数学一轮复习基础讲义下册（适合艺术生、基础生一轮复习）第28讲等差数列含答案及解析

第28讲等差数列1、等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．2、等差数列的四种判断方法(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．(2)等差中项法：()是等差数列．(3)通项公式：(为常数)是等差数列．(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．3、若等差数列的公差为d,则时递增；时递减；时是常数数列.4、对于任意数列，为递增数列；（时，数列严格递增）为递减数列；（时，数列严格递减）5、等差数列前项和公式：；6、等差数列的前n项和Sn的性质（1）等差数列中依次项之和，，，,…组成公差为的等差数列(2)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则7、等差数列前项和的最值在等差数列中，（1）若有最大值,可由不等式组来确定；（2）若有最小值,可由不等式组来确定（3）求等差数列前项和的最值也可以把前项和化为关于的二次函数,通过配方求最值【题型一：等差数列通项公式】1．（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．12．（全国高二单元测试）在数列中，，，若，则（）A．671 B．672 C．673 D．6743．（江西南昌·高三开学考试（理））设为数列的前n项和，若，，则（）A． B． C．10 D．4．（北京牛栏山一中）已知数列中，，，则等于（）A．-12 B．12 C．-16 D．165．（庆阳第六中学高一期末）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．1【题型二：等差中项】1．（全国高二单元测试）在等差数列中，，则（）A．8 B．12 C．16 D．202．（北京房山·）8，2的等差中项是（）A．±5 B．±4 C．5 D．43．（全国）等差数列，，，…的第四项等于()A．10 B．6 C．8 D．124．（江西省铜鼓中学（文））已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【题型三：等差数列性质】1．（四川省资中县第二中学（理））在等差数列中，则=（）A． B． C． D．2．（西藏昌都市第一高级中学高二月考）在等差数列中，若，则（）A．20 B．24 C．27 D．293．（全国高二课时练习）设是等差数列，且，则（）A．5 B．6 C．16 D．324．（贵州大学附属中学高一月考）等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（）A．130 B．170 C．210 D．2605．（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列满足，是数列的前项和，则使取最大值的自然数是（）A．4 B．5 C．6 D．76．（新蔡县第一高级中学高二月考（文））已知等差数列，的前项和分别为，若，则（）A． B． C． D．7．（江西九江一中高一期末）已知两个等差数到和的前项和分别为和，且，则=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（江西省莲花中学高一月考）是等差数列的前项和，且．则时，的最大值为（）A．197 B．198 C．199 D．2009．（青铜峡市高级中学高一期中）若等差数列满足，，当则当前项和取得最大值时的值是（）A．5 B．6 C．7 D．810．（安徽（文））在等差数列中，已知，，则使数列的前项和成立时n的最小值为（）A．6 B．7 C．9 D．1011．（赛罕·内蒙古师大附中）等差数列中，，，则数列各项中取值为正数的有（）A．8项或9项 B．7项或8项 C．17项或18项 D．16项或17项【题型四：等差数列前项和】1．（全国高二课时练习）在等差数列中，若，则的值是（）A．12 B．24C．36 D．482．（全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）A． B． C．2 D．33．（全国高二专题练习）已知为等差数列且，，为其前项的和，则（）A．176 B．182 C．188 D．1924．（全国高二课时练习）已知等差数列满足：，，的前项和为．求及；5．（广西南宁·高一月考）记为等差数列的前项和，已知，.求公差及的通项公式；6．（全国高二课时练习）已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.7．（全国高二单元测试）已知是等差数列，其中，公差，（1）求的通项公式.（2）求数列前项和.【题型五：等差数列前项和最大（小）问题】1．（全国高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则使的最小正整数的值是（）A．8 B．9 C．10 D．112．（贵州贵阳一中高三月考（文））已知等差数列的前项和为，且有，，则的最小值为（）A．-40 B．-39 C．-38 D．-143．（双峰县第一中学高三开学考试）已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为（）A．15 B．16 C．17 D．184．（河南高二月考（文））在等差数列中，.（1）求的通项公式;（2）求的前项和及的最小值.5．（全国）设等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的自然数的值.6．（皮山县高级中学高一期中）已知等差数列中，，，求（1）求的通项公式；（2）的前项和.【题型六：已知和关系】1．（广西平果二中高一期中）已知是等差数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．2．（全国高二专题练习）设数列的前项和为，已知，，.求数列的通项公式；3．（南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知数列的前项和为.求数列的通项公式；4．（浑源县第七中学校高三模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足.求数列的通项公式；5．（山东高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：.求的通项公式；

第28讲等差数列1、等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．2、等差数列的四种判断方法(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．(2)等差中项法：()是等差数列．(3)通项公式：(为常数)是等差数列．(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．3、若等差数列的公差为d,则时递增；时递减；时是常数数列.4、对于任意数列，为递增数列；（时，数列严格递增）为递减数列；（时，数列严格递减）5、等差数列前项和公式：；6、等差数列的前n项和Sn的性质（1）等差数列中依次项之和，，，,…组成公差为的等差数列(2)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则7、等差数列前项和的最值在等差数列中，（1）若有最大值,可由不等式组来确定；（2）若有最小值,可由不等式组来确定（3）求等差数列前项和的最值也可以把前项和化为关于的二次函数,通过配方求最值题型一：等差数列通项公式1．（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】由题设，，解得.故选：A2．（全国高二单元测试）在数列中，，，若，则（）A．671 B．672 C．673 D．674【答案】D【详解】∵，，∴∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，∴，解得.故选：D.3．（江西南昌·高三开学考试（理））设为数列的前n项和，若，，则（）A． B． C．10 D．【答案】C【详解】解：因为，所以有，即数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以.故选：C.4．（北京牛栏山一中）已知数列中，，，则等于（）A．-12 B．12 C．-16 D．16【答案】A【详解】解：数列中，，，即，所以数列为等差数列，公差为，所以，所以．故选：A．5．（庆阳第六中学高一期末）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【详解】由，得.又，所以.故选：B题型二：等差中项1．（全国高二单元测试）在等差数列中，，则（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，

则，所以.

故选：B.2．（北京房山·）8，2的等差中项是（）A．±5 B．±4 C．5 D．4【答案】C【详解】8，2的等差中项为.故选：C3．（全国）等差数列，，，…的第四项等于()A．10 B．6 C．8 D．12【答案】C【详解】解：由题意可得,(1＋x)＋(5x＋1)＝2(2x＋2)解得x＝1∴这个数列为2，4，6，8，…故选C.4．（江西省铜鼓中学（文））已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【详解】设等差数列的公差为d.由已知条件，得，即，解得.故选B.题型三：等差数列性质1．（四川省资中县第二中学（理））在等差数列中，则=（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由等差数列的性质有，则.故选：D2．（西藏昌都市第一高级中学高二月考）在等差数列中，若，则（）A．20 B．24 C．27 D．29【答案】D【详解】解：，所以，又，所以，所以，故选：D3．（全国高二课时练习）设是等差数列，且，则（）A．5 B．6 C．16 D．32【答案】B【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由.故选：B.4．（贵州大学附属中学高一月考）等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260【答案】C【详解】∵为等差数列，

∴成等差数列，

即成等差数列，

，

解得.

故选：C.5．（宁德市第九中学高二月考）已知等差数列满足，是数列的前项和，则使取最大值的自然数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【详解】设等差数列的公差为d，依题意，，解得：，于是得，由得，，因此，数列是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，所以使取最大值的自然数n是5.故选：B6．（新蔡县第一高级中学高二月考（文））已知等差数列，的前项和分别为，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】，故选：A.7．（江西九江一中高一期末）已知两个等差数到和的前项和分别为和，且，则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】依题意.故选：D8．（江西省莲花中学高一月考）是等差数列的前项和，且．则时，的最大值为（）A．197 B．198 C．199 D．200【答案】B【详解】解：因为，即，，所以，所以数列的公差，所以，，故时，的最大值为198；故选：B9．（青铜峡市高级中学高一期中）若等差数列满足，，当则当前项和取得最大值时的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】由题意，等差数列满足，，根据等差数列的性质，可得，即，又由，可得，所以当前项和取得最大值时的值是.故选：B.10．（安徽（文））在等差数列中，已知，，则使数列的前项和成立时n的最小值为（）A．6 B．7 C．9 D．10【答案】D【详解】，，，，，，,使数列的前n项和成立时n的最小值为10，故选：D.11．（赛罕·内蒙古师大附中）等差数列中，，，则数列各项中取值为正数的有（）A．8项或9项 B．7项或8项 C．17项或18项 D．16项或17项【答案】A【详解】若，则，得，而，所以，即，所以；若，得，而，所以，即，所以；若，则，得.所以数列各项中取值为正数的有8项或9项，故选：A.题型四：等差数列前项和1．（全国高二课时练习）在等差数列中，若，则的值是（）A．12 B．24C．36 D．48【答案】B【详解】由S10=，得a1+a10=，故选：B2．（全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）A． B． C．2 D．3【答案】B【详解】设公差不为0的等差数列满足，则，整理可得．则．故选：B．3．（全国高二专题练习）已知为等差数列且，，为其前项的和，则（）A．176 B．182 C．188 D．192【答案】D【详解】，，，，故选：D.4．（全国高二课时练习）已知等差数列满足：，，的前项和为．求及；【答案】（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)；（2）．【详解】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2．∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．5．（广西南宁·高一月考）记为等差数列的前项和，已知，.求公差及的通项公式；【答案】（1），；【详解】（1）设的公差为，由题意得.由得.所以的通项公式为.6．（全国高二课时练习）已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为等差数列中，首项为，公差为，所以其通项公式为；（2）由（1）可得，数列的前项和.7．（全国高二单元测试）已知是等差数列，其中，公差，（1）求的通项公式.（2）求数列前项和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）是等差数列，且，，；（2）.题型五：等差数列前项和最大（小）问题1．（全国高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则使的最小正整数的值是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【详解】设等差数列{an}的公差为d，由S11-S8=3，得a11+a10+a9=3，即3a10=3，解得a10=1，于是得a1+9d=1，而a11-a8=3d=3，即d=1，则有a1=-8，从而得等差数列{an}的通项公式为：an=-9+n，由-9+n>0得n>9，而n是正整数，则，所以使an>0的最小正整数n的值是10.故选：C2．（贵州贵阳一中高三月考（文））已知等差数列的前项和为，且有，，则的最小值为（）A．-40 B．-39 C．-38 D．-14【答案】A【详解】因为，，所以，，所以，由得，所以前项和最小，.故选：A3．（双峰县第一中学高三开学考试）已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【详解】当时，，可得最大，.故选：B4．（河南高二月考（文））在等差数列中，.（1）求的通项公式;（2）求的前项和及的最小值.【答案】（1）；（2），-36.【详解】（1）设的公差为，根据题意得解得，所以.（2）根据等差数列的前项和公式得则当时，取得最小值.5．（全国）设等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的自然数的值.【答案】（1）an=11-2n，n∈N*；（2）Sn=-（n-5）2+25，n=5.【详解】解（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9，得解得所以数列{an}的通项公式为an=11-2n，n∈N*.（2）由（1