(寒假)人教版数学八年级寒假讲义07 勾股定理综合问题+随堂检测（原卷版）

第第页07勾股定理综合问题考向一勾股定理与弦图问题【例1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（

）A．13 B．10 C．15 D．9【例2】如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列三个结论：①xA．①②③ B．①② C．①③ D．②③【变式1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（

）A．52 B．68 C．72 D．76【变式2】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则a+b2【变式3】我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+b2考向二勾股定理与网格问题【例1】如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（

）A．31010 B．2105 C．【变式1】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（

）A．3−1 B．3−5 C．5 【变式2】如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是（

）A．30° B．45° C．50° D．60°【变式3】如图，在8×8的方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有_____（填写序号）．①△ABC的形状是直角三角形；②△ABC的周长是35③点B到AC边的距离是2；④若点D在格点上（不与A重合），且满足S△BCD=S考向三勾股定理的应用【例1】如图，数轴上的点A对应的实数是﹣1，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB．使BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（）A．﹣1 B．+1 C． D．【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，，则四边形ABCD的面积是（）A． B．4 C． D．【例2】为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【变式1】如图，是荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．绳长BA＝2m，当秋千摆动到最高点A时，测得∠ABD＝60°．当秋千从A处摆动到A′时，A′B⊥AB，则A′到地面的距离是m．【变式2】一台拖拉机沿公路AB以200m/min的速度从A行驶到B，点C为一所学校，AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，距离拖拉机250m以内会受噪音影响．（1）学校C会受到拖拉机的噪音影响吗？为什么？（2）学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有多长？考向四勾股定理与折叠问题【例1】在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是（

A．152 B．254 C．4【变式1】如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，CE=1，AC=4，则下列结论：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等．一定正确的是（A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【变式2】如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论：①BD>CE；②BC=2CD；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知A0，4、B6，0．现将ΔACD折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在【变式2】如图，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边勾股定理综合问题课堂检测1.利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四边形AECD＝S四边形DEBC2.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m3.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（

）A．5 B．13 C．4 D．34.如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC度数为（

）A．60° B．45° C．30° D．20°5.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（

）A．152 B．855 C．46.如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（

）A．3 B．103 C．1547.我们知道，三个正整数a、b、c满足a2+b2＝c2，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即m＝x2+y2，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数．其中正确的结论是（）A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤8.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC各顶点均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为_____．9.如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于．10.在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2=49,②a−b=4,11.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC．(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)．如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格