（预习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测09 简单几何体的表面积与体积（教师版）

第页专题09简单几何体的表面积与体积思维导图核心考点聚焦考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积考点五：球的表面积与体积（外接球）考点六：球的表面积与体积（内切球）考点七：球的表面积与体积（棱切球）知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底·高棱锥平面多边形三角形面积=·底·高棱台平面多边形梯形面积=·（上底+下底）·高知识点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1、圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．（2）圆柱的表面积：．2、圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．（2）圆锥的表面积：S圆锥表．3、圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=．（2）圆台的表面积：．知识点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．知识点三、柱体、锥体、台体的体积1、柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh．2、锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．综上，锥体的体积公式为．3、台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是．综上，台体的体积公式为．知识点四、球的表面积和体积1、球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．（2）球的表面积设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍．2、球的体积设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为．1、正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a22、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝2a3、长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝a24、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\r(3)a．5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝eq\f(\r(6),2)a．6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．考点剖析考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积例1．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.【解析】（1）由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC⊂面ABC，所以CC1⊥BC，在Rt△ECD中，CD=，又D是CC1的中点，故侧棱长为2.（2）底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12.所以棱柱表面积为S=S1+S2=12+2.例2．如图，正四棱锥的底面边长为4，顶点S到底面中心O的距离为4，求它的表面积．

【解析】作，垂足为点E，连接OE．因为，所以．因为，，,平面SOE，所以平面SOE，而平面SOE，所以，故．又，所以．又底面周长，所以正棱锥侧．又底，因此，该正四棱锥的表面积为表．例3．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积．【解析】（1）设正六棱锥的高，底面边长，因为正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥，所以小棱锥的高为，底面边长，在中，因为，所以，于是有：，因此大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为；（2）由（1）可知：，已知大棱锥的侧棱，显然在中，上的高长为，所以，所以，由（1）可知：截得的棱台的侧面积为，截得的棱台的全面积为.变式1．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.【解析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，棱台的侧面积为，所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，所以大棱锥的侧面积为，所以棱台的侧面积为，棱台的上，下底面的面积和为，所以棱台的表面积为.考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积例4．已知正六棱柱最长的对角线长为13cm，其一个侧面的面积为，求棱柱的体积.【解析】因为正六棱柱最长的一条对角线长为13cm，一个侧面的面积为，设底面边长为cm，高为cm，则，解得或，（负值舍去），则这个棱柱的体积或，故棱柱的体积为或.例5．已知长方体中，，求：

(1)长方体表面积；(2)三棱锥的体积．【解析】（1）长方体中，，，因此长方体的侧面积，所以长方体的表面积.（2）的面积，显然三棱锥的高为，所以三棱锥的体积.例6．如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是的中点，O为底面中心，．

(1)求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；(2)求六棱锥的表面积和体积．【解析】（1）如图：在正六棱锥中，，H为中点，所以．因为是正六边形的中心，所以为正六棱锥的高．，在中，，所以．在中，．在中，，，所以．故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为．（2）的面积为，的面积为，所以正六棱锥的表面积为，体积为变式2．已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1．求(1)该四棱台的侧棱长(2)该四棱台的体积【解析】（1）如图，设为正棱台上下底面的中心，连接，作，垂足为E，则四边形为矩形，则，则，故，即正棱台侧棱长为，（2）根据棱台体积公式可得该四棱台体积为.变式3．如图，在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2.（1）求此正四棱台的侧面积；（2）求此正四棱台的体积.【解析】（1）因为正四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，所以侧面的高为，所以此正四棱台的侧面积为；（2）四棱台的高，所以此正四棱台的体积为.考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积例7．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，所以圆锥的母线长，底面圆半径，所以该圆锥的侧面积为.故选：B例8．已知圆台的上、下底面面积分别为和，高为，则圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意圆台的上、下底面面积分别为和，高为，可得，，所以，故圆台的母线长为，所以圆台的侧面积为．故选：B．例9．如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.

(1)若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；(2)试求圆柱侧面积的最大值.【解析】（1）因为圆锥的底面半径，高.所以圆锥的母线长、圆锥体积.设圆柱的高，则，所以，圆柱体积，剩余部分体积为，（2）方法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中，设，设圆柱底面半径为，则，即设圆柱的侧面积为当时，有最大值为，方法二：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中，设圆柱底面半径为，则，即设圆柱的侧面积为当时，有最大值为.变式4．已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.(1)求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角；(2)如图，若圆锥中内接一个高为的圆柱，求该圆柱的侧面积.【解析】（1）因为圆锥的底面半径，母线长，设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，则.（2）设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为，则，，易知，即，，圆柱的侧面积.变式5．如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长为15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升）【解析】由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积：涂100个这样的花盆需油漆：毫升考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积例10．如图，高与底面直径相等的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆锥与圆柱的体积之比为．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，则高为，设圆柱的底面半径为，高为，则，故，圆柱的侧面积为，当时侧面积最大，此时体积之比为：.故答案为：例11．圆台的上、下底面半径分别是，，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是.【答案】【解析】由图可得，圆台的高为，故圆台的体积为.故答案为：例12．圆锥的高扩大到原来的倍,底面半径缩短到原来的，则圆锥变化后的体积与原体积的比值为.【答案】/【解析】设圆锥原高为，原底面半径为，则原体积，由题意，圆锥变化后高为，底面半径为，则圆锥变化后的体积为，∴.∴圆锥变化后的体积与原体积的比值为.故答案为：变式6．圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是.【答案】【解析】由题可得圆台上底面半径，下底面半径.又母线l长为，则圆台的高，故圆台的体积.故答案为：考点五：球的表面积与体积（外接球）例13．如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知长方体的体对角线长为,故该长方体的外接球的半径为，该长方体的外接球表面积为，故选：D例14．直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】设，因为，所以，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为，所以，解得，设外接球的球心为，则球心在直线上，所以，解得.故选：D例15．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由展开图可知，直三棱柱的底面是边长为的等边三角形，其外接圆的半径满足，所以．由得．由球的性质可知，球心到底面的距离为，结合球和直三棱柱的对称性可知，，故选D．变式7．已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设点为外接圆的圆心，根据，得到是等边三角形，求得外接圆的半径r，再根据直三棱柱的顶点都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半径即可.如图所示：设点为外接圆的圆心，因为，所以，又，所以是等边三角形，所以，又直三棱柱的顶点都在球上，所以外接球的半径为，所以直三棱柱的外接球的表面积是，故选：C变式8．某正方体的外接球体积，则此正方体的棱长为（

）A．6 B．3 C． D．【答案】D【解析】设正方体的棱长为x，因为正方体的体对角线长即为其外接球的直径，所以，解得．故选：D．考点六：球的表面积与体积（内切球）例16．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为.【答案】【解析】有题意可知，，所以所以，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以，所以该圆锥的内切球的表面积为.故答案为：例17．一个正四面体表面积为，其内切球表面积为S2.则=.【答案】【解析】如图所示：设正四面体的棱长为a，因为正四面体表面积为，所以，正四面体的高为，设正四面体的内切球的半径为r，则正四面体的体积为，解得，所以，所以故答案为：例18．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设球半径为，则圆柱底面半径为，高为，所以圆柱的表面积与球的表面积之比为，故选：C．变式9．棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方体的内切球的球心为，由对称性可知为正方体的中心，球半径为1，即球的体积为.故选：B.变式10．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（

）A．4 B．16 C．8 D．64【答案】D【解析】根据球的体积公式，，解得.因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长，所以正方体的棱长为，故正方体的体积为.故选：D.考点七：球的表面积与体积（棱切球）例19．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是．【答案】【解析】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径，其表面积．故答案为：.例20．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为．【答案】【解析】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为，如图所示，为的中点，，由正四面体的性质可知线段为正四面体的高，在正中，，同理，在正中，，则，，所以，则，由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心在线段上，则，，所以，故，而棱切球与棱相切，故其半径为，则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为.故答案为：.例21．在棱长为的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】棱长为的正方体的棱切球，其半径为面对角线的一半，即：，所以该球的表面积.故选：.过关检测一、单选题1．已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设该圆锥的底面半径为，母线为，则，，解得，则圆锥的高为，因此该圆锥的体积，故选：D2．如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间部分是高为的圆柱，上、下两端均是半径为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设实心球的半径为，实心金属几何体的体积.因为，所以，所以该球的直径为.故选：C3．已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为4和6的等边三角形，如图所示，为两底面的中心，则为的中点，过作下底面垂线，垂足为，，，，棱台的高，该正三棱台的上底面的面积为，下底面的面积为，所以正三棱台的体积．故选：D4．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆台的母线长为．高为．所以，解得，所以．所以该圆台的体积．故选：D．5．若正四棱柱与以正方形的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，设正四棱柱的底面边长为，高为，圆柱的高为，则圆柱的底面半径为，则有，整理得，正四棱柱与圆柱的侧面积之比.故选：B．6．已知棱长为2的正方体的体积与球的体积相等，则球的半径为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由棱长为2的正方体的体积为，设球的半径为，可得，解得.故选：D.7．某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【解析】当该几何体为正四面体时，其表面积为．当该几何体为正四棱锥时，其表面积为．当该几何体为正三棱柱时，其表面积为．当该几何体为正方体时，其表面积为．故选：D．8．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（

）

A． B． C． D．以上都不对【答案】B【解析】设六棱柱的底面边长为，高为.则，，，故，.故选：B.二、多选题9．已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（

）A．圆锥的母线与底面所成角的余弦值为B．圆锥的高与母线长之比为C．圆锥的侧面积与底面积之比为3D．球的体积与圆锥的体积之比为【答案】ACD【解析】设圆锥的底面圆的半径为，高为，母线长为，由圆锥与球的表面积相等，得，解得，因此圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，A正确；，因此圆锥的高与母线长之比为，B错误；圆锥的侧面积与底面积之比，C正确；球的体积与圆锥的体积之比为，D正确.故选：ACD10．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（

）

A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为【答案】BCD【解析】如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的侧面积为，故C正确；圆台的体积为，D正确.故选：BCD11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）

A．圆柱的侧面积与球的表面积相等B．圆锥的侧面展开图的圆心角为C．圆柱的表面积为D．圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和【答案】AD【解析】对于A，圆柱的侧面积，球的表面积，A正确；对于B，圆锥底面周长为，则圆锥的侧面展开图扇形弧长为，而圆锥母线长，因此圆锥的侧面展开图的圆心角为，B错误；对于C，圆柱的表面积，C错误；对于D，圆柱的体积，圆锥的体积，球的体积，因此，D正确.故选：AD12．若某正方体的棱长为，则（

）A．该正方体的体积为5 B．该正方体的内切球的体积为C．该正方体的表面积为30 D．该正方体的外接球的表面积为【答案】BCD【解析】因为该正方体的棱长为，所以其体积为，表面积为，A错误，C正确．该正方体的内切球的直径为，所以内切球的体积为，B正确．该正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球的表面积为，D正确．故选：BCD三、填空题13．已知正三棱锥的内切球半径为l，若底面边长为，则该棱锥体积为.【答案】【解析】设正三棱锥的高为，内切圆的圆心为，则，由，所以，即，在直角中，，，解得，，所以体积.故答案为：14．“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，边长分别为和，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，那么这个“升”的“平升”可以装mL的粮食．（结果保留整数）【答案】1167【解析】根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面是边长为20cm的正方形，底面是边长为10cm的正方形，侧面等腰梯形的高cm，记底面ABCD和底面的中心分别为与，则是正四棱台的高，过作平面的垂线，垂足为，则，且,,则,,则,侧面是等腰梯形，,则,则棱台的高,则由棱台的体积公式得mL,故答案为：1167.15．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由，得，又表面积，所以，解得，则；所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为．故答案为：．16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是．【答案】【解析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：则，则，因为球的直径即为长方体的体对角线，则球的半径为，所以球的表面积是.故答案为：.四、解答题17．正四棱锥的底面边长为4，高为1，求：(1)求棱锥的体积和侧棱长；(2)求棱锥的表面积．【解析】（1）由题意可知底面四边形是正方形，设其对角线交于O点，则，所以四棱锥的体积为：，侧棱长；（2）取的中点E，连接，易知，由上可知，所以棱锥的表面积为.18．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．

(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）【解析】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，则，解得，则，所以“笼具”的体积．（2）圆柱的侧面积，圆柱的底面积，圆锥的侧面积为，所以“笼具”的表面积为，所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．19．如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点．(1)求四边形的周长；(2)求多面体的体积．【解析】（1）连接，因为、分别是棱、的中点，故且，又，，，所以四边形的周长.（2）多面体为三棱台，又，，高，所以.20．如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．(1)求该几何体的体积；(2)求该几何体的表面积．【解析】（1）正三棱柱的底面积为，所以正三棱柱的体积为，设正三角形的内切圆半径为，所以，所以，所以圆锥的体积为，所以该几何体的体积为.（2）因为正三棱柱的表面积为，倒圆锥的底面圆面积为，倒圆锥的母线长为，所以倒圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积为.简单几何体的表面积与体积随堂检测1.已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设底面边长为，由题意得，解得，所以侧面积为．故选：B2.已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，则，，所以该正四棱锥的表面积为，故选：C3.以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，所以几何体表面积为.故选：D4.若圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则它的底面面积与侧面面积之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，由题意可得，，所以，该圆锥的侧面积为，底面积为，所以，该圆锥的底面面积与侧面面积之比是.故选：D.5.已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆台的高和母线分别为，球心到圆台上底面的距离为，根据圆台的侧面积公式可得，因此圆台的高，当球心在圆台内部时，则，解得，故此时外接球半径为，当球心在圆台外部时，则，，解得不符合要求，舍去，故球半