新教材2025届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点2常用逻辑用语小题突破

命题点2常用逻辑用语一、单项选择题1．[2024·天津模拟]已知命题p：∀x>0，使得(x＋1)ex>1，则¬p为()A．∃x≤0，使得(x＋1)ex≤1B．∃x>0，使得(x＋1)ex≤1C．∀x>0，使得(x＋1)ex<1D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤12．[2024·河南驻马店模拟]已知p：x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，q：sinx＝1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2024·安徽安庆模拟]已知向量a，b是两个单位向量，则“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))<eq\r(2)”是“〈a，b〉为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．[2024·山东临沂模拟]“θ＝kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)”是“θ＝eq\f(kπ,3)(k∈Z)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．[2024·安徽宿州模拟]“cosα＝eq\f(1,2)”是“cos2α＝－eq\f(1,2)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．[2024·北京通州模拟]等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则“a1>0”是“{Sn}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．[2024·全国甲卷]“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件8．[2024·河南开封模拟]a，b为实数，则“a>b>1”是“|lna|>|lnb|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．[2024·新课标Ⅰ卷]记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件10．[2024·安徽黄山模拟]“a<1”是“函数f(x)＝log2[(1－a)x－1]在区间(1，＋∞)上单调递增”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件二、多项选择题11．[2024·辽宁沈阳二中二模]对随意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件12．[2024·江苏南通模拟]下列命题正确的是()A．“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件B．命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件[答题区]题号123456789101112答案三、填空题13．已知命题p：“∀x∈[1，2]，a<x＋eq\f(1,x)”，若p为真命题，则实数a的取值范围为________．14．[2024·河南郑州模拟]若“∃x∈R，x2－6ax＋3a<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．15．[2024·山东潍坊模拟]若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一个充分条件，则α的一个可能值是________．16．[2024·辽宁大连模拟]已知p：－x2＋4x－3≥0，q：a－1≤x≤2a－3(a>2)，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．命题点2常用逻辑用语(小题突破)1．解析：依据命题的否定的定义，因为命题p：∀x>0，使得(x＋1)ex>1，所以¬p为∃x>0，使得(x＋1)ex≤1，故选B.答案：B2．解析：若x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)则sinx＝1，或sinx＝－1，故由p得不到q；若sinx＝1，则x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z),所以由q可以推出p，故p是q的必要不充分条件．故选B.答案：B3．解析：因为a，b为单位向量，所以由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))<eq\r(2)两边平方得a2－2a·b＋b2＝2－2a·b<2，所以得a·b>0，而〈a，b〉∈[0，π]，所以a，b夹角为0或锐角；所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))<eq\r(2)”是“〈a，b〉为锐角”的必要不充分条件．故选B.答案：B4．解析：因为{θeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(θ＝\f(kπ,3)，k∈Z))}＝{θeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(θ＝kπ－\f(π,3)))或θ＝kπ或θ＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}，所以，，因此，“θ＝kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)”是“θ＝eq\f(kπ,3)(k∈Z)”的充分不必要条件．故选A.答案：A5．解析：由cosα＝eq\f(1,2)可得cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(1,2)，即充分性成立；当cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(1,2)时，可得cosα＝±eq\f(1,2)；所以必要性不成立；所以“cosα＝eq\f(1,2)”是“cos2α＝－eq\f(1,2)”的充分不必要条件．故选A.答案：A6．解析：在等比数列{an}中，取a1＝1，q＝－1，此时an＝(－1)n－1，{an}为摇摆数列，∴S1＝1>S2＝0，故充分性不成立；若等比数列{an}的公比为q，且{Sn}是递增数列，∴Sn>Sn－1，∴Sn－Sn－1>0，∴n≥2，an＝a1qn－1>0，a2＝a1q>0，a3＝a1q2>0，则a1>0，所以，数列{Sn}为递增数列时，a1>0成立，故必要性成立．所以，“a1>0”是“数列{Sn}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.答案：B7．解析：当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cosβ＝0成立的必要不充分条件．故选B.答案：B8．解析：因为a>b>1，依据对数函数y＝lnx单调性可知lna>lnb>0成立，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lna))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lnb))，即“a>b>1”是“|lna|>|lnb|”的充分条件，取a＝eq\f(1,3)，b＝2，此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lna))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,3)))＝ln3>ln2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ln2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lnb))，但a<1<b，故“a>b>1”不是“|lna|>|lnb|”的必要条件，所以“a>b>1”是“|lna|>|lnb|”的充分不必要条件．故选A.答案：A9．解析：方法一甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－（n＋1）Sn,n（n＋1）)＝eq\f(nan＋1－Sn,n（n＋1）)为常数，设为t，即eq\f(nan＋1－Sn,n（n＋1）)＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减得：an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确．方法二甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项a1，公差为d，即Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，则eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝D，eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，当n≥2时，上两式相减得：Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．故选C.答案：C10．解析：令u＝(1－a)x－1，y＝log2u，若f(x)＝log2[(1－a)x－1]在(1，＋∞)上单调递增，因为y＝log2u是(1，＋∞)上的增函数，则需使u＝(1－a)x－1是(1，＋∞)上的增函数且u>0，则1－a>0且1－a－1≥0，解得a≤0.因为，故a<1是a≤0的必要不充分条件，故选C.答案：C11．解析：A：由a＝b有ac＝bc，当ac＝bc不肯定有a＝b成立，必要性不成立，假命题；B：若a＝1>b＝－2时a2<b2，充分性不成立，假命题；C：a<5不肯定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要条件，真命题；D：a＋5是无理数则a是无理数，若a是无理数也有a＋5是无理数，故为充要条件，假命题．答案：ABD12．解析：对于A，eq\f(1,a)<1即为a<0或a>1，因为a>1可以推出a<0或a>1，a<0或a>1推不出a>1，故“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件，故A正确．对于B，命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”，故B正确．对于C，当x≥2且y≥2时，有x2＋y2≥8≥4，取x＝y＝eq\r(2)，满意x2＋y2≥4，但x≥2且y≥2不成立，故“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误．对于D，取a＝1≠0，b＝0，此时ab＝0，故ab≠0不成立，当ab≠0时，必有a≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：由p为真命题，有a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\do7(min)，而函数y＝x＋eq\f(1,x)在x∈[1，2]上单调递增，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\do7(min)＝2.答案：(－∞，2)14．解析：由条件可知“∀x∈R，x2－6ax＋3a≥0”为真命题，则Δ＝36a2－12a≤0，即0≤a≤eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))15．解析：由sinx＋cosx>1可得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))>1，则sin(x＋eq\f(π,4))>eq\f(\r(2),2)，所以2kπ＋eq\f(π,4)<x＋eq\f(π,4)<2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，解得2kπ<x<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，因为“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一个充分条件，故α的一个可能取值为eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)(只需满意α∈eq\b\lc\