．10 C．15 D．1613．（全国高二课时练习）在的展开式中，项的系数为（）A． B． C．30 D．50【题型二：二项式系数】1．（全国高二课时练习）的展开式中含项的二项式系数为（）A． B． C． D．2．（全国高二课时练习）的展开式中常数项是（）A．60 B．120 C．160 D．9603．（全国高二课时练习）在的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为（）A．4 B．27 C．36 D．1084．（江苏高三月考）若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（）A． B． C． D．5．（江苏南京·高二期末）展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（）A．6 B．10 C．15 D．206．（辽宁丹东·高三二模）在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（）A．5 B．6 C．7 D．87．（全国）已知的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是（）A．第3项 B．第4项C．第5项 D．第6项8．（全国高二课时练习）已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为（）A． B． C．和 D．和9．（吴江汾湖高级中学）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数和为（）A． B． C． D．10．（江苏如皋·高三模拟预测）的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A．20 B． C．60 D．11．（河南平顶山·（理））的展开式中各项的二项式系数的和为256，则展开式中的系数为（）A． B．504 C． D．70【题型三：项的系数】1．（全国高二课时练习）设，则等于（）A．4 B．－71 C．64 D．1992．（湖北襄城·襄阳五中高三月考）的展开式中所有的项的系数之和为（）A． B． C． D．3．（全国高二单元测试）的展开式中，项的系数是（）A．56 B．－56 C．28 D．－284．（全国高二课时练习）二项式的展开式中含项的系数为（）A．160 B．-160 C．80 D．-8005．（汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）的展开式中的系数为（）A．40 B．80 C． D．6．（金华市方格外国语学校高二月考）若，则（）A．2 B． C．2 D．7．（福建省宁德市教师进修学院高二期末）已知，则（）A．1 B． C．2 D．8．（江苏鼓楼·南京市第二十九中学高二期中）设，是常数，则的值是（）A． B． C． D．09．（陕西渭滨·（理）），则（）A．49 B．52 C．56 D．5910．（全国高二课时练习）若对于任意的实数，有，则的值为（）A． B． C． D．

第45讲二项式定理1．二项式定理．2.二项展开式的特点(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有项．(3)二项式系数：各项的系数()叫做二项式系数．(4)各项的次数和都等于二项式的幂指数.3.二项展开式的通项公式展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作4.二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与的值有关．题型一：二项式定理1．（全国高二课时练习）二项式的展开式中为常数项的是（）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【详解】依题意，的展开式的通项为，，令，得，即是二项式的展开式的常数项，所以展开式中的常数项是第5项.故选：C2．（全国高二课时练习）等于（）A．2n B．2n－1 C．3n D．1【答案】C【详解】.故选：C3．（全国高二课时练习）若的展开式有16项，则自然数的值为（）A．9 B．10 C．11 D．16【答案】B【详解】解：因为的展开式共有项，所以，所以，故选：B．4．（包头市第六中学高二期中（理））若且，则实数m的值为（）A．1或﹣3 B．﹣1 C．﹣3 D．1【答案】A【详解】因为令，则；令则，又，所以，即，因此，解得或.故选A5．（全国高二课时练习）设为虚数单位，则展开式中的第三项为（）A．－20i B．15i C．20 D．－15【答案】D【详解】解：(1＋i)6展开式中的第三项为．故选：D6．（陕西金台·高二期末（理））展开式中的第4项为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：展开式中的第4项为，故选：D7．（全国高三专题练习（理））二项式的展开式中的常数项为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】二项式的展开式的通项为：，令，可得：，所以常数项为，故选：B.8．（重庆市第六十六中学校高二月考）二项式的展开式中，常数项为（）A．-4 B．4 C．-6 D．6【答案】D【详解】二项式的展开式的通项公式为：，令，解得，所以常数项为，故选：D9．（全国高二课时练习）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（）A．－34 B．－672 C．84 D．672【答案】B【详解】由已知，，则，所以.令，得，所以常数项为，故选：B．10．（广东荔湾·西关外国语学校高三月考）展开式中的常数项为－160，则a＝（）A．－1 B．1 C．±1 D．2【答案】B【详解】的展开式通项为，∴令，解得，∴的展开式的常数项为，∴∴故选：B.11．（赣榆智贤中学）二项式的展开式中常数项为60，则（）A． B． C．2 D．3【答案】A【详解】通项,,令，得，得，所以，即故，故选：A.12．（全国高二课时练习）的展开式的常数项为（）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】D【详解】由题意得的展开式的通项为，令，则，所以的展开式的常数项为.故选：D.13．（全国高二课时练习）在的展开式中，项的系数为（）A． B． C．30 D．50【答案】B【详解】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，故项的系数为，故选B．题型二：二项式系数1．（全国高二课时练习）的展开式中含项的二项式系数为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】的展开式的通项为：，令可得，所以含项的二项式系数为，故选：D.2．（全国高二课时练习）的展开式中常数项是（）A．60 B．120 C．160 D．960【答案】C【详解】的展开式的通项公式为，令，则，故常数项为第4项且为，故选：C.3．（全国高二课时练习）在的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为（）A．4 B．27 C．36 D．108【答案】D【详解】解：的展开式中的第项为，由，得，所以，故第四项的系数为．故选：D.4．（江苏高三月考）若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】令可得，所以，展开式有项，所以二项式展开式中二项式系数最大的为第项，，故选：A.5．（江苏南京·高二期末）展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（）A．6 B．10 C．15 D．20【答案】B【详解】令得，，展开式中二项式系数最大的项是第3和第4项，最大的二项式系数为．故选：B．6．（辽宁丹东·高三二模）在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】因为在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，所以，解得，故选：B7．（全国）已知的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是（）A．第3项 B．第4项C．第5项 D．第6项【答案】B【详解】设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1．分别令x＝1，x＝－1，得两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝．由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3．(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大．故选：B.8．（全国高二课时练习）已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为（）A． B． C．和 D．和【答案】C【详解】由已知，可得，解得，的展开式中共有8项，中间项为第4项与第5项，，故选：C9．（吴江汾湖高级中学）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数和为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，故因此，所有项的二项式系数和为故选：C10．（江苏如皋·高三模拟预测）的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A．20 B． C．60 D．【答案】C【详解】由题意得，故.所以原式为，通项为，令得，故常数项为：.故选：C.11．（河南平顶山·（理））的展开式中各项的二项式系数的和为256，则展开式中的系数为（）A． B．504 C． D．70【答案】A【详解】由题可知，解得．的展开式的通项为．再令，解得．所以展开式中的系数为．故选：A题型三：项的系数1．（全国高二课时练习）设，则等于（）A．4 B．－71 C．64 D．199【答案】C【详解】∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.故选：C.2．（湖北襄城·襄阳五中高三月考）的展开式中所有的项的系数之和为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，，则展开式所有项的系数和为.故选：A.3．（全国高二单元测试）的展开式中，项的系数是（）A．56 B．－56 C．28 D．－28【答案】A【详解】依题意，所以的系数是.故选：A4．（全国高二课时练习）二项式的展开式中含项的系数为（）A．160 B．-160 C．80 D．-800【答案】A【详解】解：展开式的通项为，令，得，所以含项的系数为．故选：A．5．（汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）的展开式中的系数为（）A．40 B．80 C． D．【答案】A【详解】，所以展开式中的系数为.故选：A6．（金华市方格外国语学校高二月考）若，则（）A．2 B． C．2 D．