（预习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测01 平面向量的概念（教师版）

第页专题01平面向量的概念思维导图核心考点聚焦考点一、向量的基本概念考点二、向量的表示方法考点三、利用向量相等或共线进行证明考点四、向量知识在实际问题中的简单应用知识点一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．知识点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．知识点二：向量的表示法1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．知识点三：向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．知识点诠释：（1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量．知识点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．知识点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．规定：与任一向量共线．知识点诠释：1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．考点剖析考点一：向量的基本概念例1．下列命题中真命题的个数是（

）（1）温度､速度､位移､功都是向量（2）零向量没有方向（3）向量的模一定是正数（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.故选：A.例2．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】A【解析】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.故选：A.例3．下列各式中不表示向量的是（）A． B． C． D．，，且【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，是向量的数乘运算结果仍为向量；对于B，，是向量的加法，结果是向量，对于C，是向量的模，是实数，不是向量；对于D，向量的数乘运算结果仍为向量；故选：C．变式1．下列量中是向量的为（

）A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离【答案】B【解析】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B考点二：向量的表示方法例4．用有向线段表示下列物体运动的速度．(1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）；(2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）．【解析】（1），以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，（2），时，，以为起点，向下作有向线段，长度为：例5．用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）．【解析】如图，有向线段表示方向向上、大小为20N的力，有向线段表示方向向下、大小为30N的力，例6．在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移．【解析】如图，有向线段表示A到B的位移，有向线段表示B到C的位移，有向线段表示C到A的位移.变式2．画图表示小船的下列位移（用的比例尺）：(1)由A地向东北方向航行15km到达B地；(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地；(3)由C地向正南方向航行20km到达D地．【解析】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下，（2）根据的比例尺，即图上，作图如下，（3）根据的比例尺，即图上，作图如下，考点三：利用向量相等或共线进行证明例7．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)，点A在点O北偏西45°方向；(2)，点B在点O正南方向．【解析】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：例8．已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？【解析】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.（2）由于与长度相等且方向相同，所以.（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.例9．如图，O是正六边形ABCDEF的中心.

(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个?(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个?【解析】（1）因为ABCDEF为正六边形，所以中心O到各顶点的距离相等，且均等于正六边形的边长.因此题图中所示的向量中与的模相等的向量有，，，，，，，，，，，共11个.（2）由题知，图中所示的向量中与共线的向量有，、、，共4个.变式3．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量，使；(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？【解析】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等．图如下所示：（2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．考点四：向量知识在实际问题中的简单应用例10．如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：nmile）．

【解析】由题意，所以向量的长度为2nmile．例11．某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．【解析】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，则向量，和如下所示：例12．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．（1）试作出向量；（2）求．【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，∴在中，，故为平行四边形，∴，则（海里）．变式4．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，向量如图所示，由已知可得，为正三角形，所以．又，，所以为等腰直角三角形，所以，．故向量的模为，方向为东南方向．过关检测一、单选题1．下列说法错误的是（

）A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则C． D．若，则【答案】D【解析】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；由单位向量对于可知，，故B正确；因为，所以，故C正确；因为两个向量不能比较大小，故D错误；故选：D2．下列各命题中，正确的是（

）A．若，则或B．与非零向量共线的单位向量是C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量D．若，则【答案】C【解析】对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错；对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错；对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对；对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错.故选：C.3．如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（

）A．正方形 B．圆 C．线段 D．点【答案】B【解析】把所有单位向量的起点平行移动到同一点，向量终点的集合是距离点为单位长的点，那么它们的终点构成的图形是圆.故选：B.4．在下列结论中，正确的结论为（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．，，则【答案】D【解析】对于A项，若，则，故A项错误；对于B项，根据向量的模的概念，可知B项错误；对于C项，若，则方向不确定，故C项错误；对于D项，根据向量的概念，可知D项正确.故选：D.5．设是正方形ABCD的中心，则（

）A．向量，，，是相等的向量B．向量，，，是平行的向量C．向量，，，是模不全相等的向量D．，【答案】D【解析】对于A项，，不共线，故A项错误；对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误；对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误；对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同.又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.故选：D.6．已知四边形，下列说法正确的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为矩形C．若，且，则四边形为矩形D．若，且，则四边形为梯形【答案】A【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；选项，如图，但是四边形不是矩形，错误；选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.故选：A7．设是单位向量，，，，则四边形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【解析】因为，，所以，即，，所以四边形是平行四边形，因为，即，所以四边形是菱形.故选：B8．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（）

A．B．C．D．【答案】D【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；因为，则，则，则，即，即，，则，，即为的中点，所以，，C错，D对.故选：D.二、多选题9．给出下列命题，其中假命题为（

）A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；C．若与同向，且，则；D．为实数，若，则与共线.【答案】ACD【解析】对于A，两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以它们不一定是共线向量，所以A错误，对于B，当是不共线的四点，若，则四边形是平行四边形，若四边形是平行四边形，则，所以是四边形为平行四边形的充要条件，所以B正确，对于C，当与同向，且时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误，对于D，为实数，若，则与不一定共线，如时，与是任意的，所以D错误，故选：ACD10．给出下面四个命题，其中是真命题的是（

）A．B．零向量与任意向量平行C．是向量的充分不必要条件D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上【答案】AB【解析】对选项A：，正确；对选项B：零向量与任意向量平行，正确；对选项C：当时，；当，不能得到，故是向量的必要不充分条件，错误；对选项D：向量与向量是共线向量，则或点在同一条直线上，错误；故选：AB.11．以下选项中，能使成立的条件有（

）A． B．或C． D．与都是单位向量【答案】BC【解析】对于A、D：不妨取分别为x、y轴上的单位向量，满足“”，满足“与都是单位向量”，但是不成立.故A、D错误；对于B：由零向量与任何向量平行，可知或时，.故B正确；对于C：因为，所以.故C正确.故选：BC三、填空题12．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是（填序号）．【答案】②③④【解析】由零向量的定义可知，①正确；时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误；两个向量共线，与模是否相等无关，③错误；当时，满足，，但不能得到，④错误.故答案为：②③④13．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有个.

【答案】3【解析】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个.故答案为：314．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有对.

【答案】2【解析】由题意∥AB可知，，所以，所以.因为，所以，，所以，，所以.又M，O，N三点共线，所以，，故相等向量有2对.故答案为：2.15．某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模=．【答案】【解析】如图示，由题意可得向量共线，且，则四边形为平行四边形，故，故答案为：四、解答题16．在矩形中，，点、分别为和的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，相等的非零向量共有多少对？【解析】在矩形中，，点、分别为和的中点，所以和为边长相等的正方形，如图所示，由题意得，，有3对（即、、）；，有6对（即、、、、、）；，有1对；，有1对，有1对，共有对；加上它们的方向相反的向量也有12对，所以总共有对．17．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1．(1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．(2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？【解析】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，即，即可得到向量；（2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.18．如图，四边形和四边形都是平行四边形．(1)写出与向量相等的向量；(2)写出与向量共线的向量．【解析】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形，∴，，∴.故与向量相等的向量是，.（2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.平面向量的概念随堂检测1.如图，在平行四边形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量运算得.【详解】由图知，故选：B.2.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（

）A．＝ B． C．＞ D．＜【答案】B【解析】与是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，又向量不是实数，是不能比较大小的.故选：B.3.下列命题中正确的个数是（

）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；③若，则；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，对于B，向量，则四点共线或，故B错误，对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，故选：A4.下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则存在唯一实数使得C．若，，则D．与非零向量共线的单位向量为【答案】D【分析】对A，向量模相等，则向量相等或相反；对B，向量共线定理判断；对C，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D利用非零向量的单位向量的求解方法求解.【详解】若，则或，所以选项A错误；若，此时不存在，选项B错误；若，由，，不一定得到，选项C不正确；由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.故选：D.5.（多选）下列说法中正确的是（

）A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量【答案】CD【分析】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，向量的方向不一定相同，所以A错误；对于B中，向量与的长度不一定相等，所以B错误；对于C中，由，根据零向量的定义，可得，所以C正确；对于D中，由，可得与向量同向，又由的模等于，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D正确.故选：CD.6.给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中错误的说法有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①只有零向量的模是0，因此应有，不是0，错；②模相等的向量方向不确定，不一定相同或相反，错；③两向量平行，只要方向相同或相反或有一个为零向量，模不作要求，错；④当时，不一定共线，错．故选：D．7.已知P在所在平面内，满足，则P是的（

）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】表示到三点距离相等，为外心．故选：A．8.若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（

）A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④【答案】D【解析】①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②∥，则与为共线向量，故不正确；③，向量的模长是非负数，故正确；④｜｜=1，故正确；⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.故选：D.9.（多选）下列说法正确的是（

）A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件B．是互不重合的三点，若与共线