新教材2025版高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列的前n项和公式学生用书新人教A版选择性必修第二册

第2课时等差数列的前n项和公式【课标解读】1.进一步娴熟驾驭等差数列的通项公式和前n项和公式．2．会解等差数列前n项和的最值问题．3．理解an与Sn的关系，能依据Sn求an.新知初探·课前预习——突出基础性【教材要点】要点一数列中an与Sn的关系对随意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为an＝________要点二等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≥0，an+1≤0确定；当a1<0，d>0时，Sn(2)因为Sn＝d2n2＋(a1－d2)n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有________值；当d<0时，Sn有________值；且n取最接近对称轴的自然数时，S批注用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要留意的是：n∈N*.【夯实双基】1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)等差数列的前n项和肯定是常数项为0的关于n的二次函数．()(2)对于数列{an}，肯定有关系式an＝Sn－Sn－1.()(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn肯定同时存在最大值和最小值．()(4)若等差数列{an}的公差d>0，则该数列Sn肯定有最小值，d<0，则该数列Sn肯定有最大值．()2．设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝n2＋2n，则a5＝()A．－21 B．11C．27 D．353．若数列{an}中，an＝43－3n，则Sn的最大值n＝()A．13 B．14C．15 D．14或154．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了________支铅笔．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1an与Sn的关系的应用例1已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}是否为等差数列？[听课记录]【方法总结】已知Sn求an的一般步骤巩固训练1已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋12n题型2等差数列前n项和公式的实际应用例2某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门实行措施，使该种病毒的传播得到有效限制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数削减10.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？[听课记录]【方法总结】遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列学问联系，建立数列模型，详细解决要留意以下两点：①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．②深化分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.巩固训练2[2024·山东安丘高二期中]《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有996斤棉花要给8个子女做旅费，从第1个孩子起先，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子分完为止，则第1个孩子分得棉花的斤数为()A．48B．65C．82D．99题型3等差数列前n项和的最值例3在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为____________．[听课记录]变式探究1将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn取最大值时，n的值为____________．变式探究2将本例中“a1>0，S3＝S11”换为“a1>0，a2022＋a2023>0，a2022·a2023<0”，求使Sn>0成立的最大自然数n.【方法总结】1.在等差数列中，求Sn的最值的2种常用方法2．寻求正、负项分界点的方法巩固训练3(1)(多选)[2024·江苏常州高二期末]已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则()A．S5＜S9 B．该数列的公差d＜0C．a7＝0 D．S11＜0(2)已知等差数列5，427，347，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号第2课时等差数列的前n项和公式新知初探·课前预习[教材要点]要点一S1Sn－Sn－1要点二(1)最大最小(2)最小最大[夯实双基]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：由Sn＝n2＋2n得S5＝52＋2×5＝35，S4＝42＋2×4＝24，所以a5＝S5－S4＝35－24＝11，故选B.答案：B3．解析：令an＝43－3n≥0，得n≤433，又n∈N*，∴n＝14.故选答案：B4．解析：从下向上各层所放铅笔数依次为1，2，3，…，120，从下向上各层所放铅笔数是首项为1，公差为1的等差数列，所以共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝120×答案：7260题型探究·课堂解透例1解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5，所以数列{an}的通项公式为an＝2(2)当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列．巩固训练1解析：依据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋12n－[(n－1)2＋12(＝2n－12当n＝1时，a1＝S1＝12＋12×1＝3∴数列{an}的通项公式为an＝2n－12故数列{an}是以32例2解析：(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列，所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400(人)，所以9月11日的新感染者人数为a11＝400－10＝390(人)；(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：S10＝1040+4009月份后20天流感病毒的新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列，所以后20天新感染者人数和为T20＝20×390＋2020所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100人．巩固训练2解析：依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为a1，则由题意得，d＝17，S8＝8a1＋8×7d2＝996，解得故选B.答案：B例3解析：解法一：函数法由S3＝S11，可得3a1＋3×22d＝11a1＋11×102d，即d＝-213a1.从而Sn＝d2n2＋(a1－d2)因为a1>0，所以－a1故当n＝7时，Sn最大．解法二：通项变号法由解法一可知，d＝－213a1要使Sn最大，则有a即a解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．答案：7变式探究1解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋nn-12×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－252∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大．答案：12或13变式探究2解析：∵a1>0，a2022＋a2023>0，a2022·a2023<0，∴{an}表示首项是正数，公差d为负数的单调递减数列．∴a2022>0，a2023<0.且|a2022|>|a2023|，∴a2022＋a2023＝a1＋a4044>0，∴S4044＝4044a又∵a1＋a4045＝2a2023＜0，∴S4045＝4045a1∴使Sn>0成立的最大自然数n是4044.巩固训练3解析：(1)由S5<S6可得，S6－S5＝a6>0,S6＝S7得S7－S6＝a7＝0，由S7>S8得S8－S7＝a8<0，所以等差数列{an}的公差d<0，故选项B正确．所以a1，a2，a3，a4，a5，a6为正，a7＝0，从第8项起均为负.故选项C正确．所以S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2(a8＋a7)＝2a8<0，故选项A不正确．S11＝a1+a11故选BC.(2)方法一：由题意