《画法几何与建筑制图》课件-3直线与平面、平面与平面的相对位置

直线与平面、平面与平面的平行

直线与平面、平面与平面的相交

直线与平面、平面与平面的垂直

换面法第3章直线与平面、平面与平面的相对位置3.13.23.33.43.1直线与平面、平面与平面的平行直线与平面、平面与平面的相对位置有：平行、相交和垂直3.1.1直线与平面的平行若一直线与某平面内的任一直线平行，那么此直线与该平面平行，反之亦然。例：过点M作一正平线MN与平面△ABC平行。

dd'nn'

分析：

过直线外一点作某一平面的平行线可以有无数条，但本题要作的是正平线，因此在△ABC平面内只要作一条正平线AD，使MN平行于该正平线即可。

过点作与已知平面平行的正平线

作图：

①在△ABC的水平投影△abc中，由点a作X轴平行线与bc边相交于d，并由ad得a′d′

。

②过点m、m′分别作直线mn、m′n′平行于ad、a′d′

，MN

（mn、m′n′）即为所求。例：判断直线AB是否与平面△DEF平行。

gg'b'OXafedf'a'e'd'b

分析：假设直线AB与平面△DEF平行，则在平面△DEF内一定能作一条与AB平行的直线。否则，直线与平面不平行。作图：过点e

作一条与a

b

平行的直线e

g

，作出其水平投影eg，判断平面与直线是否平行的作图从图中看出，eg不平行ab。结论：直线AB与平面△DEF不平行。3.1.2平面与平面的平行由几何学可知：若一平面内的两相交直线与另一平面内的两相交直线对应平行，则该两平面互相平行。例：过点K作一平面与平面△ABC平行。

ff'e'eOkk'Xbcac'b'a'

分析：过点K作平面平行于△ABC平面时，只要过点K作两相交直线与△ABC的任意两边平行即可。作图：过k作ke∥bc、

kf∥ac，过k

作k

e

∥b

c

，k

f

∥a

c

，则KEF组成的平面即为所求。

过点作平行平面

若两投影面的垂直面互相平行，则它们积聚性的同面投影也互相平行，反之亦然。

两铅垂面互相平行3.2直线与平面、平面与平面的相交直线与平面相交，有且只有一个交点。直线与平面的交点既在直线上，又在平面上，是直线与平面的共有点，也是直线可见与不可见的分界点。求直线与平面的交点问题，实质上就是求直线与平面的共有点并判别可见性的问题。平面与平面相交，其交线是两平面的一条共有线，也是平面可见与不可见的分界线。求出交线上的两个共有点，连接起来就得到两平面的交线。求平面与平面的交线问题，实质上就是求两平面的两个共有点的问题。3.2.1一般位置直线与特殊位置平面相交直线与平面相交只有一个交点，是直线和平面的共有点，既在直线上，又在平面上。当平面垂直于投影面时，平面在该投影面上的投影具有积聚性。利用积聚性可以找出交点的一个投影，然后利用直线上取点的作图方法求出交点的另一投影，再利用相对位置判别可见性。1'(2')kk'a'b'c'acbXOe'f'ef

①求交点。交点K的水平投影k必在abc上。因为点K又在EF上，所以点k必在ef上，ef与cde的交点即为交点K的水平投影k，据点k可求出K的正面投影点k

。

②判别可见性。

EF与AB是一对交叉直线，Ⅰ在AB上，Ⅱ在EF上，点Ⅰ、Ⅱ在V面有重影点，由于yⅠ＞yⅡ，对V面而言，点Ⅰ的投影可见，点Ⅱ的投影不可见，即线段a

b

可见，而e

f

上被平面遮住的部分k

2

不可见，画为细虚线。

一般位置直线与铅垂面相交分析与作图步骤:12例：求直线EF与平面ABC的交点。

3.2.2特殊位置直线与一般位置平面相交当直线垂直于投影面时，它在该投影面上的投影具有积聚性。利用积聚性可以找出交点的一个投影，然后利用平面上取点和线的作图方法求出交点的另一投影，利用相对位置判别可见性。例：求直线AB与平面CDE的交点。

c'k′kOXee'cdd'b'ba'(a)①

求交点。由于直线AB的水平投影积聚成一点，因此交点K的水平投影k必与之重合。又由于交点K属于△CDE，故可利用平面上取点的方法，求出点K的正面投影k′。

②判别可见性。由水平投影可知，平面上的DE边与AB是交叉直线，由于DE在后，AB在前，所以在正面投影中，k′a′可见，为实线，k′b′与d′e′重叠的部分不可见，则用虚线表示。一般位置平面与正垂线相交分析与作图步骤:3.2.3一般位置平面与特殊位置平面相交两平面的交线是一条直线，这一交线为两平面的共有线。要确定这一直线的位置，只要找出属于直线上的任意两点即可。例：求平面ABCD与平面GEF的交点。

①求交线K1K2。利用平面ABCD在水平面上具有积聚性，可直接求出K1、K2的水平投影k1、k2。利用表面取点的方法，求出K1、K2的正面投影k1′、k2′，并连接其同面投影，则线段K1K2为所求。

②判别可见性。由H面投影可知，AB与EF

交叉，其正面重影点AB在EF的前方，故V面投影中e′k2′与a′b′

c′d′重合部分为不可见，f′k2′为可见，其余部分的可见性可由此进一步确定。（因为f在e之前，所以f′k2′为可见）a

b

c'd

a(b)d(c)e

f

g

efgk2'k1

k1k2一般位置平面与铅垂面相交XO分析与作图步骤:ee'ff'dd'aa'c'b'cm'n'm(n)

分析：两铅垂面相交，交线一定是一条铅垂线，在H面投影积聚为一点，V面投影垂直于OX轴且在两平面的公共范围内。作图：

①求交线。

利用铅垂面的积聚性，可直接求出交线的水平投影为m（n），过m作OX轴垂线，分别交

d′f

′、d′e

′于m′、n′，得交线的V面投影m′n′。

②判别V面投影可见性。

由H面投影可知，在交线MN左边，△DEF

中EFMN部分在△

ABC平面的前方，故其V面投影e′f′m′n′部分可见，其余部分可由此进一步确定。例:已知两平面ABC

与DEF相交，试求其交线。两正垂面相交求交线bXO3.3直线与平面、平面与平面的垂直

3.3.1直线与平面的垂直由几何学可知：一条直线如果和一个平面内的任意两条相交直线垂直，则这条直线就和这个平面垂直。（1）若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂直于该平面水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于该平面正平线的正面投影。（2）若一直线的水平投影垂直于某一平面水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于该平面正平线的正面投影，则该直线必垂直于该平面。edd'e'OXbcac'b'a'分析：直线DE垂直于铅垂面△ABC，则DE一定是水平线。因为de⊥abc，且d′e′∥OX轴，则点E必为垂足。直线与铅垂面垂直例:过点D作平面ABC

的垂线DE。

3.3.2平面与平面的垂直由几何学可知：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。反之，若两平面互相垂直，则由第一个平面上任意一点向第二个平面所作的垂线一定在第一个平面上。例:已知铅垂面ABCD和铅垂面ABEF相互垂直，求作铅垂面ABEF的水平投影。

铅垂面ABCD和铅垂面ABEF互相垂直，则它们积聚性的水平投影互相垂直。f(e)e'f'(b)ad（c）c'XOb'd'a'两铅垂面垂直例：已知点D和平面△ABC的投影，求点D到平面△ABC的距离及投影。e'e

分析：在V投影面中，过d′作a′b′c′的垂线d′e′，那么DE必定是正平线，过d作OX轴平行线与过e′作OX轴的垂线相交，得交点e，de即为DE的水平投影。由于正平线在V面反映实长，所以d′e′为点D到平面△ABC的实际距离。cc'XOa'b'abd'd求点到平面的距离及投影O3.4换面法

3.4.1概述

在原投影面体系中，保持空间几何元素的位置不动，再建立一个新的投影面，使新建立的投影面相对于空间几何元素处于特殊位置以有利于解题。这种方法称为变换投影面法，简称换面法。新投影面的选择，必须符合两个基本条件：①新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的位置。②新投影面必须垂直于原来投影体系中的一个投影面。

3.4.2基本变换1.点的投影变换

1）点的一次变换：

变换V面VHXX1a1'ax1V1V1HX1①新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴；②新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。a1'a'aXVH点的一次投影变换（变换V面）Aaxa'a

1）点的一次变换：

变换H面VHXH1X1a1ax1a1X1VH1ax1

用正垂面H1来代替H面，H1面和V面组成新投影体系V/H1，投影体系由V/H变换为V/H1。新旧两体系具有同一个V面，因此a1ax1=Aa′

=aax。

a'aXVH点的一次投影变换（变换H面）Aaxa'a

2）点的二次变换a2点的二次投影变换V1HX1a1'a'aXVH

更换一次投影面有时候不能解决问题，而需要更换两次或多次才行。其原理与点的一次换面相同。2.直线的投影变换

1）将一般位置直线变换为投影面平行线——换V面将一般位置直线变换为投影面平行线为一次换面，新投影轴应平行于直线原有的一个投影。a1'b1'V1HX1

换V面：轴与水平投影平行实长平行一般位置直线变换成H1面平行线aa'b'bVXH2.直线的投影变换

1）将一般位置直线变换为投影面平行线——换H面将一般位置直线变换为投影面平行线为一次换面，新投影轴应平行于直线原有的一个投影。换H面：轴与正面投影平行一般位置直线变换成H1面平行线a1b1XVHa'b'baX1VH1

实长平行

2）将投影面平行线变换为投影面垂直线将投影面平行线变换为投影面垂直线为一次换面，新投影轴应垂直于反映实长的投影。1c'(d1')投影面平行线变换成投影面垂直线X1HV1O1新轴与实长投影垂直；新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。

3）将一般位置直线变换为投影面垂直线将一般位置直线变换为投影面垂直线为二次换面。具体步骤为：一般位置直线变换为投影面平行线，再将投影面平行线变换为投影面垂直线。V1H2X2垂直a2(b2)一般位置直线变换成垂直线V1HX1aa'b'bVXHa1'

实长平行b1'3.平面的投影变换

1）将一般位置平面变换为投影面垂直面将一般位置平面变换为投影面垂直面为一次换面，新投影轴应与平面内投影面平行线的实长投影垂直。一般位置平面变换为投影面垂直面一般位置平面变换为投影面垂直面VHXaxa'b'X1V1c’ck'kBK新投影面应垂直于平面内的平行线！

一般位置平面变换为垂直面直观图ax1cx1bx1abbxACa1'(k1')b1'c1'

k'kb1'c1'

垂直平面有积聚性的投影步骤：①找平面内的水平线;③平面变成垂直面，有积聚性，反映平面与H面的夹角。②建新轴V1/H垂直于ak，AK变成正垂线;作图:

将一般位置平面变为正垂面的投影图。a'aXVHcbc'b'a1'(k1')HV1X1

2）将投影面垂直面变换为投影面平行面将投影面垂直面变换为投影面平行面为一次换面，新投影轴应平行于该平面具有积聚性的投影。投影面垂直面变换为投影面平行面

3）将一般位置平面变换为投影面平行面将一般位置平面变换为投影面平行面为二次换面。具体步骤是：首先将一般位置平面变换为投影面垂直面，再将投影面垂直面变换为投影面平行面。V1H2X2b2c2平行实形一般位置平面变换为水平面a'aXVHcbc'b'k'kb1'c1'

HV1X1a1'(k1'