（寒假）人教版数学七年级寒假精讲精练01 相交线+随堂检测（教师版）

第页01相交线知识点一知识点一邻补角、对顶角的概念及其性质◆1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.◆3、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°.◆4、对顶角的性质：对顶角相等.知识点二知识点二垂线的概念、画法及其性质◆1、概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.◆2、画法一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.◆3、性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以.知识点三知识点三垂线段与点到直线的距离◆1、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.◆2、垂线段的性质：连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言.◆3、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段.它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形.知识点四知识点四同位角、内错角、同旁内角◆1、同位角两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角.◆2、内错角两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.◆3、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形.题型一利用基本图形识别对顶角和邻补角题型一利用基本图形识别对顶角和邻补角【例题1】如图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（）A.∠AOC和∠BOE是对顶角 B.∠COE和∠AOD是对顶角 C.∠BOC和∠AOD是对顶角 D.∠AOE和∠DOE是对顶角【分析】根据对顶角的定义可解此题.【解答】解：∵OE⊥AB于点O，∴∠AOE＝90°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE，∵∠BOD与∠AOC是对顶角且相等，故选：C.【点评】本题考查了对顶角的定义，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键.解题技巧提炼分析图形特征，根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再判断两个角的两边是否互为反向延长线.【变式1-1】如图中，∠1和∠2是对顶角的是（）A.B. C.D.【分析】根据对顶角的定义进行判断即可.【解答】解：由对顶角的定义可知，图中的∠1与∠2是对顶角，故选：B.【点评】本题考查对顶角，理解对顶角的定义是正确判断的前提.【变式1-2】图中∠1与∠2互为邻补角的是（）A.B.C.D.【分析】利用邻补角定义进行解答即可.【解答】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；故选：B.【变式1-3】如图，图中邻补角有几对（）A.4对 B.5对 C.6对 D.8对【分析】根据邻补角的概念判断即可.【解答】解：∠1与∠2是邻补角，∠1与∠4是邻补角，∠3与∠2是邻补角，∠3与∠4是邻补角，∠5与∠6是邻补角，∠5与∠8是邻补角，∠6与∠7是邻补角，∠7与∠8是邻补角共8对，故选：D.【变式1-4】下列说法正确的是（）A.互补的两个角是邻补角；B.相等的角必是对顶角；C.对顶角一定相等；D.若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.【分析】根据邻补角以及对顶角的定义解决此题.【解答】解：A.有一条边是公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，故A不符合题意.B.对顶角指角的两边互为反向的延长线的两个角，相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意.C.根据对顶角的性质，得对顶角一定相等，故C符合题意.D.等腰三角形的底角相等，但两个底角不是对顶角，故D不符合题意.故选：C.【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角，熟练掌握邻补角以及对顶角的定义是解决本题的关键.【变式1-5】观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）.如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有

对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有

对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有

对.【分析】先将图①②③中的对顶角对数求出来，观察规律即可求解.【解答】解：当2条直线相交于一点时对顶角有1×2=2对，当3条直线相交于一点时对顶角有2×3=6对，当4条直线相交于一点时对顶角有3×4=12对，∴对顶角对数与直线条数的关系为：对顶角对数=（直线条数-1）×直线条数，∴当n条直线相交于一点时对顶角有（n﹣1）n=n2﹣n（对），故答案为：2；6；n2﹣n.题型二利用基本图形识别对顶角和邻补角题型二利用基本图形识别对顶角和邻补角【例题2】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE是直角.（1）直接写出∠DOE的补角；（2）直接写出∠DOE的余角；（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度数.【分析】（1）根据互补的定义确定∠DOE的补角；（2）根据互余的定义确定∠DOE的余角；（3）运用平角的定义和角平分线的定义得∠DOE的度数.【解答】解：（1）∠DOE的补角是：∠EOC.（2）∠DOE的余角是：∠DOB，∠AOC.（3）因为OF平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠COF＝40°，又因为∠AOE＝90°，所以∠DOE＝180°﹣（∠AOE+∠AOC）＝180°﹣（90°+40°）＝50°.【点评】本题考查了角平分线、补角、余角的定义以及角的计算，属于基础题型，比较简单.解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（）A.42° B.48° C.96° D.132°【分析】根据对顶角相等解答即可.【解答】解：∵∠AOB和∠COD是对顶角，∴∠AOB＝∠COD，∵∠AOB＝48°，∴∠COD＝48°.故选：B.【变式2-2】如图，直线AB，CD相交于点O，并且∠AOD＝3∠AOC，则∠AOD的度数为.【分析】根据邻补角的定义解决此题.【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∴∠AOC+∠AOD＝4∠AOC＝180°.∴∠AOC＝45°.∴∠AOD＝3∠AOC＝135°.故答案为：135°.【变式2-3】如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠1+∠2＝80°，求∠3的度数.【分析】由∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2可求∠2，于是得出∠BOC的度数，再由OE平分∠BOC，即可求出∠3.【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，∴∠2＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠2＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠3=12∠【变式2-4】如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，则∠DOB的度数为.【分析】设∠DOB＝x，根据邻补角的概念得到∠AOD＝180°﹣x，根据题意列出方程，解方程得到答案.【解答】解：设∠DOB＝x，则∠AOD＝180°﹣x，由题意得：180°﹣x＝2（x+15°），解得：x＝50°，∴∠DOB＝50°，故答案为：50°.【变式2-5】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度数.【分析】根据对顶角、邻补角、角平分线的定义解决此题.【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC＝∠BOD＝60°.∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°.∵∠AOC﹣2∠AOE＝20°，∴∠AOE＝20°.∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝100°.∵射线OF平分∠DOE，∴∠DOF=12∠DOE=50°.∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣50°【变式2-6】如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）.（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；（2）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如图2），求∠AEG﹣∠CEG的值.【分析】（1）设∠BEC的度数为x，根据∠BEC的补角是它的余角的3倍列方程解方程可得；（2）根据角平分线的定义得：∠AEF＝∠DEF，根据∠FEG＝105°，得∠AEG＝105°﹣∠AEF，根据平角的定义可得∠CEG＝180°﹣105°﹣∠DEF，最后可得结论.【解答】解：（1）设∠BEC的度数为x，则180﹣x＝3（90﹣x），解得：x＝45°，∴∠BEC＝45°，（2）∵射线EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，∵∠FEG＝105°.∴∠AEG+∠AEF＝105°，∵∠CEG＝180°+105°＝∠DEF＝75°+∠DEF，∴∠AEG﹣∠CEG＝105°﹣∠AEF＝（75°﹣∠DEF）＝30°.题型三有关垂线的综合应用题型三有关垂线的综合应用【例题3】如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠DOC的度数为（）A.20° B.70° C.110° D.90°【分析】利用∠1与∠BOC互余求出∠BOC，利用∠DOC与∠BOC互补求出∠DOC.【解答】解：∵OC⊥OA，∠1＝20°，∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣20°＝70°，∴∠DOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故选：C.解题技巧提炼结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.【变式3-1】如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（）A.48° B.32° C.24° D.66°【分析】利用垂直的概念，得出∠PQS＝∠PQR°﹣90°，再利用互余的性质，得出∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS.【解答】解：∵，∠PQR＝132°，QT⊥PQ，∴∠PQS＝132°﹣90°＝42°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT＝90°，∴∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS，＝90°﹣42°，＝48°.故选：A.【变式3-2】如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠CEA＝60°，则∠DEF的度数为（）A.100° B.120° C.150° D.160°【分析】根据对顶角相等得出∠DEB，根据垂直的定义求出∠FEB，相加可得结果.【解答】解：∵∠CEA＝60°，∴∠BED＝60°，∵EF⊥AB，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF＝∠DEB+∠FEB＝60°+90°＝150°，故选：C.【变式3-3】如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为.【分析】由平角的定义可知∠EOD+∠EOC＝180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂线的定义可知∠DOB＝90°，从而求得∠BOF的度数.【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，∴∠DOF＝∠EOC＝52°，∵CD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，故答案为：38°.【变式3-4】在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（）A.10° B.50° C.10°或130° D.10°或50°【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题.【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得①两个角相等时，如图1：∠B＝∠A＝x，x＝3x﹣20，解得x＝10，故∠A＝10°，②两个角互补时，如图2：x+3x﹣20＝180，所以x＝50，3×50°﹣20°＝130°故∠A的度数为：10°或130°.故选：C.【变式3-5】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD.若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数.【分析】由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出关于∠BOD的方程，即可求出∠BOD的度数，根据对顶角相等可得∠AOC的度数，再根据余角的定义，可得答案.【解答】解：设∠BOD＝x°，则∠BOE＝4x°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，∵∠BOD+∠BOC＝180°，∴x+8x＝180，∴x＝20，∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°.【变式3-6】如图，已知直线AB、CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝35°.（1）求∠EOF的度数；（2）试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由.【分析】（1）利用对顶角相等，角平分线的定义，垂线的性质求解即可.（2）OE平分∠AOF.分别求出∠AOE，∠EOF即可判断.【解答】解：（1）∵OD平分∠BOF，∴∠BOD＝∠DOF，∵∠BOD＝∠AOC＝35°，∴∠DOF＝35°，∵EO⊥CD，∴∠EOD＝90°，∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝55°.（2）OE平分∠AOF.理由如下：∵∠AOB＝180°，∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠BOD＝90°，∵∠BOD＝35°，∴∠AOE＝55°，∵∠EOF＝55°，∴∠AOE＝∠EOF，∴OE平分∠AOF.题型四垂线段最短的实际应用题型四垂线段最短的实际应用【例题4】如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有A、B、C、D四个地点可供选择.若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在（）A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处【分析】根据垂线段最短得出即可.【解答】解：建在点C处，根据垂线段最短，故选：C.【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键.解题技巧提炼抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解.【变式4-1】如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（）A.两点之间，线段最短 B.垂线段最短 C.两点确定一条直线 D.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断.【解答】解：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短.故选：B.【变式4-2】如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.垂线段最短C.两点之间，线段最短D.两点确定一条直线【分析】由垂线的性质，可选择.【解答】解：A、垂线的一条性质，故A不符合题意；B、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故B符合题意；C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意；D、两点确定一条直线，是直线的性质，故D不符合题意.故选：B.【变式4-3】如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释；B.现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释；C.现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释；D.现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释.【分析】分别根据垂线段的性质以及两点之间线段最短的性质判断即可.【解答】解：现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释，故选：C.【变式4-4】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路.根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站.（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是；（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是.【分析】（1）直接利用点到直线的距离的定义得出答案；（2）利用线段的性质得出答案.【解答】解：（1）如图，点M即为所示.依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短（2）如图，点N即为所示.依据是两点之间线段最短；故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短.【变式4-5】已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB.过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为，互补的角为.（各写出一对即可）【分析】（1）根据垂线的定义，线段，射线的定义作图即可；（2）根据垂线段最短即可求解；（3）由互余、互补的定义解题即可.【解答】解：（1）如图：（2）∵CD⊥AD，∴CA＞CD；（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAC与∠DCA互余，∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，∴∠ADC与∠BDC互补，故答案为：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC.题型五点到直线的距离题型五点到直线的距离【例题5】如图，线段AB外有一点P过点P作PE⊥AB垂足为E，连接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是线段AB上任意一点，则P到M的最短距离为（）A.8cm B.6cm C.4.5cm D.无法确定【分析】根据垂线段最短得出即可.【解答】解：根据垂线段最短，则P到M的最短距离为不小于4.5cm，故选：C.解题技巧提炼分析图形特征，结合已知条件利用点到直线的距离的定义:直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离得出答案.【变式5-1】如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是点D，则下列说法正确的是（）A.线段AC的长表示点C到AB的距离 B.线段CD的长表示点A到CD的距离 C.线段BC的长表示点B到AC的距离 D.线段BD的长表示点C到DB的距离【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离判断即可得到答案.【解答】解：A、线段AC的长是点A到BC的距离，错误正确，不合题意；B、线段CD的长是点C到AB的距离，错误，不合题意；C、线段BC的长是点B到AC的距离，正确，符合题意；D、线段BD的长是点B到CD的距离，错误，不合题意；故选：C.【变式5-2】下列说法中正确的个数有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一直线的两条直线互相平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质以及直线的表示对各小题分析判断即可得解.【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；②过平面上的一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本命题错误；③平行于同一直线的两条直线互相平行，正确；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本命题错误；综上所述，正确的有①，③共2个.故选：C.【变式5-3】点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设点P到直线l的距离是dcm，则（）A.d＞4 B.d≥4 C.d＜4 D.d≤4【分析】根据点到直线的距离垂线段最短进行求解即可.【解答】解：∵点P到直线l的距离是dcm，点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段最短PA＝4cm∴d≤4，故选：D.【变式5-4】直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P点到直线l的距离是（）A.等于2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.大于2cm且小于3cm【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答.【解答】解：∵PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,∴P点到直线l的距离不大于2cm.故选：C.【变式5-5】如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°.（1）画出点C到AB的最短路径CD；（2）请指出B到AC的距离是线段的长度.【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案.【解答】解：（1）根据题意，如图所示，（2）B到AC的距离是线段BC的长度，故答案为：BC.【变式5-6】如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm.（1）点B到AC的距离是cm；点A到BC的距是cm.（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离.【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求.（2）先画垂线段，再计算距离.【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，∴点B到AC的距离是线段BC的长度，点A到BC的距是线段AC的长度.故答案为：4，3.（2）如图：作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离.∵S△ABC=12BC•AC=12AB•CD.∴CD=题型六同位角、内错角、同旁内角的识别题型六同位角、内错角、同旁内角的识别【例题6】同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.下面三幅图依次表示（）A.同位角、同旁内角、内错角B.同位角、内错角、同旁内角C.同位角、对顶角、同旁内角D.同位角、内错角、对顶角【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角.故选：B.解题技巧提炼本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就不是；如果有，再根据角的位置特征判断.【变式6-1】如图，下列说法中，错误的是（）A.∠1和∠4是内错角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠3和∠5是同位角【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义判断即可.【解答】解：A、∠1和∠4不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意；B、∠4和∠5是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；C、∠2和∠4是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意；D、∠3和∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意.故选：A.【变式6-2】如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是.（只填序号）【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可.【解答】解：如图：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①正确；∠1与∠A是直线CD、直线AC，被直线AB所截的一对同位角，因此②正确；∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③正确；∠B与∠ACB是直线AB、直线AC，被直线BC所截的一对同旁内角，因此④不正确.故答案为：①②③.【变式6-3】如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是；图中∠4的内错角是.【分析】根据内错角的定义找出即可.【解答】解：直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是∠1和∠3，直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4，图中∠4的内错角是∠2和∠BED，故答案为：∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED.【变式6-4】如图：与∠FDB成内错角的是；与∠DFB成同旁内角的是.【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截.也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线.【解答】解：如图，与∠FDB成内错角的是∠EFD、∠AFD和∠CBD，与∠DFB成同旁内角的是：∠DBF、∠CDF、∠BDF和∠CBF.故答案分别是：∠EFD、∠AFD和∠CBD，∠DBF、∠CDF、∠BDF和∠CBF.【变式6-5】如图所示，BF、DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C.（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，内错角，同旁内角；（2）指出ED、BC被AC所截的内错角，同旁内角；（3）指出FB、BC被AC所截的内错角，同旁内角.【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角.内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.进行解答.【解答】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；内错角：∠B和∠DAB；同旁内角：∠EAB和∠B；内错角：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；同旁内角：∠EAC和∠ACG，∠DAC和∠BCA；（3）内错角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；同旁内角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG.【变式6-6】是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角.（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数.【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；（2）设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，利用邻补角的关系得到x，进而求出∠1，∠2，∠3的度数.【解答】解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，∵∠1+∠3＝180°，∴x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3＝36°，∠2＝72°，∠1＝144°.相交线随堂检测1.如图，两条直线交于点O，若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（）A．40° B．80° C．100 D．140°【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，∴∠1＝40°，∵∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝140°．故选：D．2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（）的长度．A．CD B．AD C．BD D．BC【分析】根据点到直线的距离的概念判断即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴点A到AB的距离是线段AD的长度，故选：B．3.已知点P在直线l上，过点P画直线l的垂线，可以画出多少条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】由垂线的性质，即可选择．【解答】解：∵在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴点P画直线l的垂线，只能画一条．故选：A．4.如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，如果∠EOB＝55°，那么∠BOD的度数是（）A．35° B．55° C．70° D．110°【分析】根据角平分线的定义，得∠BOC＝2∠EOB＝110°．再根据邻补角的定义，得∠BOD＝180°﹣∠BOC＝70°．【解答】解：∵OE平分∠COB，∠EOB＝55°，∴∠BOC＝2∠EOB＝110°．∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝70°．故选：C．5.观察如图图形，并阅读相关文字：那么5条直线相交，最多交点的个数是（）A．10 B．14 C．21 D．15【分析】根据图示解决问题．【解答】解：两条直线相交，最多交点数为1个；三条直线相交，最多交点数为1+2＝3（个）；四条直线相交，最多交点数为1+2+3＝6（个）；五条直线相交，最多交点数为1+2+3+4＝10（个）．故选：A．6.如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在A点．理由：垂线段最短．【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案．【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，理由：垂线段最短．故答案为：A，垂线段最短．7.如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为38°．【分析】由平角的定义可知∠EOD+∠EOC＝180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂线的定义可知∠DOB＝90°，从而求得∠BOF的度数．【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，∴∠DOF＝∠EOC＝52°，∵CD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，故答案为：38°．8.一个