新教材2025版高中数学课时作业十八简单复合函数的求导法则北师大版选择性必修第二册

课时作业(十八)简洁复合函数的求导法则[练基础]1．函数y＝e－x的导函数为()A．y＝－exB．y＝－e－xC.y＝exD．y＝e－x2．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋1))eq\s\up12(2)在x＝0处的导数为()A.0B．1C.3D．43．下列求导结果正确的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)))′＝－sineq\f(π,6)B.(3x)′＝x3x－1C.(log2x)′＝eq\f(log2e,x)D.(sin2x)′＝cos2x4．曲线f(x)＝sin2x在原点处的切线方程是()A.y＝xB．y＝2xC.y＝－xD．y＝－2x5．已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x，那么f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝()A.－2B．2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)6．(多选题)设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，则以下求导运算中，正确的有()A.若f(x)＝sin2x，则f′(x)＝cos2xB.若f(x)＝xex－ln2，则f′(x)＝(x＋1)exC.若f′(x)＝2x－1，则f(x)＝x2－xD.若f(x)＝tanx，则f′(x)＝eq\f(1,cos2x)7．曲线f(x)＝e4x－x－2在点(0，f(0))处的切线方程是________．8．若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1)，f′(0)＝4，则a＝________．9．求下列函数的导数(1)f(x)＝lnx＋xax；(2)f(x)＝cos2x＋xeq\s\up6(\f(1,2)).10．已知曲线y＝e2x·cos3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为eq\r(5)，求直线l的方程．[提实力]11．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100).那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时改变率是()A.－40元/tB．－10元/tC.10元/tD．40元/t12．(多选题)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是()A.f(x)＝x2B．f(x)＝e－xC.f(x)＝lnxD．f(x)＝eq\f(1,x)13．函数f(x)＝eq\r(2x)的导数f′(x)＝______，其图象在点(1，eq\r(2))处的切线方程为________________________．14．已知a，b为正实数，直线y＝x－a与曲线y＝ln(x＋b)相切于点(x0，y0)，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是________．15．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)的导函数为f′(x).(1)若b＝c，求曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线方程；(2)求eq\f(1,f′（a）)＋eq\f(1,f′（b）)＋eq\f(1,f′（c）)的值．[培优生]16．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－1))eq\s\up12(n)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋an；(2)我们知道二项式(1＋x)n的绽开式(1＋x)n＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))x＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))x2＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))xn，若等式两边对x求导得n(1＋x)n－1＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＋2Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))x＋3Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))x2＋…＋nCeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))xn－1，令x＝1得Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＋2Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋3Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))＋…＋nCeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝n·2n－1.利用此方法解答下列问题：①求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan；②求12a1＋22a2＋32a3＋…＋n2an.课时作业(十八)简洁复合函数的求导法则1．解析：y′＝(e－x)′＝e－x·(－x)′＝e－x×(－1)＝－e－x.故选B.答案：B2．解析：因为y′＝4(2x＋1)，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋1))eq\s\up12(2)在x＝0处的导数为4×1＝4.故选D.答案：D3．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)))′＝0，A选项错误；(3x)′＝3xln3，B选项错误；(log2x)′＝eq\f(1,xln2)＝eq\f(log2e,x)，C选项正确；(sin2x)′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x，D选项错误．故选C.答案：C4．解析：∵f(x)＝sin2x，则f′(x)＝2cos2x，∴f′(0)＝2，因此，曲线f(x)＝sin2x在原点处的切线方程是y＝2x.故选B.答案：B5．解析：由题意知，f′(x)＝2cos2x－2sin2x，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2cosπ－2sinπ＝－2.故选A.答案：A6．解析：因为f(x)＝sin2x，所以f′(x)＝(sin2x)′(2x)′＝2cos2x，A错误；因为f(x)＝xex－ln2，所以f′(x)＝x′ex＋x(ex)′－0＝(x＋1)ex，B正确；若f′(x)＝2x－1，则f(x)＝x2－x＋c(c为随意常数)，C错误；因为f(x)＝tanx＝eq\f(sinx,cosx)，所以f′(x)＝eq\f(（sinx）′cosx－sinx（cosx）′,cos2x)＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f(1,cos2x)，D正确，故选BD.答案：BD7．解析：因为f(x)＝e4x－x－2，故f′(x)＝4e4x－1，故f′(0)＝4e0－1＝3，又因为f(0)＝e0－0－2＝－1，故f(x)＝e4x－x－2在点(0，f(0))处的切线方程为y－(－1)＝3(x－0)，即为y＝3x－1.答案：y＝3x－18．解析：由f(x)＝eax＋ln(x＋1)，得f′(x)＝aeax＋eq\f(1,x＋1)，∵f′(0)＝4，∴f′(0)＝a＋1＝4，∴a＝3.答案：39．解析：(1)因为f(x)＝lnx＋xax，所以f′(x)＝(lnx)′＋x′ax＋x(ax)′＝eq\f(1,x)＋ax＋xaxlna.(2)因为f(x)＝cos2x＋xeq\s\up6(\f(1,2))，所以f′(x)＝－2sin2x＋eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).10．解析：∵y′＝(e2x·cos3x)′＝2e2x·cos3x＋(－3sin3x)e2x＝e2x(2cos3x－3sin3x)∴y′|x＝0＝e0·(2cos0－3sin0)＝2，∴曲线在点(0，1)处的切线方程为：y＝2x＋1，设直线l：y＝2x＋t，由d＝eq\f(|t－1|,\r(1＋4))＝eq\r(5)解得t＝6或t＝－4.所以直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.11．解析：净化费用的瞬时改变率就是净化费用函数的导数，因为c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100).所以c′(x)＝(eq\f(4000,100－x))′＝eq\f(4000,（100－x）2)，又因为c′(90)＝eq\f(4000,（100－90）2)＝40，所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时改变率是40元/t，故选D.答案：D12．解析：若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，则x2＝2x，这个方程明显有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)lneq\f(1,e)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝eq\f(1,x)，由lnx＝eq\f(1,x)，令y＝lnx，y＝eq\f(1,x)(x>0)，作出两函数的图象如图所示，由两函数图象有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝eq\f(1,x)，则f′(x)＝－eq\f(1,x2)，由eq\f(1,x)＝－eq\f(1,x2)，可得x＝－1，故D符合要求．故选ACD.答案：ACD13．解析：f(x)＝eq\r(2x)，则f′(x)＝eq\f(1,2)·eq\f(1,\r(2x))·2＝eq\f(1,\r(2x))＝eq\f(\r(2),2)x－eq\f(1,2)，所以函数y＝f(x)的图象在点(1，eq\r(2))处的斜率为k＝eq\f(\r(2),2)，即函数y＝f(x)的图象在点(1，eq\r(2))处切线方程为x－eq\r(2)y＋1＝0.答案：eq\f(\r(2),2)x－eq\f(1,2)x－eq\r(2)y＋1＝014．解析：对y＝ln(x＋b)求导得y′＝eq\f(1,x＋b)，因为直线y＝x－a与曲线y＝ln(x＋b)相切于点(x0，y0)，所以eq\f(1,x0＋b)＝1即x0＝1－b，所以y0＝ln(x0＋b)＝ln(1－b＋b)＝0，所以切点为(1－b，0)，由切点(1－b，0)在切线y＝x－a上可得1－b－a＝0即b＋a＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当b＝a＝eq\f(1,2)时，等号成立．所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是4.答案：415．解析：(1)若b＝c，则f(x)＝(x－a)(x－b)2，所以f′(x)＝(x－b)2＋(x－a)·2(x－b)，则f′(b)＝(b－b)2＋(b－a)·2(b－b)＝0，即曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线斜率为0，又因为f(b)＝(b－a)(b－b)2＝0，所以所求切线方程为：y＝0；(2)由f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)得f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－b）（x－c）))′＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)(x－b)，所以f′(a)＝(a－b)(a－c)，f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)，因此eq\f(1,f′（a）)＋eq\f(1,f′（b）)＋eq\f(1,f′（c）)＝eq\f(1,（a－b）（a－c）)＋eq\f(1,（b－a）（b－c）)＋eq\f(1,（c－a）（c－b）)＝eq\f(1,a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－c)－\f(1,b－c)))＋eq\f(1,（c－a）（c－b）)＝eq\f(1,a－b)·eq\f(b－a,（a－c）（b－c）)＋eq\f(1,（a－c）（b－c）)＝－eq\f(1,（a－c）（b－c）)＋eq\f(1,（a－c）（b－c）)＝0.16．解析：(1)对于(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，取x＝1得a0＋a1＋a2