山东省德州市高三上学期期中考试数学试题含解析

高三数学试题2024.11主考学校：庆云一中本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷12页，第Ⅱ卷34页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第I卷选择题（共58分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得集合，利用交集的意义求解即可.【详解】由，得，解得，所以由，所以，所以，所以.故选：D.2.以下有关不等式的性质，描述正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，，，，则，【答案】B【解析】【分析】举反例可说明选项A、D错误；利用不等式的性质得选项B正确；利用作差法可得选项C错误.详解】A.当时，，选项A错误.B.由得，故，选项B正确.C.，由得，，所以，故，选项C错误.D.令，满足，，，，结论不正确，选项D错误.故选：B.3.已知向量，，若与平行，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系，列方程即可得.【详解】由，可得，若若与平行可知，解得.故选：A4.已知等差数列的前n项和为，，，则（）A.180 B.200 C.220 D.240【答案】C【解析】【分析】利用等差数列定义可求得，再由等差数列的前n项和公式计算可得结果.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，可得；解得，因此.故选：C5.已知：，：，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先解分式不等式，根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可.【详解】由可得，解之得或，设：，对应，：，其解集对应，则是的充分不必要条件等价于A是B的真子集，所以.故选：A6.已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域，知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正，建立不等式组，求得的取值范围.【详解】令，则，∵，∴在上单调递减，由复合函数的单调性可知，在单调递减，∴，则，∴故选：D7.已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，根据，可得，计算即可.【详解】由，可得，当时，，因为方程在区间上恰有3个实数根，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C.8.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将问题转化为“的图象有三个交点”，然后作出的图象，根据经过点以及与相切分析出的临界值，则的范围可求.【详解】因为gx=fx所以的图象有三个交点，在同一平面直角坐标系中作出的图象，当经过点时，代入坐标可得，解得；当与的图象相切时，设切点为，因为此时，所以，所以切线方程为，即，所以，可得；结合图象可知，若的图象有三个交点，则，故选：B.【点睛】思路点睛：求解函数零点的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列结论正确的是（）A.B.，C.若，，D.的值域为【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式的三个要求“一正，二定，三相等”来判断各个选项即可.【详解】A选项：因为，故不满足“一正”，A选项错误；B选项：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以B选择正确；C选项：，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以C选项正确；D选项：因为，所以，当且仅当时取等号，但无解，所以，所以D选项错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A.函数有两个零点B.是的极小值点C.是的对称中心D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】求得函数的零点可判断A；求得导函数，求得的根，可得极小值点，从而可判断B；求得的对称轴，可得的对称中心判断C；利用函数在上单调递增可判断D.【详解】由，解得或，所以函数有两个零点，故A正确；由，得，令，解得或，当时，，当时，，所以是的极小值点，故B正确；由函数的对称轴为，此时的对称中心是两个极值点的中点，所以是的对称中心，故C不正确；当时，，所以在上单调递增，若，可得，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知数列的各项均为负数，其前项和满足，则（）A. B.为递减数列C.为等比数列 D.存在大于的项【答案】ABD【解析】【分析】令，可得出的值，令，可得出关于的方程，可解出的值，可判断A选项；由递推关系结合数列的单调性可判断B选项；假设数列为等比数列，推导出，求出的值，可判断C选项；利用反证法可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，由题意可得，因为，所以，，当时，由可得，整理可得，因为，解得，A对；对于B选项，当时，由可得，上述两个等式作差可得，因为，即，所以，数列为递减数列，B对；对于C选项，若数列为等比数列，则，因为，，，则，设等比数列的公比为，则，解得，不合乎题意，所以，数列不是等比数列，C错；对于D选项，假设对任意的，，则，此时，，与假设矛盾，假设不成立，D对.故选：ABD【点睛】关键点睛：本题在推断选项CD的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导．第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知正三角形的边长为2，为中点，为边上任意一点，则______.【答案】3【解析】【分析】由已知可得，从而利用可求值.【详解】因为三角形是正三角形，为中点，所以，所以，又正三角形的边长为2，所以，所以.故答案为：.13.设，当时，，则______.【答案】【解析】【分析】利用降幂公式化简可得，由已知可求得，再利用同角的三角函数的平方关系可求.【详解】，由，所以，所以，因为，又，所以，所以.故答案为：.14.已知函数的定义域为，，为偶函数，且，则______，______.【答案】①.1②.2026【解析】【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为偶函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果.【详解】由得，，，∴，故是周期为的函数.∵为偶函数，∴，∴，令，得，令，得.在中，令，得，∴.令，得，故，令，得，故.由函数的周期性得，.故答案为：1；2026.【点睛】方法点睛：①若，则函数的周期；②若，则函数的周期；③若，则函数的周期；④若，则函数的周期；⑤若，则函数的周期.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知中的三个角的对边分别为，且满足.（1）求；（2）若的角平分线交于，，求面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可；（2）根据角平分线性质，得，再利用基本不等式求解即可.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，又因为，所以，即，又，所以；【小问2详解】，即，化简得，所以，所以所以，当且仅当时取“=”，所以，所以面积的最小值为.16.某企业计划引入新的生产线生产某设备，经市场调研发现，销售量（单位：台）与每台设备的利润（单位：元，）满足：（a，b为常数）.当每台设备的利润为36元时，销售量为360台；当每台设备的利润为100元时，销售量为200台.（1）求函数的表达式；（2）当为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值.【答案】（1）（2）当为100元时，总利润取得最大值为20000元.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出的值即可得到函数的表达式；（2）根据函数的表达式得出利润的表达式，分段讨论出各段的最大值，比较后得到最大值.【小问1详解】由题意知，得故.【小问2详解】设总利润，由（1）得当时，，在上单调递增，所以当时，有最大值10000当时，，，令，得.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，有最大值20000.当时，.答：当为100元时，总利润取得最大值为20000元.17.在数列中，，其前n项和为，且（且）.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用的关系得，结合累乘法可得通项；（2）根据（1）的结论得出，由错位相减法得，再分离参数，根据基本不等式计算即可.【小问1详解】因为，代入，整理得，所以，以上个式子相乘得，.当时，，符合上式，所以.【小问2详解】.所以，①，②①②得，，所以.由得：，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即的取值范围是.18.已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）若函数存在正零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）单增区间是，无单减区间；（3）.【解析】【分析】（1）求得切点坐标，由导函数求出切点处导函数的值得到切线斜率，写出切线方程；（2）代入参数后求导函数，由导函数求得单调区间；（3）令导函数为新的函数再求导，根据的取值进行分类讨论，利用函数单调性和函数零点的定义即可得到的取值范围.【小问1详解】由题知，，于是，所以切线的斜率，于是切线方程为，即【小问2详解】由已知可得的定义域为，且，因此当时，，从而，所以的单增区间是，无单减区间；【小问3详解】由（2）知，，令，，当时，.①当时，可知，在内单调递增，又，故当时，，所以不存在正零点；②当时，，又，，所以存在满足，所以在内单调递增，在内单调递减.令，则当时，，故在内单调递增，在内单调递减，从而当时，，即，所以，又因为，所以，因此，，使得即此时存在正零点；③当时，，，从而为减函数.又，所以当时，.故时，恒成立，又，故当时，，所以函数不存在正零点；综上，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：已知函数有正零点，由函数零点的定义需要找到两个正数的函数值符号相反.本题在分析过程中因为参数的值会影响导函数的值，所以对进行分类讨论，得到函数的单调性后再研究函数值.19.已知数列，从中选取第项、第项、…第项，顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列.（1）写出2，8，4，7，5，6，9三个长度为4的递增子列；（2）若数列满足，，其子列长度，且的每一子列的所有项的和都不相同，求的最大值；（3）若数列为等差数列，公差为d，，数列是等比数列，公比为q，当为何值时，数列为等比数列.【答案】（1）2，4，7，9；2，4，5，6；2，4，5，9；（2）（3）【解析】【分析】（1）根据数列单调性以及子列长度的定义即可写出相应的递增子列；（2）依题意的取值尽量最小即可满足题意，由通项公式对它们的取值从小到大进行验证即可得出结果；（3）利用等差数列定义以及等比数列性质，由前三项构造等量关系即可得出当时，数列为等比数列.【小问1详解】根据题意可知，从所有数字中任意取4个并按照从小到大的顺序排列即可得出符合题意的递增子列；可取2，4，7，9；2，4，5，6；2，4，5，9；2，4，6，9；2，5，6，9；4，5，6，9中任意三个；【小问2详解】因为长度，且的每一子列的所有项的和都不相同，由可知，为使值最大，所以尽量使的取值最小即可，