【高考数学 特色题型汇编】第63讲 双空题-立体几何与空间向量（基础、中档、压轴）（原卷及答案）（新高考地区专用）高考数学复习

双空题——立体几何与空间向量（基础、中档、压轴）

1.如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球A和球B）,

圆柱的底面直径为2+g，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球8.则球A的体积为

，圆柱的侧面积与球B的表面积之比为.

2.在长方体A8CO—A4GA中，48=2,AO=3,44=1,P为线段CQ的中点,

一质点从A点出发，沿长方体表面运动到达P点处，则质点从A到P的最短距离为

;若沿质点A的最短运动路线截长方体，则所得截面的面积为.

3.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成.已知正四

棱柱的底面边长为3cm；这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为

，体积为cm3.

4.如图，在矩形A8C7）中，八4=4,BC=3,将$48。沿AC折叠，在折叠过程中三

棱锥*-八8体积的最大值为,此时异面直线A*与C。所成角的余弦值为

5.如图，将由六个边长为3的正三角形构成的平行匹边形形状的纸片沿虚线折起，制

作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为;若该六面体内有一

球，则该球体积的最大道为.

6.四棱锥尸-ABC。各顶点都在球心为。的球面上，且PA_L平面A8CQ,底面48CQ为

矩形，PA=AB=2,A0=4,则球。的体积是:设E、尸分别是M、中

点，则平面A样被球。所截得的截面面积为.

7.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四楂锥模型P—ABCD,

设底边和侧棱长均为4,则该正四棱锥的外接球表面积为;过点A作一个

平面分别交尸8、PC、PD于点E、F、G进行切割，得到四棱锥P-AEFG,若

PE3PF1PG

——=—,---=—,则nil---的值为

PB5PC2PD

E

8.某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外

部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切,

则该内切球的表面积为,三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为

9.在三棱锥-一A8C中，平面PBC,PB工PC,PA=PC=2PB=4,则三棱锥

P-A8C外接球的表面积为；若动点M在该三棱锥外接球上，且

/MPB=NMPC,则点M的轨迹长为.

10.阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面

体.如图，已知阿基米德多面体的所有顶点均是一个棱长为2的正方体各条棱的中点,

则该阿基米德多面体的体积为；若/，N是该阿基米德多面体表面上任意两点，

则M,N两点间距离的最大值为.

11.某中学课外活动小组开展劳动实习，活动中需制造一个零件模型，该零件模型为四

面体，设为A8CO,要求A8=3C=8=AO=ldm.当AC=8O=巫时，此四面体外

2

接球的表面积为dm2;当AC=BD时，此四面体体积的最大值为dm3.

12.已知TF方体A8CO-A6cA的棱长为1.空间一动点〃满足AP,AA,月

/APB】=NAD%，则ian/APB|=,点P的轨迹围成的封闭图形的面积为.

7T，冗

13.已知三棱锥O—ABC中，AB=AC=AD=2^DAB=^DAC=-^BAC=一,则

23

点A到平面8c。的距离为，该三棱锥的外接球的体积为.

14.如图，已知4〃为圆。的直径，C为圆上一动点，A4_L圆。所在平面，且Q4=/W=2,

过点A作平面交PBJC分别于E,F,则三棱锥P-心外接球的表面积为

；当三棱锥尸-AE/”本积最大时，tanN4AC=.

15.已知四棱锥P-A8CZ）的底面为边长为2的正方形，/%_!_底面A4C2/X=2,过点

A作平面夕与。。垂直，则以与。所成角的正切值为；。截此四棱锥的截面

面积为.

16.如图，己知四面体A8CD中，△A8O和△BC。都是等腰直角三角形，

AB=&NBAD=NCBD*.若四面体A8C。外接球的表面积为8尤，则此时二面角

A-8O—C的大小为；若二面角A—8O—C为亨时，点M为线段C£＞上一点,

则AM的最小值为.

17.如图，三棱柱ABC—AAG中，M-LBC,A3_L他，AB=1,AC=6BC=B

问AA=讨，三棱柱ABC-A^G体积最大，最大值为.

18.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其

中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵ABC-A&G中，48_LAC,M是AG的

中点，AB=7,MG分别在棱叫，AC上，且=；阴，AG=：AC,平面MNG

JD

人〃

与AB交于点H,W0—=,HM-AB=•

19.如图所示，A是平面夕内一定点，8是平面夕外一定点，直线AA与平面0所成角

为45。.设平面a内的动点C到A点、"点距离分别为4、4(44>0)，且加吟•若点C

的轨迹是一条直线，〃?=:若点C的轨迹是圆，则加的取值范围是

20.将边长为2的正方形沿对角线AC折起.他得/?。=2,则四面体的外

接球的半径为,四面体A8C力的内切球与外接球的球心距为.

21.如图为某企业的产品包装盒的设计图，其设计方案为：将圆锥SO截去一小圆锥SO'

作包装盒的盖子，再将剩下的圆台挖去以。为顶点，以圆0,为底面的圆锥OO'.若圆0

半径为3,SO=36，不计损耗,当圆锥00'的体积最大时，圆0'的半径为，

此时，去掉盖子的几何体的表面积为.

22.已知点A仇C。在同一个球的上，AB=2x/3,AC=4,ABAC=30,则过A&C三

点的截面圆的面积为；若四面体A-8C。体积的最大值为4,则这个球的表

面积为.

23.在梯形AAC。中，AB//CD,AB=2,AD=CD=CB=\f将AAC。沿AC折起，连

接8。，得到三棱锥O-A8C,则三棱锥O-A8C体积的最大值为.此时该

三棱锥的外接球的表面积为.

24.已知长方体ABCAA//C/。/中，AD=9,/U/=IO,过点A且与直线CD平行的平面

。将长方体分成两部分.日分别与棱。。/，CC交干点从"

(1)若DH=DC=9,则三棱柱ADH-BCM外接球的表面积为；

(2)现同时将两个球分别放入被平面。分成的两部分几何体内.在平面。变化过程中,

这两个球半径之和的最大值为.

25.在三棱锥P-A8C中，已知.A8C是边长为2的正三角形，PA_L平面48C,M、

3

N分别是A4、PC的中点，若异面直线MN、心所成角的余弦值为:，则%的长为

4

,三棱锥P-A8C的外接球表面积为.

26.,.48。的三条边分别为Ac,若该三角形绕着三条边旋转一周所得几何体的

体积分别为匕MM.若匕则8sA的值为___________；若N84C=g,

4326

匕匕=1,则U+匕的值为.

d

27.将正方形ABC。沿对角线B。折成直二面角4一6。一。，设三棱锥4一8。。的外

接球和内切球的半径分别为7m球心分别为0/,。2.若正方形48CO的边长为1,则

~=；0102=.

28.已知正方体A8CQ-A/8/G。/的棱长为2,4C/_L平面a,当平面a过点8/时，平

面〃截此IF方体所得截而多边形的面积为：当平面〃过线段AC中点时,平面

a截此正方体所得截面多边形的周长为.

29.如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成

为一个半正多面体，亦称“阿基米德体点A,B,M是该多面体的三个顶点，点N是

该多面体表面上的动点,且总满足MNJ_A8,若人4=4,则该多面体的表面枳为,

30.如图，在矩形A8CD中，BC=2AB=4fE为AD中点,沿直线8E将△ABE翻折成

ABE，使平面A8E_L平面8cOE.点M,N分别在线段8COE上，若沿直线MN将四边

形MNDC向上翻折，使。与4重合，则,四棱锥A-8WNE的体积为

31.已知正方体ABC。-AgCQ的棱长为1,点M,N分别是棱CZXOR的中点，则异

面直线BN与CD所成角的余弦值为：若动点P在正方形CDDC（包括边界）

内运动，且用尸，平面8MN,则线段向尸的长度范围是___________.

32.如图，已如平面四边形A8CD,AB=BC=3,CD=1,AD=6ZAZX7=9O°.沿

直线AC将△D4C翻折成△DAC,则408。=：当平面£>AC_L平面A8C

时，则异面直线AC与8〃所成角余弦值是.

B

33.如图，在三棱锥A-88中，AD=CD=2,AB=BC=AC=2五,平面ACDJL平

面ABC,则三棱锥A-BCO的体积为,其外接球的表面积为,

34.如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成

为一个半正多面体，亦称“阿基米德体点A,B,M是该多面体的三个顶点，点N是

该多面体外接球表面上的动点，且总满足MN_LA3,若A8=4,则该多面体的表面积

35.已知等边..A8C的边长为2,将其绕着8c边旋转角度。，使点A旋转到A位置.记

四面体HA8c的内切球半径和外接球半径依次为r,R,当四面体AA8C的表面积最大

时，AA=»—=.

A

36.在长方体ABC。—A8CQ中，|AB|=|AQ|=G,=点P为线段4班上的一

个动点，当P为人石中点时，三棱锥尸-AAA的外接球表面积为；当

IM+IAH取最小值时，黑=.

37.三棱锥P-A8C的底面是以4c为底边的等腰直角三角形，且人C=2应，各侧棱

长均为3,点石为棱处的中点，点。是线段CE上的动点，则E到平面A8C的距离为

；设。到平面尸8C的距离为4,Q到直线A3的距离为4,则4+4的最小

值为•

38.已知A,B,C,。是半径为4的球面上四点，E,尸分别为人民。£＞的中点，48=4",

CD=2币,则以E户为直径的球的最小表面枳为：若A,B,C,D

不共面，则四面体A8CD的体积的最大值为.

39.如图.DE是边长为2小的正二角形八水?的一条中位线,将沿7)E翻折至

△A。"，当三棱锥c-ABE的体积最大时，四棱锥A-BCOE外接球。的表面积为

;过£。的中点“作球。的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________

40.在恻棱长为2的正三棱锥。-A5C中，D4,DB,0c两两垂直，M、E分别为AC

、人B的中点，则三棱锥O-HCE的外接球的表面积为,若尸为0M上的动

点，。是平面反力上的动点，则AP+PQ的最小值是.

D

41.如图，在三棱锥S-ABC中，SB上AB，SB上BC，AB工BC,SB=AB=BC=2,PQ

分别为棱AB，BC的中点，。为三棱锥S-ABC外接球的球心，则球0的体积为

平面SPQ截球()所得截面的周长为.

42.在四棱锥P-A8C。中，底面ABC。是矩形，侧面内8是等边三角形，侧面B48JL

底面A8CQ,八8=26,若四棱锥P-A8CD存在内切球，则内切球的体积为,

此时四棱锥P-ABCQ的体积为.

43.《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖唯父子的数学研究成果.

《缀术》中提出的“缘事势既同，则积不容异”被称为祖咂原理，其意思是：如果两等高

的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理

常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆

面，侧面为球面的一部分，上底直径为4#cm,下底直径为6c7〃，上下底面间的距离

为3cm,则该卧足杯侧面所在的球面的半径是cm,卧足杯的容积是

cm，（杯的厚度忽略不计）.

44.已知菱形A3CO的各边长为2,/。=60.如图所示，将△46沿人。折起，使得点。

到达点S的位置，连接得到三棱锥S-ABC,此时S/3=3.则三棱锥S-A4c的体积

为,E是线段SA的中点，点尸在三棱锥S-A3c的外接球上运动，且始终

保持所_LAC,则点尸的轨迹的周长为

45.正方体ABC。-A8C'。的棱长为2,动点尸在对角线加7上，过点尸作垂直于E/7

的平面夕，记平面。截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为y=/（x）,设

BP=x,xe（0,2^）.

（1）下列说法中，正确的编号为.

①截面多边形可能为四边形；②/y=3夜；③函数/（"的图象关于x=G对称.

（2）当犬=石时，三棱锥P-A8C的外接球的表面积为.

参考答案:

1,如

3

3+2应

—

【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球A的体积；根据球的表面积和圆柱

的侧面积公式可求出|员I柱的侧面积与球B的表面积之比.

【详解】设圆柱的底面半径为R,小球的半径为r,且,YH,

由圆柱与球的性质知AB2=(2r)2=(2R-2r)2+(2R-2r)2,

BPr2-4/?r+2/?2=0,'.'r<R,

.•.r=(2-V2)/?=(2-V2)x24^=l.

4、4

二球4的体积为v=§"=-n.

(2)球8的表面积S,=4nr2=4n,

圆柱的侧面积邑=2欣・2R=4成2=(6+44)九,

•・•圆柱的侧面积与球B的表面积之比为小维.

故答案为：］冗；过芋.

J一

2.屈

4

【分析】根据长方体的侧面展开图可得最短距离，进而可得截面与截面面积.

如图所示，当质点经过棱。。时，”=W+A尸=在+(3+1)2=加

如图所示,当质点经过棱A2时,AP=JAD2+DP2=^32+(1+1)2=VB,

如图所示，当质点经过棱4用时，AP=jAD：+D尸=41+3)2+12=如,

所以最短距离为JB,

此时质点从A点出发，经过AA的中点E,再到达尸点，则平面的截长方体所得的截面

为梯形ACPE,如下图所示，

由已知得=EP=—,AE=—,BP=五,

22

过点E,〃分别作A4的垂线，垂足为M,N,

设EM=NP=h,RMN=EP=—

2t

故JAE，-EM?+MN+4PB'-PN?=A历

解得h=

故答案为：屈,土丝.

4

3.八18&

【分析】先判断出公共部分是两个底面重叠的正四棱锥，再计算体积即可.

【详解】公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，共八面.

底面是3行为边长的正方形，5=18,其中一个正四棱锥的高为速.

2

...V」xi8x迈x2=18及.

32

故答案为：八，18忘.

2416

4.——

525

【分析】若三棱锥9-NCD体积的最大，则。点到底面AC。的距离最大，即平面8/。_1平

面ACD,

从而可得体积的最大值；过A点在平面ACO内，引AE〃0C,得到异面直线所成角，结合

最小角定理可得结果.

【详解】三棱锥e-ACD的底面积SAC/)=6,

若三棱锥8一人8体积的最大，则。点到底面AC。的距离最大，即平面次4CJ_平面ACO,

1?

此时，力点到直线AC的距离即三棱锥的高，

・••三楂锥体枳的最大值为gIx6xI??=g24；

过A点在平面ACO内，引AE〃OC,

则N3XE为异面直线八房与C。所成角，

又平面B'AC±平面ACD,

根据最小角定理可得COSNB'AE=cosZB'AC-cosZ.ACE=cosAB'AC-cosZACD吧V

辽公生“2416

故答案为：—»—.

J4J

【分析】六面体为两个正四面体的组合体，易得其体积，用体积法求得内切球的半径后可得

球体积，即为所求最大值..

【详解・】易得该六面体为两个正四面体的组合体’所以体积为〃=21・"[3苧=竽;

设该六面体的内切球的半径为J则V=gS•r（S为该六面体的表面积），

S=6x立x3?=生叵，所以r=则该六面体的内切球的体积为"，=蜒乃；

42V3327

故答案为：辿；学乃.

227

「r~14万

6.8j64-^―

【解析】利用题意知R="，利用球的体积公式可得结果；设球心。到平面AE”得距离为

d,截面圆半径为，由等体积法即可得1=生5,利庄勾股定理即可得到产，即可得出结

3

果.

【详解】

由题设知球心。为PC中点,

AE=O、AF=2厄EF=瓜

则AE2+EF2=AF2，

・••球。直径=方K=2而=R="，

%—8\/6/r,

设球心0到平面AEF得距离为d,截面圆半径为「,

由题设球心0到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离,

由等体积法得,

^O-AEF~VE-ABF，

—x—x>/2X>/6X6Z=—X—x2x2xl,

3232

求得〃岑

->打，j2/414

r'—R~-d~—6—=—

33

故截面面积为手

147r

故答案为：8后,

【点睛】本题主要考查了球的表面积和体积公式，属于发易题.

3

7.327r-##0.75

4

【分析】笫一空，作辅助线作出四棱锥的高，并求出其攵，确定外接球的球心，可得半往,

求得答案;

第二空，用向量表示必=PO+P8-PC，结合已知可得必=/PG+qPE—2刊"根据空间

四点共面的结论可得/+g-2=l,求得3继而求得答案.

【详解】第一空，设AC,8。交于点O,连接P0,

由于尸-A8CO为正四棱锥，故尸。为四棱锥的高，

由底边和侧棱长均为4可得，OA=OB=OC=OD=2y/2,

PO7PA2-OA，=也12&)2=2叵,

即点。到点力的距离相等，故。即为该正四楼锥的外接球球心,

则外接球半径为2灰，故外接球表面积为4兀X(2&)2=32TT；

第二空，PA=PD+DA=PD+CB=PD+PB—PC,

——5—

设PO=tPGMPA=iPG+yPF,

J

54

由于点A£EG四点共面，故，+]-2=1,解得/=；,

故PD=

*嘘=4

3

故答案为：32兀；—

4

8.12兀后-6

【分析】过侧棱的中点作止三棱柱的截面，即口J得到球心为例NG的中心，在止cA/NG中

求出内切圆的半径即内切球的半径，从而求出球的表面积，再求出三棱柱的顶点到球心的距

离，即可求出球面上的点到顶点的距离的最小值；

【详解】解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为的中心，

因为MN=6,所以一MNG内切圆的半径厂=；JMN’-H#=,

即内切球的半径R=石，所以内切球的表面积S=4^=12^-,

又正三棱柱的高A4,=2/?=26，

所以0M=：。"=2石，所以A0=JOM，+4M2=42可+（可=屈,

所以A到球面上的点的距离最小值为40-R=JF-6：

故答案为：12打；y/l5-y/3

9.36nx/34n

【分析】由题，先得出三棱锥P-A8C为直三楂锥，则其外接球相当于以E4、PB、PC为梭

的长方体的外接球，则直径为长方体的体对角线，则可求外接球表面积;

要使=尸C,则他在N8PC的角平分面上，则M的轨迹为圆，利用长方体的性质，

求出球心到角平分面的距离，即可求出M的轨迹圆的半径，即可求M的轨迹长

【详解】由AQ_L平面P8C,PBJ.PC得,三棱锥尸-A8c为直三棱锥，其外接球相当于以

PA.PB、PC为棱的长方体的外接球，故外接球半径为^历丁丽I记'=3,故三棱锥

P-/WC外接球的表面积为47rx3?=36兀；

如图，PC中点为F,则易得以小、PB、PF为棱的正方体PAGF-BDHE,由正方体的对

称性，要使NMFB=/MFC,则M在N8PC的角平分面上，即面RV7E,故M的轨迹为面

PAHE与外接球相交出的圆.

取AP、HE中点」、J,由正方体的对称性易得面•亩外腔，且

22

OJ=-PB=\>IJ=yl2+2=2>/2,0/=仓+产=石,故

2

cos/〃0=l+（2后）T、E）=叵,故〃上的高力=OJ-sinN〃O=l-Jl一（变］=—，故

2x1x2无2VV272

M的轨迹圆的半径/=卜（孝=与，故轨迹长为2口=师.

故答案为：36兀；y/34ji

00o

10.##6-2V2^2^

【分析】第一空，将该多面体置于正方体中，由此可知该阿基米德多面体是由正方体切掉8

个全等的三棱锥形成，由此可求得其体枳；

第二空，结合阿基米德多面体的外接球刚好是补形后正方体的棱切球，再求例，N两点间

距离的最大值即可.

【详解】依题意，可将该多面体补成一个棱长为2的正方体，如图，

所以该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成,

其体积V=8-8x』xLxlxlxl="

323

该阿基米德多面体的外接球刚好是正方体的校切球，即与正方体的各条校相切于棱的中点的

球，

该球直径为2&，而M，N两点间距离的最大值为外接球的直径，

则”=2&,

故答案为：§;2\J1.

”52G

11.—n-

427

【分析】将四面体补成长方体，再根据长方体体对角线即为球的直径计算球的表面积即可,

将四面体体积表示成关于c的函数表达式，利用导数求其单调区间从而确定其最大值

【详解】如图将四面体ABCO补成一个长方体

a2+/r=—

2、_

则+c2=1,/.2a2+2从+2c2=-,/.a2+b2+c2=-,

,2->24

b-+c~=tI

工外接球直经2r=S=4nr2=n(6z2+/?2+c2)=|n.

a2+c2=\匕一se=abc-；〃bcx4=-c2)c=；(c-c)

则a=b,

b2+c2=1

=/'(c)=；(l-3c2)=0,c=g

JJD

〃c）在（吟『净卜,《）一惇卜曝

•2.O苧〃

【分析】利用乙4尸瓦=乙4。4，转化为求乙4。名的正切值；先确定点。的轨迹围成的封闭

图形为圆，在用面积公式计算.

ADL

【详解】tan/.APR,=tanZ.ADB,=—^=V2.

AD

由正方体ABC。-A冏GR知人用1平面ABCR,

又点尸满足APIABit所以点P在平面A8C。内运动，

如图，连接A8,AB1交于点。，连接PO,PB、,PA

由对称性，ZAPO=ZB“,

所以tanZA/当=2tan,,,9=a,解得tanNAPO=近一亚

1-tan-ZAPO2

AOx/3+1

所以PO

tanZAPO2

所以点尸的轨迹围成的封闭图形是以点。为圆心，叵比为半径的圆,

2

所以面积5=〃？

口2石2()&乃

13.----------------

53

【分析】取8c的中点E,连接人E和。E,得到。E_L8C,DE=0设A到平面8CQ的距

离为〃，根据％即可求得点A到平面8CO的距离，再结合球的截面圆的性质，

求得外接球的半径，利用体积公式，即可求解.

7T

【详解】如图所示，因为/D48=ND4C=X,可得D4_LA8,D4J.AC,

2

又因为A8cAC=A,所以人。_1_平面ABC,

由A6=AC=AD=2,可得BD=CD=2VI,8C=26，

取4c的中点E,连接AE和OE,

在直角.8DE中，可得DE=ylB!f-BE?=亚，旦DE_L8C,

设A到平面BCD的距离为力，

又由％-ACO=匕一seo，即！x[x2x2sinyX2=！X[X2&XG〃，

解得力=乎，即点A到平面8co的距离为乎.

在AACD中，BC=2区/BAC=Z,

3

o——

设△人BC外接圆的圆心为。|,半径为，可得外接圆的直径为「£一

sin——

3

可得r=2,即4Q=2,

设外接球的球心为。，半径为因为八OJ_平面A8C,且人力=2,可得。&=1

在直角中，可得叱=4。：+。。：=22+12=5,可得R=6，

所以外接球的体积为邛/

故答案为：空

5

14.4兀五

【分析】由线面垂直的性质可确定E为P3中点，利用线面垂直的判定可证得A/_L平面P8C,

从而得到由此可得、AE尸外接圆半径，则外接球半径R=J(；AE、+(gPE)，

由球的表面积公式可求得三棱锥P-A律外接球的表面积；利用基本不等式可求得从「四

的最大值，并确定取等条件为A£=E/=1,可知此时三棱锥P-AEF体积最大；由

..FEPBCP可求得BC,勾股定理可得AC,由tan/BAC=箓可得结果.

【详解】平面a_L〃8,平面a,.•.P8J.AE,PBA.AF,PB工EF；

\-PA=AB=2,.•/为PB中点,PB=2叵，:.PE=AE=y/i;

(5八8为|员|0的直径，「.47_1_8。；

小JL平面A8C,〃。€=平面48。，..幺_1_8。；

又PAC|AC=A,口4,4。仁平面抬。，」.8。_1_平面24。，又A/u平面PAC,

.•.AF上BC,又P8,BCu平面PAC,P4c8C=B,.5歹，平面PAC,

又Mu平面PBC,「.A尸JL£F,尸的外接圆半径为,4£：=巫，

22

••・三棱锥尸-A放的外接球半径R=J(g4E)+(3尸/=J；+g=l,

二•三棱锥P-AEF的外接球表面积S=4/rR2=4万.

AF1EF,:.AF2+EF2=AE2=2>2AFEF(当且仅当4"=£F=1时取等号),

:.AFEF<\,

・・・当A产=£F=1时，..A£F面积取得最大值，

又PEJL平面AM,=...当4尸=石尸=1时，三棱锥P-AEF体积最大;

・・・%=2，/.PF=yjp^-AF2=y/3»

PEPFEF

-PBA.EF,BC工CP,:uFEP一BCP,~PC~~BP~~BC

“PEBPV2x2x/245/3“EFBPlx2及2任

-.1C=-------=------7==-----9BC=-------=----7==-----9

PFg3PF想3

2x/6

22

/.AC=>JAI3-BC=—,又ACJL3C,••.tan/ZMC=^=VT=&.

3AC2V3

3

故答案为：4/r；y/2.

【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥外接球表面枳的求解、三棱锥体积最值的求解等知识;

求解三棱锥外接球表面积的关键是能够利用线面垂直的性质确定三棱锥底面为直角三角形,

且一条侧棱垂直于底面，可知三棱锥外接球半径氏=，,+(9)一,其中「为底面直角三角形

外接圆半径，〃为垂直于底面的侧棱的长.

内&2x/3

23

【分析】作A例_LPC，垂足为M,作MH工PC,MhPC,连接■、AH,即可得到

平面八砧"即为平面。，再根据线面角的定义NPAM即为以与。所成角，求出线段的长

度，即可求出所成角的止切值，再求出截面面积即可;

【详解】解：作AMJLPC，垂足为M,作MFI.PC,连接AT、AH,则平

面/t&l"/即为平面。，

因为尸CJL平面ARWH,所以NQ4M即为Q4与a所成角,

底面A3CO是边长为2的正方形，所以AC=2立，尸人，底面/WC。，PA=2,所以

PC=^22+（2V2）r=26

由等面积法可得S.=〈x2&x2=：x26.4M,解得4M=冬区,

223

PMPA所以吟霜事

由对称性可得到FH//RD,在△中.

"PA~~PC

2出

所以tanZPAM=—=-^==—,

AM2限2

丁

又PC=20P/）=2&，CD=2,所以尸02=7^2+82,故/汽心=90。，

在中，器=等所以加喘二日

所以H为尸。的中点，同理可得广为心的中点，

在APBD中,粤二，所以FH=；BD=g,

BD22

所以棱锥Q-AAC/)截平面。所得截面的面积为5"卬,='人知/”=\娅*&=述

AhMH2233

故答案为：#-¥-

16.

2244

【分析】①首先找到四面体ABC。外接球的球心，再作H二面角A-8£>-C的平面角，即可

求得二面角A-BQ-C的大小：②首先确定AA7的最小值即为产的边。尸上的高，再利

用余弦定理解三角形即可求得AM的最小值.

【详解】分别取8。、C。中点E、F,连接ERAE,AF

由△A3。和△8CO都是等腰直角三角形，ZBAD=ZCBD=；.

可得AE_L8DEFA.BD,则NA律为二面角A—8O—C的的平面角

又由△A8。和ABCD都是等腰直角三角形，AB=O,/BAD=ZCBD=:.

可得8。=BC=2,4E=EF=1,BF=CF=DF=0，

①若四面体A8CO外接球的表面积为8叫可得四面体ABC。外接球的半径为血

由6=2应和NCBD=p可知LBCD在四面体ABCD外接球的大圆上,

则尸为四面体A8C。外接球的球心，贝汁4/=血

-AE尸中，AE=EF=1.AF=4i，则有AE?+£F?=人产？

则NA律即此时二面角A—AO—C的大小为:

22

②若二面角4一8。一。为与时，则乙位二三,

又AE=EF=1,贝IJA/=1

点M为线段CO上一点，则/W的最小值即为尸的边。厂上的高

八八「2+2-13

ADF中cosZADF=--T=-大=-

A2xV2x5/24

又0<NA£*<?t,则sin/A。/=41一3?=V7

4；4

则一ADF边。尸上的高为A。sinZADF=>/2x^=—

44

则AM的最小值为当

故答案为:3f

苴

由11

一-

3##36##6x/3

【分析】推导出4A，平面A6C,设A4,=x,可求出4乃、A。的长，计算出5—,可求

得匕相/。=3匕〜c，结合基本不等式可求得三棱柱MC—A/G体积的最大值及其对应的

工值.

【详解】在三棱柱44C—Age中，BBJ/A*因为人"_18与，则4A_L,

因为4A_L4C,A"BC=B,AA,平面A/C,

因为AB=1,AC=6,BC=y/3,则4夕+人。2=8。2,,.AB±AC,

CCJ/A4t且CC]=AA],所以，％-A/C=匕-AHC,

所以，KS-BCC,^=2^\-BCC,=2%一48(7=2匕一”c,

故匕8C-A8C=匕-A8C+匕…gB,=3匕Y8C，

222

设AA=X,!|I|JAiB=^AB--AA；=Vl-x,A,C=^AC-AA；=j2-x,

所以c°s4AC=纶*C*=-—^_.

加以'2A&ACJ(12)(2_.[

2-3x2>0

1~~JV?>02

由已知可得二2A，可得。</<彳，

2-x*>03

>0

•/)"

所以，=-A«-ACsinZBA.C=

xV2^37_>2(2-3-r)

所以‘^.=3V^=S./U

CW1CMBC2~2x/3

3f+2-3/£

--截―一不‘

当且仅当3f=2-3/时，即当x=3时，三棱柱ABC-ABG体积最大，且最大值为正.

36

故答案为：立；史.

36

18.6-42

【分析】延长MG与AA延长线交于点K,连接KN确定点〃，再利用堑堵ABC-A,4c的

结构特征列式计算即得；利用空间向量加法及数量积计算作答.

【详解】如图，延长MG,交4A的延长线于K,连接KN,显然KNu平面MNG,KNu平

面A3A，

因此，平面MNG与AB的交点”，即为KN与AB交点,

I

3-2

KAAG--

在堑堵43。-446中，，46//42，则13-

2-

又扬V=』AA，则必=64N,而必〃4N,于是得必=必=6,所以AH=9AB=6,

33BHNB7

因AA_LAB,AM_LAB,所以“M•AB=(HA+A4,+A“)・A8=AB=-6x7=-42.

故答案为:6；-42

【点睛】结论点睛：首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终

点的向量.

19.1(O.1)J(1,回

【分析】如图建立空间直角坐标系，设跖=AE=p(〃〉0)、C(x,y,0),根据空间中两点的

距离公式得到轨迹方程，再根据轨迹的特征求出参数的值；

【详解】解：如图所示，作点8在平面。上的投影点E,连接4七和CE,显然3E1平面a.

以E为坐标原点，EA*£8分别为1，z轴的正方向，作EylEA,

以Ey为轴正方向，建立空间直角坐标系七一冷2.

B

由于直线A8与平面仪所成角为45。，所以BE=AE.

设8E=AE=p(〃>0),则A(p,O,O),8(0,0,p)；

设。(MFO),则4=M=而_〃)，广&=。。|="』+)，2十〃2

故

2222222222

4=md2<=>^(x-p)+y=myjx+y+p'<=>(in-1)x+(//z-1)>'+2pj+(z??-1)p=0

(*)

显然，m>0.

(1)当帆=1时，(*)式=x=O,即点C的轨迹为直线4.

若上式表示圆的方程，则1-(苏_])2>(),