北京市延庆区高考一模考试数学试题（理）含解析试卷分析

延庆区2015—2016学年度一模统一考试

高三数学（理科）2016年3月

本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.若集合4={X[0KX<2},B={X|%2>1},则ACI8=（）

A.{x|O<x<1}B.{x|x>0或％<—1}

C.{x|l<x«2}D.{A,|0<X<2）

2.更数2_=（）

1+/

A.14-ZB.1—ZC.-1+iD.-1—Z

3.已知两条直线。泊和平面a,若alAboa,则是“Z?〃c”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某三楂锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长楂的长为（）

A.6二、

B.6

正（主》视图供1（左）视图

C.2S19F1）

D.75

<4底留）

5.执行如图所示的程序框图,若输出的，，的值为15,则判断框应填写（）

A.2B.3C.4D.5

/=0,a=0

<----fl=2a+l

。个

1|

/输事〃/

丽（5题图）

6.已知等比数列｛«,｝的公比4",则下面说法中不氐硬的是（）

A-伍”+2+4｝是等比数列B.对于AeNZA>1,&T+&+|W24

C.对于〃eN・，都有可%+2>0D.若则对于任意〃wN・，都有《川>4

7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015

年一季度全市生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中

其它数据类同）.根据统计图得出正确判断是（）

A.近三年该市生产总值为负增长

B.近三年该市生产总值为正增长

C.该市生产总值2013年到2014年

为负增长，2014年到2015年为正增长

1冬及2季巡3季晚4靠度1季度2季度3季晚4季度1季度

D.以上A、B、C的判断都不正确

2013年2014亚2015年

8.已知偶函数/（幻，奇函数g（x）的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程/（g（x））=（）,

g（/*））=0的实根的个数分别为。/，则。+〃=

A.3

B.7

C.10

D.14

第n卷（非选择题）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.某校高一学雷锋志愿小组共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，现在从中任选

3人，要求每班至多选1人，不同的选取方法的种数为.

10.2022年冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。小明想测量一下小海坨山的高度,

他在延庆城区（海拔约5。0米）一块平地上仰望小海坨山顶，仰角15度，他向小海坨山方

向直行3400米后，再仰望小海坨山顶，此时仰角30度，问小明测的小海坨山海拔约有

米.

11.如图，在边长为。的正六边形A8CO由中，AECA=.

（11题图）

12.如图，半径为2的0。中，ZAOB=90,。为。8的中点，A。的延长线交

。。于点，则线段OE的长为.

（12题图）

13.等差数列伍，中，已知。225,外（3,则应能取得最_（大或小）值为—.

14.若动点P在直线4：x-），—2=0上，动点。在直线4：x—y-6=O上，设线段PQ的中

点为M（Xo，）b），且（%-2尸+（）b+2）Y8,则玉/+打？的取值范围是.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知函数/（x）=^sin2x-cos2x-^

（I）求f。）的最小正周期和单调增区间;

（II）当xe［一看，着］时，求函数/（幻的最小值和最大值•

16.（本小题满分13分）

在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙

两种水稻随机抽取各6株洋品，单株籽粒数制成

如图所示的茎叶图：

（I）一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？（II）

分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为。，乙品种中选出的籽

粒数记为人，求。之8的概率.

(川)如从甲品种的6株中任选2株，记选到的超过187粒的株数为求J的分布列和数

学期望.

17.(本小题满分14分)

如图，已知在四棱锥S—A3CQ中，底面A8CO是边长为2的菱形，ZABC=60,

侧面SA。为正三角形，侧面SWJJ氐面ABC。，E为线段AO的中点.

(I)求证：5£_1_底面八8。'。；

(H)求证：二面角A-S8-C为直二面角；

(III)在侧棱防上是否存在一点M,使得8。_L平面MAC?如果存在，求丝•的值;

如果不存在，说明理由.

18.(本小题满分13分)

x

已知函数f(x)=e9xeR.

(I)求函数/(x)在x=l处的切线方程:

(H)若〃?>0,讨论函数g(x)=/(x)-机(XT)?零点的个数.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆G:二+二=1（。＞人＞0）的长轴长为2啦，离心率e二立.

cr从2

（I）求椭圆G的方程：

（H）设过椭圆G的上顶点4的直线/与椭圆G的另一个交点为8,与x轴交于点C,线

段A8的中点为。，线段A8的垂直平分线分别交x轴、y轴于P、。两点.问：是否存

在直线/使APOC与APOQ的面积相等（。为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的

直线/的方程：若不存在，说明理由.

20.（本小题满分13分）

已知数列｛4｝满足q=q(q=0),对任意"z、〃eN"都有q,”=ant-ap.

从数列｛q｝中取出部分项，并将它们按原来顺序组成一个数列，称之为数列｛q｝的一个

子数列.

（I）求（：

（II）求数列｛%｝的通项公式：

（HI）证明：当夕＞（）且qwl时，数列｛%｝不存在无穷等差子数歹U.

延庆区2015—2016学年度一模统一考试

高三数学(理科答案)2016年3月

一、选择题：(5^x8=40')

CAADCDBC

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.3210.2200米11.--a212.—13.大，一114.[8,16]

25

三、解答题：(5&6=30’)

15.(本小题满分13分)

初/I、、l+cos2x1

解：(I)/(X)=——sin2%-------------•••2分

222

省•019.

=——sin2x——cos2x-1

22

=sin(2x---)-1•••4分

所以，/(x)的最小正周期为7=—=".1,,5分

2

71TC71

由----F2k兀«2x---4—+2k7t(kGZ),•,6分

262

717t

得——+k7t<X<—+k7T(kGZ)-7分

63

/'(x)的单调增区间为[一工+^r,2+GZ).…8分

63

/ii、上r兀5"[r»-i-c兀2冗、

(H)当[一二，一]时，2x--el--,—J,…9分

1212o33

JTTT7T

所以，当2x—-二一，即1=一时，/3)取得最大值0；-11分

623

当2不一?二一5,即冗=一自时，/(x)取得最小值一1一/-.......13分

16.(本小题满分13分)

解：(1)甲种水稻样本单株平均数为182粒，把样本平均数看做总体平均数，则甲种水稻

亩产约为0.000Ixl82x60000=1092公斤.2分

6+2x5+2x25

(II)P(a2b)=.....7分

6x69

(III)J的可能取值为0,1,2,

8r2।

。("2)=浸=一

15C；15

.....13分

515153

17.（本小题满分14分）

（【）证明：因为SA。为正三角形，E为线段AO的中点，所以SE_LAD,

又因为侧面S4O_L底面A3CO,侧面S4。、底面A3CZ）=A。，SEu平面S4O,所

以，SE_L底面A3CQ......3分

（H）证明：如图，取0B、。。依次为x轴、y轴建立空间直角坐标系.

则4。-。）、8（"。,。）、C（。』,。）、S（-卓J,a-

证明一：8s=（-乎

,-；,拒),丽=(-4-1,0),8—,1,0),

设平面S8A的法向量为m=（&,）［,zj,平面S3C的法向量为〃=*2，M，Z2），

m_L8S=m-BS=0<=>；y+y/3zt=0,....①

m-LBA<=>m-=0<=>一y=0,...②

取x=l,由①②解得乂=二万1=1,所以〃Z=H,一百,1)；.....7分

3yj

m上BSom•BS=0o——x2-—y2+\/3z2-0,.......③

m±BC<=>tn-BC=0o-y/3Xy+%=°，...④

取工2=1，由③。解得%="z2=2,

所以〃=（1,百,2）......9分

因为〃?•〃=1x1—x6+1x2=0,

所以平面S8A_L平面S8C,

所以，二面角A-SB-C为直二面角.......10分

证明二：取S8的中点为尸，因为48=AS=2,所以4/_L8S,

所以A/_LBC,

又BS,BCu平面SBC,BS‘BC=B,

所以A/_L平面SBC,

又AFu平面584,所以平面SB4_L平面SBC,

所以，二面角A—SB-。为直二面角.......10分

(III)假设存在满足题设的点M，设M(x,y,z),跑=2,

BS

则=X3S,UPU-V3,y,z)=A(--,

“22

解得M(———A+乖),—%>/§1/),

22

则OM=(—述丸+后,一......12分

22

向量BD的方向量为i=(1,0,0),i-OM=--2+6=0,

2

解得4=2......13分

3

2

当丸=一时，QMJLB。，又5OJLAC,所以8。_1_平面M4c.

3

所以，在棱S4上存在一点M,使得3DJL平面MAC,—=.....14分

BS3

18.(本小题满分13分)

解：(I)/(x)=e*,/'(l)=e,切点为(l,e),

则切线方程为y-e=u(x-l),即ex-y=0......3分

(II)函数&*)=/1)一机(1一1尸零点的个数即是方程/")一〃心一1)2=0根的

个数，等价于两个函数〃与函数y=m图象交点的个数.…4分

U-1)''

gA(3)

/2(x)=V.....5分

X

当X£(-8,0)时，h(A)>0,/?(x)在(-OO,0)上单调递增；......6分

当XG(0,2)时，/?(x)<0,,力(幻在(0,3)上单调递减；7分

当X£(3,+8)时，/⑶>(),,〃(外在(3,+8)上单调递增，8分

Ah(x)在(0,+co)上有最小值为力⑶=—9分

4

当〃2W(0,J)时，函数/?(1)=一--与函数y=〃?图象交点的个数为1；…10分

4(x-1)

当w=?时，函数/?(/)=1幺/3■与函数y=〃?图象交点的个数为2；.......11分

3X

当团£(一,+8)时，曲函数h(x)=——与函数y二6图象交点的个数为3.

4U-1)-

12分

综上所述，当〃?E(J,+8)时，函数g(X)有三个零点;当m=J时，函数g(x)有两个

44

零点;当"76(0,J)时函数g")有一个零点.]3

4

19.(本小题满分14分)

解：（I）,/2a=2V2,—=9:.a=5/2,c=1.

a2

护=a

G:----Fy2=1.

2・

(II)假设满足题设条件的直线/存在，则宜线/的斜率存在且不等于零.

由(I)知4(0,1),设直线，的方程为y=H+l.5分

令…，解得嘉

7分

y=kx+\

•f消去），，得（2公+1）/+4左、=0,8分

—+y2=1

12'

・3肃?♦・•9分

I12k

直线PQ的方程：),一内=一工(》药)，10分

.』°,一蛙711分

2|%|（1+