（复习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测03 函数性质的综合问题（教师版）

第③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．考点剖析考点一、函数的单调性及其应用例1．函数是定义在上的奇函数，且．(1)求实数的值；(2)用定义证明函数在上是增函数；(3)解关于的不等式．【解析】（1）函数是定义在上的奇函数所以，则，所以因为，则，则，所以，此时，定义域关于原点对称，又，所以是奇函数，满足题意，故，.（2）由（1）知．设是内的任意两个实数，且，，因为，所以，即，所以函数在上是增函数.（3）因为，所以，即，则，所以，所以，即此不等式解集为．例2．已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）在上单调递增，证明如下：因为，，任取，可知，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递增；（2）由（1）知在上单调递增，所以，可得，解得故实数的范围是．例3．已知函数，且.(1)求实数的值；(2)判断在上的单调性，并用定义法证明.【解析】（1），且，，解得：；（2）由（1）得：在递增，证明如下：设任意，则，，，，在上单调递增.例4．已知函数．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）在上递减，理由如下：任取，且，则，因为，且，则有，，可得，即，所以在上单调递减；（2）由（1）可知在上递减，所以由，得，解得，所以实数的取值范围为．考点二、利用函数单调性求函数最值例5．函数在区间上的最大值（

）A．125 B．25 C． D．【答案】A【解析】函数在R上单调递减，所以当时，.故选：A例6．若函数（且）在上的值域为，则（

）A．3或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】当时，在上单调递减，则，解得，此时.当时，在上单调递增，则，解得或（舍去），此时综上可得：为或.故选：C例7．已知，则函数的值域为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，，，，函数在上单调递减，当时，，函数的值域为.故选：C.例8．函数，的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】，而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到，所以在上单调递增，所以当时，函数，有最大值为.故选：B.考点三、利用函数单调性求参数的范围例9．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数在上单调递减，令，则在上单调递增且恒大于，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C例10．已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】易知的对称轴为直线，因为在上具有单调性，所以或，解得或．故选:C例11．若函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】要使在上单调递增，故在上递增，在上递增，且，所以.故选：C例12．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，令，故，，当，即时，在上单调递增，满足要求，当，即时，在上单调递增，满足要求，当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，故，解得，综上，实数的取值范围是.故选：C考点四、函数的奇偶性的判断与证明例13．已知函数.(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求不等式的解集.【解析】（1）要使函数有意义,则，解得，故所求函数的定义域为；（2）证明：由（1）知的定义域为，设，则,且，故为奇函数；（3）因为，所以，即可得，解得,又，所以，所以不等式的解集是．例14．已知函数（a是常数）.(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)若，试判断函数在上的单调性，并证明.【解析】（1）是奇函数，理由如下：的定义域为，关于原点对称，则，故是奇函数；（2）在单调递增，证明如下：若，则，则，故，设，且，则因为，所以，，，故，即，所以在单调递增.例15．已知函数且．(1)求的值；(2)判定的奇偶性．【解析】（1）由且，则解得；（2）由（1）得，则，，，所以函数为奇函数.例16．判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3).【解析】（1）定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数.（2），所以定义域为，关于原点对称，此时，所以既是奇函数又是偶函数.（3），所以定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数.考点五、已知函数的奇偶性求参数例17．已知是奇函数，则．【答案】【解析】因为为奇函数，所以，所以，所以，化简可得，所以，故答案为：.例18．函数是定义在上的奇函数，则．【答案】【解析】由函数是定义在上的奇函数，则对任意的实数恒成立，即，对任意实数恒成立，可得对任意实数恒成立，可得，即经验证，此时为上的奇函数，满足题意．故答案为：．例19．若函数是定义在上的偶函数，则【答案】1【解析】函数是定义在上的偶函数，则，解得，经验证符合题意，所以.故答案为：1例20．已知函数是偶函数，其定义域为，则【答案】【解析】因为函数是定义域为的偶函数，所以①，且，即，解得,代入①，可得，所以.故答案为:.考点六、已知函数的奇偶性求表达式、求值例21．是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为．【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，当时，，则时，，，所以.故答案为：.例22．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．【答案】（﹣7，3）【解析】设x<0，则－x>0.∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，∴f(x)＝由f(x)＝5得或∴x＝5或x＝－5.观察图像可知由f(x)<5，得－5<x<5.∴由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3.∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．例23．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则.【答案】【解析】由是定义域为的奇函数，所以，得，，所以故答案为：例24．已知函数，，，且，，则.【答案】/【解析】由题意可知，两式相加得.故答案为：考点七、利用单调性、奇偶性解不等式例25．已知函数，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】解法1：由函数，则不等式，即为，可得，即，令，则，即，解得，即，解得，所以不等式的解集为.解法2：由函数，可得，设，则，所以函数为偶函数，即为偶函数，可得关于对称，且在上单调递增，所以不等式，即为，可得，即，解得，所以不等式的解集为.故选：C.例26．定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减，所以在上单调增，又，所以可化为可得，解得：或，同理可得的，由可得或，解得：或，则不等式的解集为，故选：A.例27．已知函数，若满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数定义域为关于原点对称，且，所以是定义在上的偶函数，又，当时，，则，所以在单调递增，又，则，且，则不等式可化为，即，且是定义在上的偶函数，在单调递增，则，即，即，所以，即实数的取值范围是.故选：A例28．已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为为上的偶函数，，所以，又当时，单调递减，所以当时，单调递增，又，所以，即，解得或.故选：B.考点八、周期性问题例29．已知定义在上的偶函数，满足是奇函数，且当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．1012【答案】C【解析】因为是偶函数，所以，因为是奇函数，所以.又因为，所以，即，所以，所以.又当时，，所以，，因为所以.故选：C.例30．已知为奇函数，且为偶函数，若，则下列哪个式子不正确（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为奇函数，所以，又因为为偶函数，所以，所以，对于A：因为，所以，故A正确；对于B：因为，所以，所以，所以，所以，故B正确；对于C：由B可知，所以，所以，故C正确；对于D：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，显然这与矛盾，故D错误；故选：D.例31．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由为奇函数，得，故①，函数的图象关于点对称；由为偶函数，得②，则函数的图象关于直线对称；由①②得，则，故的周期为，所以，由，令得，即③，已知，由函数的图象关于直线对称，得，又函数的图象关于点对称，得所以，即，所以④，联立③④解得故时，，由关于对称，可得.故选：A.考点九、抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例32．己知函数为上的函数，对于任意，都有，且当时，.(1)求；(2)证明函数是奇函数；(3)解关于的不等式，【解析】（1）对于任意，都有.令得即（2）函数定义在上，由（1）并令得，即所以函数是奇函数（3）原不等式即，由（2）是奇函数及对，都有，得即，任取、，且，则，由，．，，即，从而在上是增函数；所以，即，当时不等式即，解集为，当时，方程的两根为或，①当时，，所求不等式的解集为；②当时，，所求不等式的解集为；③当时，，所求不等式的解集为；综上，当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为.例33．已知函数对任意实数都有，并且当时.(1)判断的奇偶性；(2)求证：是上的减函数：(3)，求关于的不等式的解集.【解析】（1）取，则，∴．取，则，即对任意恒成立，∴为奇函数．（2）任取，且，则，，∴，又为奇函数，则，∴，即，∴是上的减函数.（3）为奇函数，则，不等式可化为，即，∵是上的减函数，∴，即，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.考点十、函数性质的综合例34．（多选题）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（

）A．是偶函数B．是奇函数C．在上单调递增D．在上单调递增【答案】AC【解析】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，所以，，所以和均为偶函数，A正确，B错误；又因为，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，故C正确，D错误.故选：AC例35．（多选题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定成立的有（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于原点对称C．D．【答案】AC【解析】由定义域为，且为偶函数，∴①，∴关于直线对称，故A正确；又为奇函数，∴，即，用替换上式中，得②，∴关于点对称，又关于直线对称，故关于轴对称，即为偶函数，无法确定的图象是否关于原点对称，故B错误；由①②得③，∴④，∴，∴，所以函数周期为4，在②式中，令得，解得，①式中令得，②式中令得，∴，故C正确，无法判断结果，故D错误.故选：AC.例36．（多选题）已知函数，下面命题正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称C．函数的值域为 D．函数在内单调递减【答案】ACD【解析】因为，所以的定义域为，且定义域关于原点对称，又因为，所以为奇函数，故A正确，B错误；又因为，，所以，所以，故C正确；因为，时，又在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确；故选：ACD.过关检测一、单选题1．函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】由函数，可得，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D项；又由，可排除B项，所以A符合题意.故选：A.2．函数（

）A．最小值为0，最大值为3 B．最小值为，最大值为0C．最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值【答案】C【解析】函数，当时，，故，故，所以的最小值为，最大值为3．故选：C．3．已知函数，则（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【解析】因为，所以，所以故选:C.4．已知偶函数的定义域为R，当时，，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为为偶函数，所以.又当时，单调递增，且，所以，即.故选：C.5．若函数为偶函数，则b的值为（

）A．-1 B． C．0 D．【答案】B【解析】由题设，所以恒成立，则.故选：B6．已知函数，实数，满足，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】，所以的定义域为，，所以是奇函数，由可得.故选：B7．已知的值城为，且在上是增函数，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，由为定义在上的减函数，故在上恒成立，且在上是减函数，则，，故.故选：A.二、多选题8．下列说法中，正确的是（）A．若对任意，，，则在上单调递增B．函数的递减区间是C．函数在定义域上是增函数D．函数的单调减区间是和【答案】ABD【解析】对于A：若对任意，，，显然，当时，则有；当时，则有；由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确．对于B：作出函数的图象，如图所示，由图象可知：函数的递减区间是，故B正确；对于C：由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误；对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确．故选：ABD．9．已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】CD【解析】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，则，即，可得，结合选项可知AB错误，CD正确.故选：CD.10．下列命题不正确的是（

）A．函数在定义域内是减函数B．函数在区间上单调递增C．函数的单调递减区间是D．已知函数是上的增函数，则的取值范围是【答案】AB【解析】A：因为，即.所以函数的定义域为.因为，但是，所以函数在定义域内不是减函数.故选项A不成立；B：因为，解得.所以函数的定义域为，且，.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数单调递增，所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.故选项B不成立；C：因为，解得：.所以函数的定义域为.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数单调递减，所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.故选项C成立.D：因为函数是上的增函数，所以各段均为增函数，且在分界点处前段函数的函数值不大于后段函数的函数值，所以实数应满足，解得.故选项D成立.故选：AB.11．已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件：①在上是单调函数；②在上的值域是.则称区间为函数的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】依题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且或，对于A，，在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，A正确；对于B，在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，B正确；对于C，在上单调递减，在上单调递增，假定函数存在倍值区间，若在上单调递增，则，即有，而或，无解，若在上单调递减，则，即，两式相减得，而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，C错误；对于D，当时，，函数在上单调递减，于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，D正确.故选：ABD三、填空题12．设函数同时满足以下条件：①定义域为；②；③，，当时，；试写出一个函数解析式.【答案】（答案不唯一）【解析】由③，不妨设，即，都有，即，即，所以由题意可知是定义域为的减函数且满足，不妨设一次函数满足题意，则，即.故答案为：.13．写出一个同时具有下列性质①②的函数.①对任意都成立；②在上不单调.【答案】（答案不唯一）【解析】根据性质①②，取函数，图象对称轴为，函数在在上单调递增，上单调递减，且，则满足①②，故答案为：14．已知函数的图象关于原点对称，且当时，，那么当时，.【答案】【解析】由题意，函数为奇函数，且当时，，则当时，，则.故答案为：.四、解答题15．已知函数，(1)在所给的坐标系中画出的图象；(2)根据图象，写出的单调区间和值域；【解析】（1）作出的图象如图所示：（2）由图知：的单调减区间为，单调增区间为，值域为.16．已知，.(1)判断的奇偶性并说明理由；(2)求证：函数在上单调递增；(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）为奇函数，理由如下：时，，故为奇函数；（2）令，则，∵，则，，，，∴，即，所以，∴在上单调递增.（3）因为对任意恒成立，由（2）知，因为在上单调递增，故，所以，则，可得或，所以.17．已知函数.(1)证明：为偶函数；(2)用定义证明：是上的减函数；(3)直接写出在的值域.【解析】（1）由函数可知，即，所以函数的定义域为，所以，，故为偶函数.（2）假设且，则，由，知，从而，即.所以是上的减函数.（3）因为在上减函数，所以在的值域为.18．已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，.(1)判断并证明的单调性；(2)当时，求关于的不等式的解集.【解析】（1）令，解得，又当时，可判断为减函数，证明如下：，不妨设，依题意，即，因为，所以，所以，因此，即，所以为减函数.（2）原不等可化为即：因单调递减，故成立.即：，当时，有，解为，当时，，解为，当时，，解为，综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.函数的概念与性质随堂检测1．函数的定义域是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题，，解得.故选：

D.2．函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数定义域为R，，因此函数是R上的奇函数，其图象关于原点对称，选项A，B不满足；又，选项C不满足，D符合题意.故选：D3．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的开口向上，对称轴为，由于在上递增，所以，解得，所以的取值范围是.故选：A4．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为为的偶函数，又，在上单调递增，所以，函数在在上单调递减，所以当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，又当或或时，，所以的解集为，故选：A.5．已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因为函数是定义在R上的偶函数，所以，即是定义在R上奇函数．又，，且，都有成立，所以在上单调递减，又是定义在R上奇函数，所以在R上单调递减，所以，即，所以，解得．故A，B，D错误.故选：C．6．（多选）已