（寒假）人教版数学七年级寒假精讲精练10 实数+随堂检测（原卷版）

第页09实数知识点一知识点一无理数的概念◆1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数.◆2、常见的无理数的三种形式：(1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，π2(2)开方开不尽的数，如：，等；(3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等.知识点二知识点二实数的概念和分类◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.◆2、实数的分类：（1）按定义分类.（2）按性质分类.知识点三知识点三实数与数轴的关系◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.◆2、◆3、实数的大小比较①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；②两个正实数，绝对值大的数较大；③两个负实数，绝对值大的数反而小.知识点四知识点四实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.◆1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.

◆2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则|a|=知识点五知识点五实数的运算◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.

◆2、◆3、实数的运算律.①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交换律：ab＝ba；④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.题型一无理数的识别题型一无理数的识别【例题1】下列各数中，无理数是（）A.π2B.16C.0.25D.解题技巧提炼（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数；（2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环.【变式1-1】在实数﹣2，117，9，3−27，11中的无理数是【变式1-2】下列实数中，不是无理数的是（）A.2 B.π C.33 D.﹣【变式1-3】下列说法错误的有（）①无限小数是无理数；②无理数都是带根号的数；③只有正数才有平方根；④3的平方根是3；⑤﹣2是（﹣2）2的平方根.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式1-4】下列语句正确的是（）A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数 C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数【变式1-5】下列一组数：﹣8，2.7，237，π2，0.66666…，0，2，0.080080008A.0个 B.1个 C.2个 D.3个题型二实数的分类题型二实数的分类【例题2】把下列各数的序号填在相应的横线上：①﹣3.14，②2π，③−13，④0.618，⑤−16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨227，⑩﹣整数集合：{……}；分数集合：{……}；无理数集合：{……}.解题技巧提炼本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有理数中找整数及分数.【变式2-1】实数−13，−6A.﹣1 B.−6 C.0 D.【变式2-2】下列实数：2，39，1，94，π2，−A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【变式2-3】下列说法正确的是（）A.实数包括有理数、无理数和零 B.有理数包括正有理数和负有理数 C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 D.无论是有理数还是无理数都是实数【变式2-4】下列说法中错误的是（）A.3−27是整数 B.−17C.33是分数 D.9【变式2-5】把下列各数分别填入相应的集合内：33，−4，25，49，−3【变式2-6】在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中.−15，39，π2，3.14.−327，0，﹣5.123456（1）有理数集合：{…}；（2）无理数集合：{…}；（3）正实数集合：{…}；（4）负实数集合：{…}；题型三实数和数轴的关系题型三实数和数轴的关系【例题3】实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A.a＜0 B.a＜b C.b+5＞0 D.|a|＞|b|解题技巧提炼根据“实数与数轴上的点一一对应”及“在数轴上右边的点总比左边的点表示的数大”，我们可以把各数在数轴上表示出来，利用数形结合思想计较实数的大小.【变式3-1】实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，则b的值可以是（）A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.3【变式3-2】若将三个数−2，5，10表示在如图所示的数轴上，则被墨迹覆盖的数是三个数中的【变式3-3】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，2.【变式3-4】如图：数轴上表示1、5的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（）A.5−1 B.1−5 C.5−2 【变式3-5】如图，有一个半径为12个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数；若点B表示的数是−10，则点B在点A'的（填“左边”、“右边”【变式3-6】如图，数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等，若点B表示1，点C表示7，则点A表示的数是.【变式3-7】如图，已知实数−5，﹣1，5，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D（1）求点C与点D之间的距离；（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值.题型四实数的大小比较题型四实数的大小比较【例题4】在﹣1，0，π，3这四个数中，最大的数是（）A.﹣1 B.0 C.π D.3解题技巧提炼1、①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小.2、比较实数大小比较的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方法（或立方法）（脱去根号比较）.当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数，也可采用近似值的方法来比较大小.【变式4-1】在3，−3A.3 B.−3 C.0 D.【变式4-2】三个数﹣π，﹣3，−3A.﹣3＜﹣π＜−3 B.﹣π＜﹣3＜−3C.﹣π＜−3＜−3 D.【变式4-3】设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，a，1aA.1a＞a＞a＞a2 B.a2＞a＞【变式4-4】比较2，5，37A.2＜5＜37 B.2＜37＜5 C.【变式4-5】比较大小：−3﹣1.5【变式4-6】比较大小：21135.【变式4-7】比较大小：3−1212，32题型五求一个的数的相反数或绝对值题型五求一个的数的相反数或绝对值【例题5】实数−3A.3 B.−33 C.−3 解题技巧提炼1、求一个数的相反数时，结果符号相反、绝对值不变；即数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.

2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.【变式5-1】2的相反数是（）A.−2 B.2 C.12 D【变式5-2】|−2A.−2 B.2 C.﹣2 D.【变式5-3】填空：（1）5的相反数是，绝对值是；（2）3−1的相反数是，绝对值是（3）若|x|=3，则x＝【变式5-4】5−2的相反数是；81的平方根是【变式5-5】下列各组数中互为相反数的是（）A.﹣2与(−2)2 B.﹣2与3−8 C.2与（−2）2 D.【变式5-6】已知31−3b与32a+1互为相反数，求3﹣6a+9b【变式5-7】已知|x|=5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值题型六有关数轴与绝对值的化简题型六有关数轴与绝对值的化简【例题6】实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|−aA.2a﹣b B.b﹣2a C.b D.﹣b解题技巧提炼本题给出数轴上一些实数，求一些含绝对值的式子的和,方法是先去掉绝对值符号，再进行合并计算.【变式6-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|3−b|+|a+3|+a2的值【变式6-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简(a−b)2−|a+c|+【变式6-3】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.试化简：c2+|a+b|+3(a+b)3【变式6-4】实数a，b，c表示在数轴上如图所示，完成下列问题，试化简：(a−c)2【变式6-5】如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示3，设点A所表示的数为m.（1）实数m的值是；（2）求（m+2）2+|m+1|的值.题型七实数非负性的应用题型七实数非负性的应用【例题7】已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+5−c=（1）求实数a，b，c的值；（2）求a−3b+c的平方根.解题技巧提炼几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方程，运用方程思想求相关字母的值.【变式7-1】已知m，n是实数，且2m+1+|3n−2|=0，求m2+n2的平方根【变式7-2】已知|a+1|+3a−2b−1=0，求4a+5b2【变式7-3】若a−12b+|b3﹣【变式7-4】已知|a|+a＝0，且|a2﹣1|+（b﹣2）2+3−c=0，求a﹣b+4c【变式7-5】已知|2a+b|与3b+12互为相反数.（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0.题型八实数的运算题型八实数的运算【例题8】计算：（1）|10−3|+|10−4|+3解题技巧提炼实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实数同样适用，在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.【变式8-1】计算|3A.1 B.±1 C.2 D.7【变式8-2】计算：﹣12+352+【变式8-3】计算：﹣22+36−3−64【变式8-4】计算：（1）(1−2)2+3(−2)3+17【变式8-5】计算：（1）−12020+364【变式8-6】已知a=|3−6|+|1−3|−|09实数随堂检测1.以下四个数：−2，3.14，22A.1 B.2 C.3 D.42.现有4个数：﹣3.5，−2，π，﹣22，其中在﹣A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.如图，7在数轴上对应的点可能是（）A.点E B.点F C.点M D.点P4.以下几种说法：①每一个无理数都可以用数轴上的点来表示；②近似数1.70所表示的准确数x的范围是1.695≤x＜1.705；③在数轴上表示的数在原点的左边；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.估计实数7+1A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间6.2+A.2+3−2