新教材2025版高中数学第2章空间向量与立体几何2.4空间向量在立体几何中的应用2.4.4向量与距离第1课时点到直线的距离与点到平面的距离学生用书湘教版选择性必修第二册

第1课时点到直线的距离与点到平面的距离新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一点到直线的距离直线l的方向向量为v，点P为直线l外一点，A为直线l上随意一点，则点P到直线l的距离d＝AP2批注❶AP·vv是AP要点二点到平面的距离设平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点A是平面α内随意一点，则点P到平面α的距离d＝❷|AP|·|cos〈AP·n〉|＝________．批注❷等于AP在向量n方向上射影的肯定值．基础自测1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．()(2)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．()(3)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．()2．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为103，则zA.－16B．－4C．4D．163．已知平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，且A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为()A．13B．66C．题型探究·课堂解透——强化创新性点到直线的距离例1如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．方法归纳向量法求点到直线距离的一般步骤巩固训练1已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．点到平面的距离例2在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离．方法归纳用向量法求点面距的一般步骤巩固训练2如图，在棱长是2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CD的中点，求点B1到平面AD1E的距离．第1课时点到直线的距离与点到平面的距离新知初探·课前预习[教材要点]要点二AP[基础自测]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：因为n＝(－2，－2，1)，AP＝(－1，－2，z)，且d＝AP·nn＝2+4+z4+4+1＝6+z3答案：AC3．解析：∵A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，∴AB＝(－1，－1，2)，又平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，∴点A到平面α的距离为AB·nn答案：B题型探究·课堂解透例1解析：因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直线A′C的方向向量A'又BC＝(0，2，0)，所以BC在A'C上的投影长为BC·所以点B到直线A′C的距离d＝BC2-BC·A巩固训练1解析：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量A1C1所以点B到直线A1C1的距离d＝BC12-B例2解析：取AC的中点O，连接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.又∵△ABC为正三角形，O为AC的中点，∴AO⊥BO.如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz，则B(0，23，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，22)，M(1，3，0)，N(0，3，∴CM＝(3，3，0)，MN＝(－1，0，2)，MB＝(－1，3，0)．设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则CM·n=3x+则x＝2，y＝－6，∴n＝(2，－6，1)．∴点B到平面CMN的距离d＝n·MBn巩固训练2解析：因为正方体ABCD­A1B1C1D1棱长为2，故以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，0)，B1(2，2，2)．设平面AD1E的法向量是m＝(x，y，z)，则m⊥AD1，即m·又