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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年江西省“上进稳派”高二上学期第二次学情检测数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课,要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课,其中小明不选篮球和足球,则不同的选课方法共有(
)A.36种 B.60种 C.75种 D.85种2.已知向量a=(1,−2,1),b=(3,λ,μ),若a//b,则A.−18 B.18 C.−29 3.已知焦点在x轴上的椭圆C1与椭圆C2:x29+y24A.x23+y22=1 B.4.已知圆C1:x2+y2−4x−6y=0,圆CA.1 B.2 C.3 D.45.已知四面体ABCD如图所示,其中点E为△ACD的重心,则CE=(
)
A.13BA+13BC−236.已知双曲线C:x23−y2=1的右焦点为F2,点P在CA.4−23 B.17−237.已知−3≤t≤2,点P(t−2,2t+3),点Q(3+2cosθ,−1+2sinθ),则|PQ|A.217−2 B.14558.将1,2,3,4,5,6,7,8填入如图所示的方格中,每个方格填写1个数字,则仅有两列数字之和为9的填法有(
)A.576种 B.1152种 C.2304种 D.4608种二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知a=(2,−2,1),b=(−1,1,0)分别为直线l,m的方向向量,n=(3,2,−2)为平面α的法向量,则A.|a|=3 B.b⋅n<0
C.l⊥α D.直线10.如图,“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现,则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是(
)
A.C1007+C1008=C1017
B.第8行所有数字之和为256
C.C4311.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线l与C交于不同的两点M(x1,A.y1y2=−16
B.若|MN|=24,则直线l的斜率为±33
C.若△OMN的面积为16,则直线l的倾斜角为30∘或150∘
D.若线段MN的中点为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.若(4−7x)5=a0+13.已知A,B,C,D四点共面,且任意三点不共线,O为平面ABCD外任意一点,若OA=15OB+214.已知直线l:x−ky−32=0,圆C:x2+y2−2x+4y=0,若直线l与圆C交于M四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知点A(−1,3),B(5,−5),C(−2,2).(1)求线段AC的垂直平分线的方程;(2)已知圆M过点A,B,C,求圆M的方程.16.(本小题12分)完成下列问题:(1)求(2x2(2)求(2x217.(本小题12分)已知双曲线C′过点(2,33)且与双曲线C:x22−y2(1)求双曲线C′的方程;(2)若MP=12MN,且P(1,4)18.(本小题12分)
如图,在三棱锥S−ABC中,SA=AB=12BC=2,∠ABC=60∘,∠SBA=45∘,二面角S−AB−C为直二面角,M为线段SC的中点,点N在线段BC上(1)若MN//平面SAB,求BNCN的值(2)若AM⊥SN,求BNCN的值(3)若平面AMN与平面CMN所成锐二面角的余弦值为57,求BNCN19.(本小题12分)法国数学家加斯帕尔⋅蒙日是18世纪著名的几何学家,他创立了画法几何学,推动了空间解析几何学的独立发展,奠定了空间微分几何学的宽厚基础,根据他的研究成果,我们定义:给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),则称圆心在原点O,半径为a2+b2(1)求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆C′的方程;(2)将C′向上平移6个单位长度得到曲线C″,已知D(0,−1),动点E在曲线C″上,探究:是否存在定点G(0,t)(t≠−1),使得|EG||ED|为定值,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由(3)已知不过点A的直线l:y=12x+m与椭圆C交于M,N两点,点P(0,yP),Q(0,yQ)参考答案1.C
2.A
3.C
4.B
5.D
6.D
7.B
8.D
9.ABD
10.BC
11.ACD
12.−243
13.4514.[15.解:(1)依题意,线段AC的中点为(−32,52),
直线AC的斜率k=2−3−2−(−1)=1,
故线段AC的垂直平分线方程为y−52=−(x+32),即x+y−1=0.
(2)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E16.解:(1)(2x2−13x)7展开式的通项为Tn+1=C7r⋅(2x2)7−r⋅(−13x)r=C7r(−1)r17.解:(1)依题意,设双曲线C′的方程为x22−y218=λ(λ≠0),
将(2,33)代入可得,42−2718=12=λ,
故双曲线C′的方程为x2−y29=1.
(2)设M(x1,y1),N(x18.解:(1)因为MN//平面SAB,MN⊂平面SBC,平面SBC∩平面SAB=SB,
所以MN//SB,
则BNCN=SMCM=1.
(2)因为二面角S−AB−C为直二面角,
故平面SAB⊥平面ACB.
由SA=AB,∠SBA=45∘,故∠SAB=90∘,即SA⊥AB.
而平面SAB∩平面ACB=AB,SA⊂平面SAB,
故SA⊥平面ACB.
因为AB,AC⊂平面ACB,
所以SA⊥AB,SA⊥AC.
由AB=12BC=2,∠ABC=60∘,及余弦定理得,AC=23,
故AB⊥AC,则AS,AB,AC两两垂直.
以A为坐标原点,AB,AC,AS所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),M(0,3,1),S(0,0,2),设N(t,23−3t,0)(0<t<2),
则AM=(0,3,1),SN=(t,23−3t,−2),
由AM⊥SN,故AM⋅SN=6−3t−2=0,解得t=43,
则BNCN=12.
(3)由(2)可知AM=(0,3,1),AN=(t,23−3t,0),
设m=(x1,y1,z1)为平面AMN的法向量,
则m⋅AM=0,m⋅AN=0,即19.(1)解:设焦点F1的坐标为(−c,0),依题意,1a2+94b2=1,a2=b2+c2,(1+c)2+94=254,
解得a2=4,b2=3,故C的方程为x24+y23=1,
则C的伴随圆C′的方程为x2+y2=7.
(2)解
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