2025年机械振动课题简支梁振动特性深度解析与应用研究

专业：航空宇航推进理论与工程12月简支梁的振动特性分析题目：针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及持续体模型，计算其固有频率、固有振型。单、双、三自由度模型规定雅可比法、子空间迭代法求解基频；持续体规定推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。一、单自由度简支梁的振动特性因此质量为m的简支梁，等效到中间位置的所有质量为：故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：mk图1简支梁的单自由度模型二、双自由度简支梁的振动特性如图2,将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等，因此只规定出在1/3处的等效质量即可。在1/6至1/2之间积分，运用最大动能进行质量等效，略去小量得：因此，质量矩阵为：双自由度简支梁的柔度矩阵：在b=21/3处作用单位力，挠曲线方程为：因此，柔度矩阵为：动力矩阵：令特性行列式为零，得到频率方程为：将上式整顿得：其中，解上述方程的根为：其中1图2简支梁的双自由度模型22三、三自由度简支梁的振动特性将上式整顿得：其中图3简支梁的三自由度模型将简支梁简化为十自由度模型(如图4)。图4简支梁的十自由度模型通过在一点施加单位力，计算其他点的挠度，可得柔度矩阵：表1十自由度挠度变形矩阵y十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型，每个质量都近似等于因此，质量矩阵为：动力矩阵为：下面，用如下几种措施计算十自由度简支梁的固有频率与振型。运用邓克莱法求基频(比精确值小):因此，将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以,可求得：(1)瑞利第一商柔度矩阵求逆得刚度矩阵：,其中，三矩阵见表2。假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形，可以表达为：A=x[1.9332.7333.3313.6633.6633.3312.7331因此，可以假设振型：A=[11.9332.7333.3313.6633.6633.3312.7331.(2)瑞利第二商3、李兹法y₂=[-1-1.8-2.5-1-0.20.212.51因此系统的前三阶主振型的近似为：A²)=vA³2)≈-1.39×(11.891.820.53-0.37-1.05-1.04-0.97-0.13-0.12)A³=vA³)≈-0.28×(12.40-2.02-2.11-3.57-5.79-1.197.819.484.93)4、矩阵迭代法单位力作用在简支梁中间位置得到各点的挠度变形，将首项化一，得：μ=k[11.9332.7333.3313.6633.6633其中，A,=[11.9332.7333.3313.6633.6633.3312.7331.运用矩阵迭代求第一阶固有频率和主振型：=0.0633mδ×[11.92092.68553.23333.51753.51753.23332.68551A=[11.92092.68553.23333.51753.51753.23332.68551.92=0.0616mδ×[11.92062.68463.23183.51553.51553.23182.68461.92061A=[11.92062.68463.23183.51553.51553.23182.68461.92=0.0616mδ×[11.92072.68473.23183.51553.51553.23182.68471.92071]A₃=[11.92072.68473.23183.5155A与A基本相等，因此可以认为系统的第一阶主振型为：A①=[11.92072.68473.23183.51553.51553.23182.68471.92071]第一阶固有频率为：根据雅可比法原理，依次找出上三角非对角线上(考虑对称性)的最大元素，运用公式得到θ值，代入旋转矩阵，可得：00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000由此得到系统的固有频率：对应各特性值的特性向量即为振型，即R的列向量为各阶振型。6、子空间迭代法由动力矩阵迭代得到：将各列分别归一化得：求得M;和；分别为：再由李兹法得特性值问题为：a₁=0.00147,a₂=0.0236,a₃=0.1yAi=各列分别归一化后，得：1111反复上述过程进行第二次迭代。由：0.36990.62250.62250.36990.1926-0.002-0.007-0.0070.00080.00250.0022-0.0422-0.0120.01210.04220.0388归一化后得：11 -0.653850.9615380.576923-0.384620.32950.41680.00240.00830.000600.17580.02290.00090.00041.91860.0023a₁=0.00147,a₂=0.0236,a₃=0.对应的主振型为：0.5457各列分别归一化后，得： -0.5197-0.96410.5368740.70850.43450.99070.3556-0.25114111ym=0.62250.6225110.28444800-0.0020.988372 -0.23256-0.81395-0.81395-0.2209310 -0.00260.0013 0.0009 -0.653850.9615380.576923-0.38462-0.92308-0.269230.8461541 0 0.0424 0.0121