高考数学二轮总复习专题能力训练21随机变量及其分布理

专题能力训练21随机变量及其分布能力突破训练1.(2022湖南衡阳二模)某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加,甲、乙、丙、丁4名学生每人限参加其中一项.在甲参加的项目其他3人不参加的情况下,这4名学生所参加的项目各不相同的概率为()A.118 B.332 C.292.在某公司的两次投标工作中,每次中标可以获利14万元,没有中标损失成本费8000元.若每次中标的概率为0.7,每次投标相互独立,设公司这两次投标盈利为X万元,则E(X)=()A.18.12 B.18.22C.19.12 D.19.223.分别统计了甲、乙两名同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.64.(2022山东德州二模)设随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X<2a)=0.3,则P(2a<X<a)=()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.65.(2022河北石家庄模拟)已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球,现从中有放回地摸球8次,每次摸出1个球,每次摸球的结果互不影响,规定每次摸出红球计3分,摸出白球计0分,设摸球8次后的总分值为X,则D(X)=()A.8 B.169 C.163 D6.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y=|X2|,则P(Y=2)=.

7.袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,取到黑球记1分,记4次取球的总分数为X,有下列结论:①X~B4,23;②P(X=2)=881;③X的数学期望E(X)=83;④X的方差D(其中正确的结论为.(填序号)

8.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为(1)求x,(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果y-x≥2s129.为了解企业职工对工会工作满意度情况,某企业工会按性别采用分层抽样的方法,从企业全体职工中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的职工分别对工会工作进行评分,满分为100分,调查结果显示:最低分为40分,最高分为90分.随后,企业工会将男、女职工的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图,图表如下:男职工评分结果的

频数分布表

分数区间频数[40,50)3[50,60)3[60,70)16[70,80)38[80,90]20女职工评分结果的

频率分布直方图

为了便于研究,工会将职工对工会工作的评分转换成了“满意度情况”,二者的对应关系如下:分数[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意(1)求m的值;(2)为进一步改善工会工作,让职工满意,从评分在区间[40,60)上的男职工中随机抽取2人进行座谈,记这2人中对工会工作满意度“一般”的人数为X,求X的分布列与数学期望;(3)以调查结果的频率估计概率,从该企业所有职工中随机抽取一名职工,求其对工会工作“比较满意”的概率.10.(2022广西百色模拟)2022年2月4日至20日,第24届冬季奥林匹克运动会成功举办,某学校随机调查了部分学生,统计他们观看开幕式的时长(单位:min)情况,样本数据按照[40,50),[50,60),…,[90,100]进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计该校学生观看开幕式的时长的平均数(每组数据以该组区间的中点值为代表);(2)由频率分布直方图可知该校学生观看开幕式的时长X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ取10.8,求从该校所有学生中随机选取1人,该学生观看开幕式的时长位于区间(56.8,89.2)内的概率;(3)从该校所有学生中随机选取3人,记观看开幕式的时长不少于80min的人数为Y,用样本中各区间的频率代替每名学生观看开幕式的时长位于相应区间的概率,求Y的分布列和数学期望.附:若X~N(μ,σ2),则P(μσ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545.11.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.思维提升训练12.已知两个游戏盘如图所示(图①是半径为2和4的两个同心圆,O为圆心;图②是正六边形,点P为其中心),游戏盘中各有一个玻璃小球,依次摇动两个游戏盘后,将它们水平放置,就完成了一局游戏,则一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分的概率是()A.116 B.18 C.1613.(2022全国乙,理10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大14.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到下面的图形:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列.(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值.(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?15.某中学为宣传未成年人保护法,特举行一次未成年人保护法知识竞赛,比赛规则是:两人一组,每一轮竞赛中,小组两人分别答两题,若答对题数不少于3题,被称为“优秀小组”,已知甲、乙两位同学组成一组,且同学甲和同学乙答对每道题的概率分别为p1,p2.(1)若p1=34,p2=23,求他们在第一轮竞赛中获“优秀小组(2)当p1+p2=65,且每轮比赛互不影响,如果甲、乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”16.某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

专题能力训练21随机变量及其分布能力突破训练1.C解析设事件A为“甲参加的项目其他3人不参加”,事件B为“这4名学生所参加的项目各不相同”,由题意可知n(A)=4×3×3×3=108,n(AB)=4×3×2×1=24,所以P(B|A)=n2.C解析依题意,X的可能取值为28,13.2,1.6,则P(X=28)=0.72=0.49,P(X=13.2)=2×0.7×0.3=0.42,P(X=1.6)=0.32=0.09,故E(X)=28×0.49+13.2×0.421.6×0.09=19.12.3.C解析由茎叶图可得甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52甲同学有6周的周课外体育运动时长大于8,由频率估计概率,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为616<0.4,故C错误观察乙同学16周的各周课外体育运动时长数据,可知乙同学只有3周的周课外体育运动时长小于8,又6.3+10.12>8,7所以乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8,故B正确.乙同学有13周的周课外体育运动时长大于8,由频率估计概率,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为1316>0.6,故D正确4.C解析因为X~N(1,σ2),所以P(X<1)=0.5.又P(X<2a)=0.3,所以P(2a<X<1)=0.2.又2-a+a2=1,所以P(2a<X<a)=2P(2a<X<1)5.D解析因为袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球,所以从袋子中随机摸出1个球,该球为红球的概率为412=13.设有放回地摸球8次,摸到红球的个数为Y,则Y~B8,13,所以D(Y)=8×13由题意可知X=3Y,所以D(X)=9D(Y)=9×169=6.0.5解析由分布列的性质,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,则m=0.3.由Y=2,即|X2|=2,得X=4或X=0,故P(Y=2)=P(X=4或X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.7.①③④解析从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到黑球的概率相等,又取到黑球记1分,取到白球记0分,所以取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,所以随机变量X服从二项分布,即X~B4,23P(X=2)=C422因为X~B4,所以X的数学期望E(X)=4×23=因为X~B4,23,所以X的方差D(X)=4×28.解(1)由题中数据可得,x=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9y=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)s12=110×[(9.810)2+(10.310)2+(10.010)2+(10.210)2+(9.910)2+(9.810)2+(10.010)2+(10.110)2+(10.210)2+(9.710)s22=110×[(10.110.3)2+(10.410.3)2+(10.110.3)2+(10.010.3)2+(10.110.3)2+(10.310.3)2+(10.610.3)2+(10.510.3)2+(10.410.3)2+(10.510.3)2(2)因为y-x=10.310=02s12+s2210=2所以y-x>2故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.9.解(1)因为(0.005+m+0.020+0.040+0.020)×10=1,所以m=0.015.(2)依题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2.则P(X=0)=C30C32C62=15,P(所以随机变量X的分布列为X012P131故X的数学期望E(X)=0×15+1×35+2(3)设事件M={随机抽取一名职工,对工会工作“比较满意”}.因为样本人数为200,其中男职工有80人,所以样本中女职工有120人.由题中频率分布直方图可知,女职工对工会工作“比较满意”的人数为120×0.020×10=24.由题中频数分布表,可知男职工对工会工作“比较满意”的有16人,所以随机抽取一名职工,对工会工作“比较满意”的概率P(M)=24+1610.解(1)由已知得10×(45×0.001+55×0.002+65×0.017+75×0.04+85×0.022+95×0.018)=78.4(min).故估计该校学生观看开幕式的时长的平均数为78.4min.(2)因为μ≈78.4,σ=10.8,所以P(56.8<X<89.2)=P(78.42×10.8<X<78.4+10.8)=12[P(78.410.8<X<78.4+10.8)+P(78.42×10.8<X<78.4+2×10.8)]≈12×(0.6827+0.9545)所以从该校所有学生中随机选取1人,该学生观看开幕式的时长位于区间(56.8,89.2)内的概率约为0.8186.(3)依题意,从该校所有学生中随机选取1人,其观看开幕式的时长不少于80min的概率为(0.022+0.018)×10=0.4,则Y~B(3,0.4),所以P(Y=0)=C30×0.63=0.216,P(Y=1)=C31×0.4×0.P(Y=2)=C32×0.42×0.6=0.288,P(Y=3)=C33×0.4所以Y的分布列为Y0123P0.2160.4320.2880.064所以E(Y)=3×0.4=1.2.11.解(1)甲连胜四场的概率为1(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场,其概率为116乙连胜四场,其概率为116丙上场后连胜三场,其概率为1所以需要进行第五场比赛的概率为11(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为1因此丙最终获胜的概率为1思维提升训练12.A解析一局游戏后,这两个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件A1,A2,由题意知,A1,A2相互独立,且P(A1)=14π(42-22)42π=316,P(A2)=13,所以“一局游戏后,这两个盘中的小球都停在阴影部分”的概率为P(A13.D解析当该棋手在第二盘与甲比赛时,p=2[p1p2(1p3)+p1p3(1p2)]=2p1p2+2p1p34p1p2p3;当该棋手在第二盘与乙比赛时,p=2[p2p1(1p3)+p2p3(1p1)]=2p1p2+2p2p34p1p2p3;当该棋手在第二盘与丙比赛时,p=2[p3p1(1p2)+p3p2(1p1)]=2p1p3+2p2p34p1p2p3.由p3>p2>p1>0,可知该棋手在第二盘与丙比赛,p最大.14.解(1)由题图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.由题意知,X所有可能的取值为16,17,18,19,20,21,22.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.当n=20时,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+