（预习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测09 简单几何体的表面积与体积（原卷版）

第页专题09简单几何体的表面积与体积思维导图核心考点聚焦考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积考点五：球的表面积与体积（外接球）考点六：球的表面积与体积（内切球）考点七：球的表面积与体积（棱切球）知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底·高棱锥平面多边形三角形面积=·底·高棱台平面多边形梯形面积=·（上底+下底）·高知识点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1、圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．（2）圆柱的表面积：．2、圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．（2）圆锥的表面积：S圆锥表．3、圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=．（2）圆台的表面积：．知识点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．知识点三、柱体、锥体、台体的体积1、柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh．2、锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．综上，锥体的体积公式为．3、台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是．综上，台体的体积公式为．知识点四、球的表面积和体积1、球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．（2）球的表面积设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍．2、球的体积设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为．1、正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a22、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝2a3、长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝a24、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\r(3)a．5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝eq\f(\r(6),2)a．6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．考点剖析考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积例1．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.例2．如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．

例3．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积．变式1．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积例4．已知正六棱柱最长的对角线长为13cm，其一个侧面的面积为，求棱柱的体积.例5．已知长方体中，，求：

(1)长方体表面积；(2)三棱锥的体积．例6．如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．

(1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；(2)求六棱锥的表面积和体积．变式2．已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1．求(1)该四棱台的侧棱长(2)该四棱台的体积变式3．如图，在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2.（1）求此正四棱台的侧面积；（2）求此正四棱台的体积.考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积例7．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（

）A． B．C． D．例8．已知圆台的上、下底面面积分别为和，高为，则圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．例9．如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

(1)若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；(2)试求圆柱侧面积的最大值.变式4．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.(1)求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；(2)如图，若圆锥中内接一个高为的圆柱，求该圆柱的侧面积.变式5．如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长为15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升）考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积例10．如图，高与底面直径相等的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆锥与圆柱的体积之比为．例11．圆台的上、下底面半径分别是，，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是.例12．圆锥的高扩大到原来的倍,底面半径缩短到原来的，则圆锥变化后的体积与原体积的比值为.变式6．圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是.考点五：球的表面积与体积（外接球）例13．如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（

）

A． B． C． D．例14．直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（

）A． B．1 C． D．例15．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则（

）A． B． C． D．变式7．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（

）A． B． C． D．变式8．某正方体的外接球体积，则此正方体的棱长为（

）A．6 B．3 C． D．考点六：球的表面积与体积（内切球）例16．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为.例17．一个正四面体表面积为，其内切球表面积为S2.则=.例18．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．变式9．棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（

）A． B． C． D．变式10．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（

）A．4 B．16 C．8 D．64考点七：球的表面积与体积（棱切球）例19．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是．例20．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为．例21．在棱长为的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是（

）A． B． C． D．过关检测一、单选题1．已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．2．如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高为的圆柱，上、下两端均是半径为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为（

）A． B． C． D．3．已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为（

）A． B． C． D．4．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．5．若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（

）A． B． C． D．6．已知棱长为2的正方体的体积与球的体积相等，则球的半径为（

）A． B． C． D．7．某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④8．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（

）

A． B． C． D．以上都不对二、多选题9．已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（

）A．圆锥的母线与底面所成角的余弦值为B．圆锥的高与母线长之比为C．圆锥的侧面积与底面积之比为3D．球的体积与圆锥的体积之比为10．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（

）

A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）

A．圆柱的侧面积与球的表面积相等B．圆锥的侧面展开图的圆心角为C．圆柱的表面积为D．圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和12．若某正方体的棱长为，则（

）A．该正方体的体积为5 B．该正方体的内切球的体积为C．该正方体的表面积为30 D．该正方体的外接球的表面积为三、填空题13．已知正三棱锥的内切球半径为l，若底面边长为，则该棱锥体积为.14．“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，边长分别为和，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，那么这个“升”的“平升”可以装mL的粮食．（结果保留整数）15．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为．16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是．四、解答题17．正四棱锥的底面边长为4，高为1，求：(1)求棱锥的体积和侧棱长；(2)求棱锥的表面积．18．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．

(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）19．如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点．(1)求四边形的周长；(2)求多面体的体积．20．如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．(1)求该几何体的体积；(2)求该几何体的表面积．简单几何体的表面积与体积随堂检测1.已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（

）A． B． C． D．2.已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．3.以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（

）A． B． C． D