《自动控制原理及其应用》第4章 习题及参考答案

4-1已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。1）2）图4-1（1）解：（1）①由G(s)知，n=3，m=0，p1=0，p2=–1，p3=–3。②实轴上[0，–1]、[–3，]是根轨迹段。③有n–m=3条渐近线,交点，夹角、180°。④实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d。由求d：解得（分离点）（舍去）⑤求根轨迹与虚轴交点，令代入，得解得根轨迹图见图4-1（1）图4-1（2）（2）①由G(s)知，n=3，m=1，p1=0，p2=–2，p3=–3，p4=–5②实轴上[-2、0]，[-5、-3]是根轨迹段③有n-m=2条渐近线：，夹角a=±90°④实轴上[-2、0]根轨迹段上有分离点d，由求d：，试凑得s1=-0.88是其解，且是分离点。根轨迹图见图4-1（2）。4-2已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。1）2）解：（1）根轨迹图见图4-2（1）图4-2（1）（2）①n=4，m=0，p1=0，p2=–4，p3、4=–2±j4②p1、p2连线中点正好是p3、p4实部，开环极点分布对称于垂线s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。图4-2(2)∴实轴上[0、–4]复平面内[p3、p4]间是根轨迹③有n-m=4条渐近线：a=±45°、±135°渐近线如图4-2(2)中虚线示。④[0、–4]间、[P3、P4]间根轨迹上有分离点，由分离点方程可解得，均为分离点⑤由中，求根轨与虚轴交点：令代入，得，解得与虚轴交点及临界值：（此即根轨迹起点p1，不是K*增大时与虚轴交点，舍去）系统根轨迹如图4-2(2)所示.4-3单位负反馈系统开环传递函数为1）绘制根轨迹，分析系统稳定性；2）若增加一个零点试问根轨迹有何变化，对稳定性有何影响。图4-3解：(1)绘制系统根轨迹：①n=3，m=0，p=0，p1=p2=0，p3=–2；②实轴上[0,0]、[–2，–∞]是根轨迹段；③有n-m=3条渐近线，、180°渐近线如图4-3点划线示，根轨迹如图中虚线示，由p1=p2=0出发的分支在右半s平面，任何K1下系统均不稳定。（2）①增加z=–1，实轴上[0，0]、[–1，–2]为根轨迹段。②现有n-m=2渐近线，，，渐近线如图4-3中细虚线示；根轨迹如图中实线示，可见加进Z=-1后，系统在任何K1下均稳定。这说明给系统加进一个位置适当的开环左实零点，可使n-m变为n-m+1，渐近线条数减少一条，倾角增大，根轨迹向左移动，可使系统稳定性、平稳性得到改善。4-4设单位负反馈系统的开环传递函数为，试绘制系统在下列条件下的根轨迹。1）2）3）4）解：该系统n=3，m=1，开环极点p1、2=0，p3=–a，开环零点z=–1；随a不同取值，在[–1，P3]实轴段上可能存在分离点与会合点。但G(s)H(s)为三阶且有零点，求分离点、会合点d时用分离点方程更方便。将值代入分离点方程，有化简整理得∴该系统分离点会合点可能相等或不等，但只能是同时出现在实轴段[–1，P3]上，否则其解应舍去。(1)a=10图4-4(1)图4-4(2)①系统开环零极点分布如图4-4(1)所示；②实轴上[0，0]、[–1，–10]是根轨迹段；③有n–m=2条渐近线，，，渐近线如图中4-4（1）虚线所示；④可求得[–1、–10]段上有分离点和会合点：系统根轨迹如图4-4(1)中实线所示。(2)a=9①系统开环零、极点分布如图4-4(2)所示；②实轴上[0，0]、[–1，–9]是根轨迹段；③有n–m=2条渐近线，，，根轨迹渐近线如图4-4（2）中虚线所示；④可求得[-1,-9]段上的分离点、会合点：，系统根轨迹如图4-4(2)中实线所示。（图中划线与实轴夹角为根轨迹的分离角会合角）(3)a=8图4-4(3)①开环零极点分布如图4-4(3)；②实轴上[0，0]、[–1，–8]是根轨迹段；③有n–m=2条渐近线，，，渐近线如图中4-4（3）虚线示；④由计算可知，d1、2不在[–1、–8]段上应舍去，[–8，–1]段上无分离点、会合点；系统根轨迹如图4-4(3)中实线所示。此题说明，开环极点在s平面实轴上位置移动，会导致根轨迹图发生大的变化。(4)a=3图4-4(4)①开环零、极点分布如图4-4(4)中所示；②实轴上[0，0]、[–1，–3]是根轨迹段；③有n–m=2条渐近线，，，渐近线如图中虚线示；④由计算可知应舍去，实轴[–3、–1]段上既无分离点，也无会合点，系统根轨迹如图实线所示。4-5设系统的方框图如图4-5所示，图4-5绘制以a为变量的根轨迹，并：1）求无局部反馈时系统单位斜坡响应的稳态误差、阻尼比及调节时间；2）讨论a=2时局部反馈对系统性能的影响；3）求临界阻尼的a值。解：本题求作系统参量根轨迹，首先写出系统开环传递函数由闭环特征方程中求出以为参数变量时的等效开环传递函数等效开环传递函数的零、极点分布为：，由此可知实轴上[0、–]是根轨迹段，复平面内的根轨迹是以z为圆心、为半径、由P1、2出发的圆弧段，交实轴于–1点，即根轨迹会合点d=–1，系统参量根轨迹如图4-5（1）示。图4-5（1）(1)无局部反馈即时，闭环极点s1、2与等效开环传递函数极点P1-2相等，由题图可知，该系统=1，，。该系统比较典型二阶系统，可知：(，=0.5，。(2)当时，已有，闭环极点均在实轴上，过阻尼状态，系统阶跃响应不振荡。求解时，essv=3，，，∴由可得闭环极点，∴系统性能可按一阶近似计算秒。(3)由幅值条件，临界阻尼比时，。4-6根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘出其根轨迹的大致形状。1）2）3）解：(1)该系统正反馈根轨迹如图4-6(1)所示，仅实轴上[，–1]、[–2、-]是根轨迹段。图4-6(2)①n=3、m==0、P1=0、P2=–1、P3=–2；②实轴上（，0、[–1、–2]是根轨迹段；③有n–m=3条渐近线，，、0°；渐近线如图4-6（2）中虚线示；图4-6④[–1、–2]间有分离点d，由可得d=1.575(3)①n=4，m=1，开环零、极点分布如图4-6(3)示；图4-6②实轴上（，0）、[–1，–2]、[–3，–4]为根轨迹段；③有n–m=3条渐近线，、0°渐近线如图4-6(3)中虚线示。④在[–3，–4]段上有分离点，在两开环极点间的根轨迹段上，分离点处对应，当n≥4时可由K*-d曲线法试解求d：由D（s）=0可得：，列表计算，其中对应的s值即为分离点坐标d。s=d –3.48 –3.49 –3.50 –3.505 –3.51 –3.52 –3.58K1 1.4575 1.4575 1.4583 1.45833 1.4580 1.4566 1.424解得：系统根轨迹如图4-6(3)所示。4-7设单位负反馈系统的开环传递函数为，试绘制系统的根轨迹。解：单位负反馈系统开环传递函数G(s)中有非最小相位环节（1-s），由于s项系数为负，因此系统根轨迹遵循零度根轨迹绘制法则①n=2，m=1，系统开环零极点分布如图4-10；②实轴上（，1]、[0，-2]为根轨迹段；③有n-m=1条渐近线，；渐近线与实轴重合④（、1）间有会合点，[0、–2]段上有分离点。会合点、分离点由，解得：分离点，会合点d2=2.732；⑤复平面内的根轨迹为圆心z=1、半径的圆，该圆与实轴交点即分离点d1、会合点d2；⑥