几种特殊类型函数的积分

章二、三角函数有理式的积分三、简单无理式的积分一、有理函数的积分节

机动目录上页下页返回结束几种特殊类型函数的积分2021/6/271定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数.一、有理函数的积分即称此有理函数是真分式；称此有理函数是假分式；机动目录上页下页返回结束2021/6/272利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。例多项式的不定积分是容易求的，因此，下面我们只讨论真分式的不定积分。说明：机动目录上页下页返回结束2021/6/273机动目录上页下页返回结束2021/6/274（1）分母中若有因式，则分解后含有下列项:则分解后含有下列项：（2）分母中若有因式,其中具体步骤如下：机动目录上页下页返回结束2021/6/275四种典型部分分式的积分:

变分子为再分项积分机动目录上页下页返回结束2021/6/276整理得例1

求积分

解机动目录上页下页返回结束2021/6/277机动目录上页下页返回结束2021/6/278代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2：求积分

解:机动目录上页下页返回结束2021/6/279机动目录上页下页返回结束2021/6/2710解1:机动目录上页下页返回结束解得：2021/6/2711机动目录上页下页返回结束2021/6/2712解2:机动目录上页下页返回结束2021/6/2713机动目录上页下页返回结束解:

说明:

将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.2021/6/2714解:

原式例5：求积分

机动目录上页下页返回结束2021/6/2715解:

原式注意本题技巧按常规方法较繁例6：求积分

机动目录上页下页返回结束2021/6/2716三角函数的有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．一般记为二、三角函数有理式的积分（万能置换公式）机动目录上页下页返回结束2021/6/2717机动目录上页下页返回结束万能置换公式2021/6/2718例7：求积分解：由万能置换公式机动目录上页下页返回结束令2021/6/2719机动目录上页下页返回结束2021/6/2720例8：求积分解1：机动目录上页下页返回结束用万能公式较繁2021/6/2721机动目录上页下页返回结束2021/6/2722例8：求积分解2：机动目录上页下页返回结束同解12021/6/2723机动目录上页下页返回结束说明：一般来说，用万能置换的计算量会比较大，故在计算三角函数有理式的积分时，通常先考虑其它方法，不得已再用万能置换。2021/6/2724三角函数有理式的主要积分类型及代换机动目录上页下页返回结束2021/6/2725解1:机动目录上页下页返回结束例9：求积分2021/6/2726机动目录上页下页返回结束2021/6/2727解2：机动目录上页下页返回结束（同解法1）例9：求积分2021/6/2728解3：机动目录上页下页返回结束例9：求积分2021/6/2729例10：求解：令机动目录上页下页返回结束三、简单无理函数的积分2021/6/2730解：令则原式例11：求积分机动目录上页下页返回结束2021/6/2731例12：求积分解：令机动目录上页下页返回结束2021/6/2732例13：求积分解：令机动目录上页下页返回结束2021/6/2733简单无理函数积分小结机动目录上页下页返回结束1、当被积函数含有根式，且根式中含有三角函数、指数函数、对数函数时，可先令整个根式为t，去掉根式后再作。2021/6/2734机动目录上页下页返回结束解1:例14：求积分2021/6/2735机动目录上页下页返回结束解2：例14：求积分2021/6/2736故机动目录上页下页返回结束2021/6/2737四、内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,机动目录上页下页返回结束2021/6/2738作业习题4-4(P280)2(双)；3(双)；4(双)；机动目录上页下页返回结束2021/6/2739机动目录上页下页返回结束解:

备用题2021/6/27402、求积分

解:机动目录上页下页返回结束2021/6/27413、求积分解1机动目录上页下页返回结束2021/6/2742解2修改万能置换公式,令机动目录上页下页返回结束3、求积分2021/6/2743解3可以不用万能置换公式.说明：比较以上三种解法便知，万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.机动目录上页下页返回结束3、求积分2021/6/2744解:说明:

通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换4、求积分机动目录上页下页返回结束2021/6/2745解法1令原式机动目录上页下页返回结束5、求积分解法2原式2021/6/27466、求积分解1机动目录上页下页返回结束2021/6/27476、求积分解2机动目录上页下页返回结束2021/6/2748解3机动目录上页下页返回结束6、求积分2021/6/2749解1机动目录上页下页返回结束7、求积分2021/6/2750解2机动目录上页下页返回结束7、求积分2021/6/2751解3机动目录上页下页返回结束7、求积分2021/6/2752解1机动目录上页下页返回结束8、求积分2021/6/2753解2机动目录上页下页返回结束8、求积分2021/6/2754解3机动目录上页下页返回结束8、求积分2021/6/2755解机动目录上页下页返回结束9、求积分2021/6/2756解1机动目录上页下页返回结束10、求积分2021/6/2757解2机动目录上页下页返回结束10、求积分2021/6/2758解3机动目录上页下页返回结束10、求积分2021/6/2759解4：机动目录上页下页返回结束10、求积分2021/6/2760机动目录上页下页返回结束