2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=4x2的焦点坐标是(

)A.(1,0) B.(0,1) C.116,0 2.已知双曲线的方程为x24−yA.y=±22x B.y=±23.已知椭圆方程为：3x2+4yA.4 B.2 C.23 4.高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是(

)A.100名学生是个体 B.样本容量是100

C.每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D.1000名学生是样本5.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间(小时)7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是(

)A.8，8.5 B.8，8 C.9，8 D.8，96.已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为(

)A.245 B.165 C.1457.已知直线l1:a2x+y+1=0与直线l2:x−3ay+7=0，则“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知圆C1：x2+y2+4x−4y+7=0与圆CA.1 B.2 C.3 D.49.如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，E,F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E,F的平面分别与棱BB′、DD′交于M,N，设BM=x，x∈(0,1)，给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积S=f(x),x∈(0,1)，则f(x)有最小值；③若四棱锥A−MENF的体积V=p(x)，x∈(0,1)，则p(x)常函数；④若多面体ABCD−MENF的体积V=ℎ(x)，x∈(12,1)其中假命题为(

)A.① B.② C.③ D.④10.已知曲线C:x2+y2A.曲线C的图象不关于原点对称

B.曲线C经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)

C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3

D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为−∞,−1二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.若点A(−4,−2)，B(−2,2)，则以AB为直径的圆C的方程是

．12.已知双曲线x2a2−y2b13.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为DB，A1C114.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC15.若点M在直线l：y=−x−1上，则点M到点A2,1，B3,4的距离之和的最小值为

．16.已知曲线C的方程x225+①曲线C是以点(−4,0)和(4,0)为焦点的椭圆的一部分；②曲线C关于x轴、y轴、坐标原点O对称；③若点P(x,y)在曲线C上，则|x|<5，|y|<3；④曲线C围成的图形的面积是30．其中，所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)已知a，b，c分别为▵ABC的三个内角A，B，C的对边，且b2(1)求角A；(2)若a=23，b+c=4,求▵ABC18.(本小题12分)为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：60,65,65,70，70,75,

(1)求a的值；(2)求这100户居民问卷评分的中位数；(3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在65,70和70,75内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在65,70内的概率．19.(本小题12分)已知圆C:x2+y2(1)求圆C的圆心坐标及半径长；(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；(3)设直线l与圆C相切于点B，求AB．20.(本小题12分)如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD的中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD;(2)求PC与平面ACE所成角的正弦值;(3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为255？若存在，确定点F的位置21.(本小题12分)在平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，直线l(1)求椭圆C的标准方程；(2)设平行于直线l1的直线l交椭圆C于E，F两点，且OE⋅OF(3)直线l2：y=kx与椭圆C相交于M、N两点，点P为椭圆C上不同于M、N的一动点，直线MP的斜率记作kMP，直线NP的斜率记作kNP，当kMP与kNP存在时，求证：22.(本小题12分)已知集合Sn={X|X=(x1,x2,⋯,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋯,n}(n≥2)对于A=(a(1)当n=5时，设A=(0,1,0,0,1)，B=(1,1,1,0,0)，求A−B，d(A,B)；(2)证明：∀A,B,C∈Sn，有A−B∈S(3)证明：∀A,B,C∈Sn，d(A,B)，d(A,C)，d(B,C)三个数中至少有一个是偶数．参考答案1.D

2.A

3.A

4.B

5.A

6.D

7.A

8.C

9.D

10.C

11.x+3212.513.2314.615.7416.②④

17.(1)由余弦定理a2所以cosA=−12，又0<A<π(2)因为(b+c)2=因为A=2π3，由已知得a2=b所以S▵ABC

18.解：(1)由频率分布直方图可得，

(0.01+2a+0.04+0.05+0.06)×5=1

，

解得a=0.02；(2)由频率分布直方图可得，(0.01+0.02+0.04)×5=0.35<0.5，(0.01+0.02+0.04+0.06)×5=0.65>0.5，则中位数在[75,80)

之间，设为x，则(x−75)×0.06+0.35=0.5，解得x=77.5，故中位数为77.5分；(3)

评分在[65,70),[70,75)对应的频率为0.1，0.2，从评分在[65,70)

和[70,75)内的居民中共抽取6人，则评分在[65,70)

占2人，设为a,b，评分在[70,75)

占4人，A,B,C,D，从6人中选取2人的情况为：ab, aA, aB, aC, aD, bA, bB, 

bC, bD, AB, AC, AD, BC, BD, CD，共15种，其中这2人中恰有1人的评分在65,70的情况为：aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD，共8种，故这2人中恰有1人的评分在65,70内的概率为815

19.(1)圆C方程可化为：x−32+y−42=4(2)①当直线l的斜率不存在时，方程为x=1，圆心(3,4)到直线l距离为2，满足题意．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y=k(x−1)，即kx−y−k=0．由圆心3,4到直线l的距离等于半径得，3k−4−kk2此时直线l的方程为3x−4y−3=0．综上，直线l的方程为x=1或3x−4y−3=0．(3)∵圆C的圆心坐标为(3,4)，A1,0∴AC如图，由相切得，AB⊥BC，BC=2∴AB

20.(1)因为四边形ABCD为正方形，则BC⊥AB，CD⊥AD，因为PB⊥BC，BC⊥AB，PB∩AB=B，且两直线在平面内，∴BC⊥平面PAB，∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC，因为PD⊥CD，CD⊥AD，PD∩AD=D，且两直线在平面内∴CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥CD，∵BC∩CD=C，且两直线在平面内∴PA⊥平面ABCD．(2)因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，不妨以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0、C2,2,0、P0,0,2设平面ACE的法向量为m=x,y,z，则AC=2,2,0，由m⋅AC=2x+2y=0m⋅AE=y+z=0cos<所以，PC与平面ACE所成角的正弦值为1(3)设点F2,t,0,0≤t≤2，设平面PAFAF=2,t,0，由n⋅AF=2a+tb=0m⋅AP=2c=0所以，点E到平面PAF的距离为d=AE∵t>0，∴t=1．因此，当点F为线段BC的中点时，点E到平面PAF的距离为2

21.1)设Ax0,x0所以45a2+45b所以椭圆的标准方程为x2(2)设直线l:y=x+m，联立y=x+mx24设Ex1,Δ=64m2−20其中x1+x因为OE⋅OF=0即x1即8m2−8所以直线l的方程y=x±2(3)联立y=kxx24设Mx1,y1，y1y2设PxkPM=1−

22.(1)由题意可知A−B=(|0−1|,|1−1|,|0−1|,|0−0|,|1−0|)=1,0,1,0,1d(A,B)=i=1(2)证明：设A=(a1,由题意知ai,b从而A−B=(|a由题意可知ai当ci=0时，当ci=1时，所以d(A−C,B−C)=i=1(3)证明：设A=(a1,记d(A,B)=k，d(A,C)=l，d