2024-2025学年广东省韶关市高三（上）质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省韶关市高三（上）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足zi=1+i，则z⋅z−=A.1 B.2 C.2 D.2.已知数列{an}是等比数列，若a1=12，a4A.6364 B.3132 C.15163.已知向量a=(1,0)，b=(1,1)，向量a+λb与a垂直，则实数λA.−2 B.2 C.−1 D.−34.众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据(单位：t)，得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为p，中位数为m，平均数为x−，则(

)A.m<p<x− B.p<x−<m 5.已知函数f(x)=x2−2ax−1,x<12x−6xA.(−∞,2] B.[1,2] C.(1,+∞) D.[2,+∞)6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图.A，B是相邻的最低点和最高点，直线AB的方程为y=2x+43，则函数f(x)的解析式为(

)A.f(x)=2sin(12x+π3)

B.f(x)=2sin(7.已知tanα，tanβ为方程x2+6x−2=0的两个实数根，则cos(α−β)A.−12 B.52 C.18.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，FA.(62,+∞) B.(1,6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知某批产品的质量指标ξ服从正态分布N(25,σ2)，且P(ξ≥26)=0.2，现从该批产品中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ位于区间(24,26)的产品件数，则A.E(ξ)=25 B.P(24<ξ<26)=0.3

C.P(X=0)=0.064 D.D(X)=0.2410.已知圆锥的顶点为P，AB为底面圆O的直径，∠APB=120°，PA=2，点C在圆O上，点G为AC的中点，PG与底面所成的角为60°，则(

)A.该圆锥的侧面积为3π

B.该圆锥的体积为π

C.AC=411.若f′(x)为函数f(x)的导函数，对任意的x，y∈R，恒有2f(x)f(y)−f(x+y)=f(x−y)，且f(0)≠0，则(

)A.f(0)=1 B.f(x2)+f(0)≥0

C.f′(x)为偶函数 D.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={−2,0,2,a}，B={x||x−1|≤3}，A∩B=A.写出满足条件的整数a的一个值______．13.已知log4a+2loga2=2，则14.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测试；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为23，则小明通过测试的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC+ccosB=2acosA．

(1)求A；

(2)若a=2，求△ABC周长的最大值．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点．

(1)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(2)求平面PBE与平面PAB夹角的余弦值．17.(本小题15分)

已知抛物线x2=8y的焦点为F，其准线与y轴相交于点M.动点P满足直线PF，PM的斜率之积为−12，记点P的轨迹为Γ．

(1)求Γ的方程；

(2)过点A(0,1)且斜率为k的直线l与x轴相交于点B，与Γ相交于C，D两点，若BC=18.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x−1)ex−ax2−1，a∈R．

(1)当a=0时，求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)设g(x)=lnx−19.(本小题17分)

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=2．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)在a1和a2之间插入1个数x11，使a1，x11，a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21，x22，使a2，x21，x22，a3成等差数列；依次类推，在an和an+1之间插入n个数xn1，xn2，…，xnn，使an，xn1，参考答案1.C

2.A

3.C

4.D

5.B

6.C

7.C

8.D

9.AC

10.BCD

11.ABD

12.−1，1，3，4中的任何一个值

13.4

14.162115.解：(1)因为bcosC+ccosB=2acosA，

由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，

即sin(B+C)=2sinAcosA，

在三角形中，可得sinA=2sinAcosA，

因为0<A<π，所以sinA≠0，所以cosA=12，

所以A=π3；

(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，

有4=b2+c2−bc=(b+c)16.(1)证明：由PA=PD=2,AD=2，

可得PA2+PD2=DA2，所以DP⊥AP，

因为ABCD为正方形，故AB⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥∩平面ABCD=AD，

AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PDA，

又DP⊂平面PDA，所以DP⊥AB，

又AB∩DA=A，AB⊂平面PAB，DA⊂平面PAB，

故DP⊥平面PAB，又DP⊂平面PCD，

所以平面PAB⊥平面PCD；

(2)解：取BC中点为G.由(1)知，PE⊥DA，PE⊥EG，DA⊥EG，

建立如图所示空间直角坐标系，

则D(0,1,0)，P(0,0,1)，B(2,−1,0)，E(0,0,0)，G(2,0,0)，

所以GB=(0,−1,0),BP=(−2,1,1)，EB=(2,−1,0),EP=(0,0,1)，

由(1)可知，DP⊥平面PAB，

则平面PAB的法向量为PD=(0,1,−1)，

设平面PBE的一个法向量为m=(a,b,c)，

则由m⋅EB=0m⋅EP=017.解：(1)设点P(x,y)，x≠0，

由题意知F(0,2)，M(0,−2)，

直线PF，PM的斜率分别为kPF=y−2x,kPM=y+2x，

所以y−2x⋅y+2x=−12，

化简得x28+y24=1

点P的轨迹方程为x28+y24=1(x≠0)．

(2)设C(x1,y1)，D(x2,y2)，

由题意知直线l的方程为y=kx+1(k≠0)18.解：(1)当a=0时，f(x)=(x−1)ex−1，函数定义域为R，

可得f′(x)=xex，

此时f′(1)=e，

又f(1)=−1，

所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y−(−1)=e(x−1)，

即y=ex−e−1；

(2)易知f′(x)=xex−2ax=x(ex−2a)，

当a≤0时，ex−2a>0恒成立，

当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当a>0时，

令f′(x)=0，

解得x=0或x=ln(2a)，

当ln(2a)<0，即0<a<12时，

当x<ln(2a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当ln(2a)<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当ln(2a)=0，即a=12时，f′(x)≥0恒成立，

所以f(x)在R上单调递增；

当ln(2a)>0，即a>12时，

当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当0<x<ln(2a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>ln(2a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

综上所述，当a≤0时，f(x)在(−∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；

当0<a<12时，f(x)在(−∞,ln(2a))上递增，在(ln(2a),0)上递减，在(0,+∞)上递增；

当a=12时，f(x)在R上递增；

当a>12时，f(x)在(−∞,0)上递增，在(0,ln(2a))上递减，在(ln(2a),+∞)上递增；

(3)若f(x)≥g(x)，

此时xex−lnx−x+x2−1≥ax2恒成立

因为x>0，

所以a≤xex−lnx−x−1+x2x2恒成立．

设ℎ(x)=xex−lnx−x−1+x2x2,x>0，

即a≤ℎ(x)min，

因为xex=e19.解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=2，

当n≥2时，Sn−1+an−1=2，又Sn+an=2，

上面两式相减可得Sn−Sn−1+an−an−1=0，

而an=Sn−Sn−1，n≥2，

可得an=12an−1，

当n=1时，S1+a1=2得a1=1，

所以{an}是以1为首项，12为公比的等比数列．

所以an=12n−