理论力学课件-第12章

第12章达朗贝尔原理(动静法)及其应用12.1达朗贝尔原理12.2惯性力系的简化12.3刚体绕定轴转动时轴承的动约束力思考题习题

12.1达朗贝尔原理

12.1.1达朗贝尔惯性力与质点的达朗贝尔原理

在惯性参照系中，设一质点的质量为m，加速度为a，作用于质点的主动力为F，约束力为FN，如图12-1所示。由质点运动微分方程可知图12-1将上式移项改写为

令

(12-1)

则有

(12-2)式(12-1)中FI具有力的量纲，且与质点的惯性有关，称为质点的达朗贝尔惯性力，简称惯性力。显然，惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，它的方向与质点加速度的方向相反。式(12-2)可解释为作用在质点上的主动力、约束力和惯性力在形式上组成所谓的平衡力系。这就是根据达朗贝尔1743年在《动力学教程》中提出的思想，发展形成的达朗贝尔原理。

必须强调指出，惯性力是虚拟假想的力，它不是真实力；质点也并非处于静平衡状态，惯性力隐含着质点加速度的信息。达朗贝尔原理人为地引进惯性力的目的是将动力学

问题转化为静力学问题来处理，使“动”与“静”相通，它是理论认识的一个飞跃。

例12-1一圆锥摆，如图12-2所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的一端系在固定点上，并与铅垂线成θ=60°角。如小球在水平面内做匀速圆周运动，求小球的速度与绳中张力的大小。

解：以小球为研究对象，作用于小球的真实力有重力(主动力)mg与绳的拉力(约束力)FT；小球做匀速圆周运动，只有法向加速度，因而作用于小球的惯性力只有法向惯性力FnI，其大小为图12-2方向如图12-2所示。根据质点的达朗贝尔原理，这三力在形式上组成平衡的平面汇交力系，其矢量形式的平衡方程为

取上式在图示自然轴上的投影式，有解得12.1.2质点系的达朗贝尔原理

设质点系由n个质点组成，其中任一质点i的质量为mi，加速度为ai，可以把作用于此质点上的所有真实力分为主动力的合力Fi和约束力的合力FNi，对这个质点假想地加上惯性力FIi=-miai，由质点的达朗贝尔原理，有

Fi+FNi+FIi=0

(i=1,2,…,n)

(12-3)

这n个方程表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。还可以把作用于质点系第i个质点上的所有真实力分为外力的合力Fi(e)和内力的合力Fi(i),则式(12-3)可改写为

Fi(e)+Fi(i)+FIi=0

(i=1,2,…,n)

这说明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。对于该质点系，有由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，因此内力的主矢与主矩均为零,即∑Fi(i)=0和∑MO(Fi(i))=0。于是有

(12-4)

(12-5)

式(12-4)、(12-5)表明，作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。由于式(12-4)、(12-5)中不出现复杂的未知内力，因此质点系达朗贝尔原理这种表示形式应用起来更为方便。

根据质点系达朗贝尔原理建立起来的动力学方程(12-4)、(12-5)在形式上与静力学平衡方程完全相同，于是质点系动力学问题被转化为静力学问题来处理。由于静力学的分析方法简单直观，平衡方程有多种形式，因此达朗贝尔原理为动力学计算带来很大方便。

例12-2飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω定轴

转动。设轮辐质量不计，飞轮质量均匀分布在较薄的轮缘上，不考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。

解：由于飞轮结构和受力的对称性，可以取四分之一轮缘为研究对象，作用在截面A、B处轮缘内的张力FA、FB属于质点系的外力；取微小弧段，每段加惯性离心力FIi，其大小为质点系受力情况如图12-3所示。根据质点系达朗贝尔原理，列平衡方程如下：图12-3令Δθi→0，有

由于对称，飞轮任一横截面张力相同，且与角速度的平方成正比。如果飞轮转动太快，轮圈会被拉断。

例12-3如图12-4所示，两个质量均为m的小球用不计质

量的轻杆与铅直轴AB固连在一起。求轴AB以匀角速度ω旋转时轴承A、B所受的力。

解：该质点系受到的外力有两个小球的重力、轴承的约束力。小球惯性力的大小为

质点系受力情况如图12-4所示。两个小球的惯性力构成力偶，其力偶矩为图12-4在图示位置瞬时，建立固连在转轴AB上的坐标系Axyz，列平衡方程如下：

解得

轴承受到的力分别为FAx、FAy、FBx的反作用力。因为

平面xy随轴AB一起转动，所以轴承受到的力相对于固定参考系是在不断地改变方向。

12.2惯性力系的简化

用达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题，需要对质点系内每个质点加上各自的惯性力，形成一个所谓的惯性力系。为了解题方便，经常需要利用静力学中力系简化的理论对惯性力系进行简化。在一般情况下，将惯性力系向任意选定的简化中心O简化，可得一个惯性力和一个对点O的惯性力偶，这个偶性力的大小和方向等于该惯性力系的主矢，作用线通过简化中心O，这个惯性力偶等于该惯性力系对简化中心O的主矩。12.2.1惯性力系的主矢

根据力系简化理论，惯性力系的主矢F′IR为

(12-6)

即质点系惯性力系主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，其大小等于质点系的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向相反。式(12-6)对任何质点系做任意运动均成立。12.2.2惯性力系的主矩

根据力系简化理论，惯性力系主矩MIO一般与简化中心的位置有关。下面分别对刚体做平移、定轴转动、平面运动时的惯性力系简化的主矩进行讨论。

1.刚体做平移

刚体平移时，每一瞬时刚体内任一质点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，有ai=aC，如图12-5所示。平移刚体惯性力系的分布与重力相似，其对任选的简化中心O点的主矩为图12-5式中，rC为简化中心O到质心C的矢径，显然此主矩MIO一般不为零。若选质心C为简化中心，主矩以MIC表示，则rC=0，有

MIC=0

(12-7)

因此得出结论：刚体平移时，惯性力系对任意点O的主矩一般不为零；若选质心为简化中心，其主矩为零，惯性力系简化为一合力FIR，合力的大小和方向与惯性力系的主矢相同。

2.刚体定轴转动

刚体定轴转动时，设刚体转动的角速度为ω，角加速度为α，刚体内任一质点O的质量为mi，到转轴的距离为ri，则刚体内任一质点的惯性力为FIi=-miai。在转轴上任选一点O为简化中心，以O点为原点，建立固连在刚体上的直角坐标系如图12-6(a)所示，第i个质点的坐标为xi、yi、zi。首先计算惯性力系的主矩在坐标轴上的投影，即分别计算惯性力系对x、y、z轴的矩MIx、MIy、MIz。图12-6质点的惯性力FIi可以分解为切向惯性力FtIi与法向惯性力FnIi，它们的方向如图12-6(b)所示，大小分别为

惯性力系对x轴的矩为而

则

令

(12-8)，定义式(12-8)为刚体对z轴的惯性积，它取决于刚体质量对于坐标轴的分布情况。于是，惯性力系对x轴的矩为

(12-9)

同理可得惯性力系对于y轴的矩为

(12-10)

惯性力系对于z轴的矩为由于各质点的法向惯性力均通过z轴，所以

有

(12-11)上式中Jz是刚体对z轴的转动惯量。转动惯量与惯性积都是描述刚体质量分布规律的物理量，转动惯量是表示刚体的质量分布与坐标轴接近程度的物理量。进一步分析表明，惯性积是表征刚体质量相对坐标平面分布不对称性的物理量。

综上所述，刚体定轴转动时，惯性力系向轴上一点O简化的主矩为

(12-12)工程中绕定轴转动的刚体大多数有质量对称平面，如果此平面与转轴z垂直，简化中心O取为此平面与转轴的交点，则

则惯性力系简化的主矩为

(12-13)，于是可得出结论：当刚体有质量对称平面，且刚体绕垂直于此对称面的轴做定轴转动时，惯性力系向转轴与质量对称面的交点处简化，可得此对称面内的一个力(因为质心在此对称平面内)和一个力偶，这个力等于惯性力系的主矢；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。

3.刚体做平面运动(平行于质量对称平面)

工程中做平面运动的刚体常常有质量对称平面，且平行于此平面运动。在这种情况下，刚体各质点的惯性力系组成的空间力系可简化为质量对称平面内的平面力系。取质量对称平面内的平面图形如图12-7所示，设质心C的加速度为aC，绕质心转动的角速度为ω，角加速度为α。以质心C为基点，平面图形的运动可分解为随基点的平移与绕基点的转动，与刚体绕定轴转动相似，此时，惯性力系向质心C简化的主矩为

MIC=-JCα

(12-14)

上式中，JC为刚体对通过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。图12-7于是可得出结论：有质量对称平面且平行于此平面运动的刚体，其惯性力系可简化为在此平面内质心处的一个力和一个力偶。这个力等于惯性力系的主矢，这个力偶的矩等于刚体对通过质心，且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。

例12-4如图12-8(a)所示的均质杆的质量为m，杆长为l，绕定轴O转动的角速度为ω，角加速度为α。分别求惯性力系向点O与质心C的简化结果。

图12-8

解：该杆做定轴转动，质心加速度的大小为,

，惯性力系向转轴O简化的主矢、主矩大小分别为

方向分别如图12-8(b)所示。，把杆的定轴转动看做平面运动的特例，惯性力系向质心C简化的主矢、主矩大小分别为

方向分别如图12-8(c)所示。

需要强调的是，向某一点简化的惯性力是作用在该点的力，必须通过简化中心，力线平移时遵循力的平移定理。，

例12-5如图12-9所示，电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁共重为P。绞盘半径为R，与电动机固结在一起，对质心轴O的转动惯量为J。绞车以加速度a提升质量为m的重物，其它尺寸如图所示。求支座A、B受到的附加约束力。

解：取整个系统为研究对象，作用于质点系的外力有重力mg，P及支座A、B对梁的法向约束力FA、FB(忽略或暂不考虑支座处的摩擦力)。重物做平移，加惯性力如图12-9所示，其大小为

FI=ma图12-9绞盘与电机转子共同绕O轴转动，由于质心位于转轴上，所以惯性力系合成为合力偶，力偶矩的大小为

方向如图12-9所示。由质点系的达朗贝尔原理，列平衡方程如下：

解得支座的约束力为上式中前两项为支座静约束力，它是仅由自重所引起的约束力；第三项为支座的附加动约束力，它是由重物与绞盘的加速运动所引起的。因此支座A、B受到的附加压力大小等于支座的附加动约束力

显然，附加动约束力仅取决于惯性力系，只求附加动约束力时，列方程可以不考虑惯性力以外的其它力。，

例12-6均质圆盘质量为m1，半径为R。均质细杆长l=2R，质量为m2。杆端A与轮心光滑铰接，如图12-10(a)所示。如在A处加一水平拉力F，使圆轮沿水平面纯滚动。问：力F为多大方能使杆的B端刚好离开地面？又为了保证纯滚动，轮与地面间的静摩擦系数应为多大？

解：这道例题属于所谓物体系的平衡问题，分析求解的关键是选择合适的研究对象，寻求最佳解题途径。图12-10首先选受力最简单的细杆AB为研究对象，当其B端刚好离开地面时仍为平动，设其加速度为a，细杆承受的外力并加上惯性力如图12-10(b)所示，平动细杆的惯性力的合力大小为FIC=m2a。按照达朗贝尔原理，以A为矩心列平衡方程如下：

解得

，然后以整体为研究对象，系统承受的外力并加上惯性力如图12-10(a)所示，其中，做平面运动的圆盘质心A的加速度也为a，其惯性力系的主矢与主矩的大小分别为根据达朗贝尔原理列平衡方程如下：

解得根据摩擦定律

解得

由以上例题可见，用动静法求解动力学问题的步骤与求解静力学平衡问题相似，只是在分析物体的受力时，还应加上相应的惯性力，因而正确分析惯性力是动静法解题的关键。对于质点，要分析其加速度，将相应的惯性力加到该质点上；对于质点系，要分析各质点的加速度与质心的加速度，将相应的惯性力加到每个质点上，或者将惯性力系简化的主矢与主矩加到简化中心；对于刚体，还要分析刚体运动的角速度与角加速度，按照刚体不同的运动形式加上相应惯性力系的简化结果。加惯性力及惯性力偶时，为了避免出错，将其大小和方向分开处理，即惯性力与惯性力偶的表达式只表示大小，其方向在受力图上与加速度a及角加速度α反向，在列平衡方程投影计算时，按照图示方向考虑其正负即可，不用再加定义式中的负号。

12.3刚体绕定轴转动时轴承的动约束力

刚体绕定轴转动是日常生活和工程中最为常见的运动。如何使定轴转动的机械在转动时不产生振动、噪音与破坏，是工程界非常关心的问题。如果这些机械在转动起来之后轴承受力与不转动时的轴承受力一样，即如果能消除刚体转动时轴承的附加动约束力，则一般说来这些机械就不会产生破坏，也不会产生振动与噪音。减少或消除轴承的附加动约束力，从理论和实践上是完全能够做到的。本节就来讨论绕定轴转动的刚体轴承的全约束力(包括静约束力与动约束力)，建立消除动约束力的条件等问题。12.3.1静约束力与动约束力

如图12-11所示，设刚体绕AB定轴转动，角速度为ω，角加速度为α。取刚体为研究对象，转轴上O点为简化中心，建立固连在刚体上的坐标系Oxyz，作用在刚体上的所有主动力(包含重力)向O点简化的主矢与主矩以FR′与MO表示，惯性力系向O点简化的主矢与主矩以FIR′与MIO表示(注意aC与FIR′位于xy平面内，没有沿z轴的分量)，刚体转动时轴承A、B处的全约束力分别以FAx、FAy、FBx、FBy、FBz表示，刚体的受力情况如图12-11所示。作用在刚体上的外力与惯性力形成一个空间任意力系。图12-11为求出轴承A、B处的全约束力，根据质点系的动静法，列出如下平衡方程：解得轴承全约束力为由于惯性力没有沿z轴的分量，所以止推轴承B沿z轴的约束力FBz与惯性力无关；其它与z轴垂直的轴承约束力FAx、FAy、FBx、FBy显然都与惯性力系的主矢FIR′、主矩MIO有关。由主动力所引起的约束力称为静约束力，由惯性力所引起的约束力称为附加动约束力，两者之和称为全约束力。显然，以上各式中的第一项是静约束力，第二项是动约束力。12.3.2静平衡与动平衡

刚体定轴转动时，惯性力系的主矢与主矩矢量随其一起转动，动约束力的方向周期性地变化，轴承受到的反作用力的方向也在周期性地变化，从而引起高速旋转机械支承系统的强烈振动，甚至导致破坏，因而必须避免轴承产生动约束力。由轴承全约束力的表达式可知，要使动约束力为零，必须有即使轴承动约束力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于x、y轴的主矩等于零。由式(12-6)、

(12-9)、(12-10)有

由此可见，必须有

即转轴必须通过质心，且刚体对于转轴z的惯性积必须为零。于是得到结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件是转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零。如果刚体对通过某点的z轴的惯性积Jxz和Jyz等于零，则称此轴为过该点的惯性主轴。通过质心的惯性主轴，称为中心惯性主轴。所以，上述结论也可叙述为，避免出现轴承动约束力的条件是刚体的转轴应该是刚体的中心惯性主轴。当刚体转轴通过质心，且刚体除重力外没有受到其它主动力的作用时，则刚体可以在任意位置静止不动，称这种现象为静平衡。当刚体的转轴为中心惯性主轴时，刚体转动时不出现轴承动约束力，称这种现象为动平衡。由于材料的不均匀或制造、安装误差等原因，都可能使定轴转动刚体的转轴偏离中心惯性主轴。为了避免出现轴承动约束力，确保机器运行安全，应该在专门的静平衡与动平衡试验机上进行静平衡与动平衡试验，在刚体的适当位置附加或者去掉一些质量，使其达到静平衡和动平衡。当然，工程中也有相反的实例，即制造定轴转动刚体时，有意制造出偏心距(例如某些打夯机)，这种情况则另当别论。

例12-7如图12-12所示,轮盘(连同轴)的质量m＝20kg，转轴与轮盘的质量对称面垂直，但轮盘的质心C不在转轴上，偏心距e=0.1mm。当轮盘以匀转速n＝12000r/min转动时，求轴承A、B的约束力。

解：取轮盘为研究对象，因为转轴AB与轮盘的质量对称面垂直，所以对转轴的惯性积为零，AB为惯性主轴；又因为是匀速转动，α=0，所以惯性力矩均为零。轮盘在转动时，惯性力随其一起转动，轴承约束力呈周期性变化。当质心C位于最下端时，轴承处约束力最大。此时，刚体受力情况如图12-12所示。图12-12由于轮盘匀速转动，因此质心C只有法向加速度，其大小为

因此惯性力的大小为

FI=man=3160N

方向如图12-12所示。由质点系达朗贝尔原理列平衡方程,可得轴承的约束力为

其中,轴承静约束力为98N，动约束力为1580N。由此可见，在高速转动时，0.1mm的偏心距所引起的轴承附加动约束力是静约束力的16倍之多！而且，动约束力与角速度的平方成正比，转速越高，偏心距越大，轴承的动约束力就越大，这势必使轴承磨损加剧，甚至引起轴承的破坏。再者，注意到惯性力的方向做周期性变化，轴承所受附加压力的大小与方向也相应地发生周期性变化，因而势必引起机器的振动与噪声，同样也会加速轴承的磨损与破坏。因此，必须尽量减小与消除偏心距。对此例题，假设系统的质心位于转轴上，偏心距为零。但是由于安装误差，轮盘的回转轴与转轴仅有1°的偏角，若轮盘半径为200mm，厚度为20mm，l为1m，可求得此时静约束力仍为98N，但动约束力为5493N，是静约束力的56倍之多！这对轴承受力也是相当不利的，所以必须尽量减小安装误差。思考题

12-1应用动静法时，对静止的质点是否需要加惯性力？对运动着的质点是否都需要加惯性力？

12-2达朗贝尔惯性力与真实力有什么不同？

12-3站立在磅秤上的人突然下蹲的过程中，磅秤的指示如何变化？

12-4思12-4图所示的平面机构中,AC∥BD，且AC=BD=

a,均质杆AB的质量为m，长为l。问杆AB做何种运动？其惯性力简化的结果是什么？若杆AB是非均质杆，又如何？思12-4图

12-5如思12-5图所示，不计质量的轴上用不计质量的细杆固连着几个质量均等于m的小球，当轴以匀角速度ω转动时，图示各种情况中，哪些满足动平衡？哪些只满足静平衡？哪些既不满足动平衡，也不满足静平衡？思12-5图

12-6任意形状的均质等厚板，垂直于板面的轴都是惯性主轴，对吗？不与板面垂直的轴都不是惯性主轴，对吗？习题

12-1题12-1图所示由相互铰接的水平臂连成的传送带将圆柱形零件从一高度传送到另一个高度。设零件与水平臂之间的摩擦因数fS=0.2。求：

(1)降落加速度a为多大时，零件不致在水平臂上滑动；

(2)在此加速度下，比值h/d为多少时，零件在滑动之前先倾倒。题12-1图

12-2题12-2图所示的汽车总质量为m，以加速度a做水平直线运动。汽车质心C离地面的高度为h，汽车的前后轴到通过质心垂线的距离分别等于c和b。求：(1)其前后轮的正压力；(2)汽车应如何行驶能使前后轮压力相等？题12-2图

12-3调速器由两个质量均为m1的均质圆盘构成，圆盘偏心地铰接于距离转轴为a的A、B两点。调速器以等角速度

ω绕铅直轴转动，圆盘中心到悬挂点的距离为l。调速器的外壳质量为m2，并放在圆盘上。不计摩擦，求角速度ω与偏角φ之间的关系。题12-3图

12-4转速表的简化模型如题12-4图所示。杆CD的两端各有质量为m的C球和D球，杆CD与转轴AB铰接于各自的中点，质量不计。当转轴AB转动时，杆CD的转角φ就发生变化。设ω=0时，φ=φ0，且盘簧中无力。盘簧产生的力矩M与转角的关系为M=k(φ-φ0)，式中k为盘簧的刚度系数。轴承AB间距离为2b。求：

(1)角速度ω与转角φ之间的关系；

(2)当系统处于图示平面时，轴承A、B的约束力(AO=OB=b)。题12-4图

12-5质量为m的均质直角三角形薄板绕其直角边AB以匀角速度转动，如题12-5图所示，试求其惯性力的合力。题12-5图

12-6均质细杆AB重P，在中点与转动轴CD刚性连接，如题12-6图所示。当轴以匀角速度ω转动时，求轴承处由于惯性力引起的附加动压力的值。设AB=CD=l。题12-6图

12-7题12-7图所示的长方形均质平板，质量为27kg，由两个销A和B悬挂。如果突然撤去销B，求在撤去销B的瞬时平板的角加速度和销A的约束力。题12-7图

12-8如题12-8图所示，质量为m1的物体A下落时，带动质量为m2的均质圆盘B转动，不计支架和绳子的重量及轴上的摩擦，BC＝a，盘B的半径为R。求固定端C的约束力。

题1