（适用于新高考新教材）高考数学一轮总复习第五章三角函数课时规范练24三角恒等变换

课时规范练24三角恒等变换基础巩固组1.已知sinα+π2=55,α∈π2,0,则sin2α=()A.45 B.4C.455 D2.(2022山东聊城三模)已知sinα+π3=223,则sin2α+π6的值为()A.79 B.C.429 D3.化简:sin2π3+αsin2π6α=()A.cos2α+4π3 B.sin2α+π6C.cos2απ3 D.sinπ62α4.(2022湖北黄冈中学模拟)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°,若m2+n=4,则mn2sin2A.4 B.2 C.2 D.45.(2022湖南衡阳模拟)已知α,β都是锐角,且cosα+π3=1010,sinβπ6=55,则cos(αβ)=()A.22 B.C.7210 D6.(多选)已知π4≤α≤π,π≤β≤3π2,sin2α=45,cos(α+β)=A.cosα=1010B.sinαcosα=5C.βα=3πD.cosαcosβ=27.1+cos100°sin20°cos208.已知α为锐角,且sinα(3tan10°)=1,则α=.

9.(2022江西南昌高三检测)在①tan2α=43,②sinα=55已知角α是第一象限角,且.

(1)求tanα的值;(2)求sin2α+π2+cos(α+π)cosα+3π2的值.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.10.已知sinβsinα=cos(α+β),求证:tanβ综合提升组11.函数f(x)=sin2x4sin3xcosx(x∈R)的最小正周期为()A.π8 B.π4 C.π12.已知角α,β满足cos2α+52cosα=sinπ3+βsinπ3β+sin2β,且α∈(0,π),则α等于()A.π6 B.π4 C.π313.(多选)设sinβ+π6+sinβ=3+12,则sinβπ3=()A.32 B.1C.12 D.14.(2022山东潍坊模拟)在平面直角坐标系中,角α与角β的始边均与x轴非负半轴重合,它们的终边关于直线y=x对称.若sinα=13,则sin(αβ)=.15.(2022清华附中高三检测)已知函数f(x)=cosx(23sinx+cosx)sin2x.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)若f(x)在区间[0,m]上的值域为[1,2],求实数m的取值范围.创新应用组16.若▲表示一个整数,该整数使得等式▲cos40°+3sin40°A.1 B.1 C.2 D.317.已知α,β∈(0,π),cosα=31010,若sin(2α+β)=12sinβ,则α+β=A.5π4 BC.7π6 D

课时规范练24三角恒等变换1.B解析:因为sinα+π2=55,所以cosα=55.因为α∈π2,0,所以sinα=1-cos2α=1-(55)

2=255,所以sin2α=2sinαcos2.A解析:sin2α+π6=sin2α+π3π2=cos2α+π3=2sin2α+π31=2×891=79.3.B解析:由题意可知,sin2π3+αsin2π6α=sin2π3+αcos2π3+α=cos2π3+α=cos2π3+2α=cosπ32α=sin2α+π6,故选B.4.B解析:mn2sin5.B解析:因为α,β都是锐角,所以π3<α+π3<5π6又cosα+π3>0,sinβπ6>0,所以π3<α+π3<π2所以sinα+π3=1-cocosβπ6=1-si所以sinα+π3βπ6=sinα+π3cosβπ6cosα+π3sinβπ6=3=22所以sinαβ+π2=22,所以cos(αβ)=226.BC解析:对于A,因为π4≤α≤π,所以π2≤2α≤2π.又sin2α=45>0,故有π2≤2α≤π,π4≤α≤π2,则cos2α=35.又cos2α=2cos2α1,则cos2α=15,故cosα=55,故A错误;对于B,因为(sinαcosα)2=1sin2α=15,π4≤α≤π2,所以sinα>cosα,所以sinαcosα=55,故B正确;对于C,因为π≤β≤3π2,所以5π4≤α+β≤2π.又cos(α+β)=210<0,所以5π4≤α+β≤3π2,解得sin(α+β)=7210,所以cos(βα)=cos[(α+β)2α]=210×35+7210×45=22.又因为5π4≤α+β≤3π2,π≤2α≤π2,所以π4≤βα≤π,有βα=3π4,故C正确;对于D,cos(α+β)7.22解析:1+cos100°sin20°cos208.40°解析:由已知得sinα=13-tan10°=13-sin10°9.解(1)选①:因为tan2α=43,所以2tan所以2tan2α+3tanα2=0,即(2tanα1)(tanα+2)=0,解得tanα=12或tanα=2因为角α是第一象限角,所以tanα=12选②:因为sinα=55所以cos2α=1sin2α=45即cosα=±25因为角α是第一象限角,所以cosα=25则tanα=sinα(2)sin2α+π2+cos(α+π)cosα+3π2=cos2αcosαsinα=co=1-因为tanα=12所以1-即sin2α+π2+cos(α+π)cosα+3π2=15.10.证明因为sinβsinα=cos(α所以sinβ=sinα(cosαcosβsinαsinβ),即sinβ(1+sin2α)=12sin2αcosβ因此tanβ=sin2α故tanβ=sin2α311.C解析:f(x)=sin2x4sin3xcosx=2sinxcosx4sin3xcosx=2sinxcosx(12sin2x)=sin2xcos2x=12sin4x,所以函数的最小正周期T=2π12.C解析:由于sinπ3+βsinπ3β+sin2β=32cosβ+12sinβ32cosβ12sinβ+sin2β=34cos2β14sin2β+sin2β=34cos2β+34sin2β=34,因此cos2α+52cosα=34,即2cos2α1+52cosα=又因为α∈(0,π),故α=π3,故选C13.AC解析:依题意sinβ+π6+sinβ=3+12,sinβπ3+π2+sinβπ3+π3=3+12,所以cosβπ3+12sinβπ3+32cosβπ3=12sinβπ3+3+22cosβπ3=3+12,因此sinβπ3+(3+2)cosβπ3=3+1,所以cosβπ3=(3+1)-sin(β-π3)3+2.代入sin2βπ3+cos2βπ化简得(8+43)sin2βπ3(23+2)sinβπ3(3+23)=0,两边除以3+2,可得4sin2βπ3+(223)sinβπ33=0,2sinβπ3+12sinβπ33=0,解得sinβπ3=12或sinβπ3=32,故选AC.14.79解析:由题意可得α+β=2kπ+π2,k∈Z,即β=2kπ+π2α,k∈Z,而sinα所以sin(αβ)=sin2απ22kπ=cos2α=1+2sin2α=79.15.解(1)f(x)=cosx(23sinx+cosx)sin2x=23cosxsinx+cos2xsin2x=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6,故函数f(x)的最小正周期为T=2π2=由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),得图象的对称轴方程为x=kπ2+π(2)由0≤x≤m,得π6≤2x+π6≤2m+又值域为[1,2],故只需要π2≤2m+π解得π6≤m≤π所以m的取值范围为π6,π16.B解析:因为▲cos40°+3sin40°=4,所以▲sin40°+3cos40°=2sin80°,则▲sin40°+3cos40°=2cos10°,因此▲sin40°+3cos40°=2cos(40°30°),即▲sin40°+3cos40°=2cos40°cos30°+2sin40°sin30°,所以▲sin40°+3cos40°=2×32cos40°+2×12sin40°,即▲sin40°+3cos40°=17.A解析:由题意可知,sin(2α+β)=12sinβ,可化为sin[α+(α+β)]=12sin[(α+β)α],展开得sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=12cosαsin(α+β)12sinαcos(α+β),则c