2019年高考数学文科一轮复习课时作业24平面向量的概念及其线性运算

课时作业24平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝λeq\o(AO,\s\up12(→))，则λ＝()A．1B．2C．4D．6解析：根据向量加法的运算法则可知，eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\o(AO,\s\up12(→))，故λ＝2.答案：B2．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))＝a，eq\o(BD,\s\up12(→))＝b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－aB．c＝2a－C．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2)D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)解析：依题意得eq\o(BD,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))＝2(eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))，eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.答案：D3．(2018·咸阳二模)对于非零向量a，b，“2a＋3b＝0”是“a∥bA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：2a＋3b＝0⇔a＝－eq\f(3,2)b⇒a∥b，但由a∥b不一定能得到a＝－eq\f(3,2)b，故选A.答案：A4．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析：由已知，得eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up12(→))，故eq\o(AD,\s\up12(→))∥eq\o(BC,\s\up12(→)).又因为eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))不平行，所以四边形ABCD是梯形．答案：C5．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝c，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b.若点D满足eq\o(BD,\s\up12(→))＝2eq\o(DC,\s\up12(→))，则eq\o(AD,\s\up12(→))＝()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c解析：如图所示，可知eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝c＋eq\f(2,3)(b－c)＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.答案：A6．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up12(→))等于()A.eq\r(2)a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)))bB．－eq\r(2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)))bC．－eq\r(2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)))bD.eq\r(2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)))b解析：如图，作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于点F，由题意，得∠ACD＝90°，CF＝BE＝FD＝eq\f(\r(2),2)，因为eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝b－a，所以eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AE,\s\up12(→))＋eq\o(ED,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)))eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)))(b－a)＝－eq\r(2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)))b，故选B.答案：B7．(2017·新课标全国卷Ⅱ，文科)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|解析：方法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.方法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝|eq\o(DB,\s\up12(→))|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.答案：A8．(2018·贵州省适应性考试)已知向量e1与e2不共线，且向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1＋me2，eq\o(AC,\s\up12(→))＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件是()A．mn＝1B．mn＝－1C．m＋n＝1D．m＋n＝－1解析：因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(AC,\s\up12(→))，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝nλ,m＝λ))，所以mn＝1.答案：A9．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2)D．－1或－eq\f(1,2)解析：由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).答案：B10．(2018·银川一模)已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在的直线上D．P是AC边的一个三等分点解析：∵eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))，∴eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝eq\o(PB,\s\up12(→))－eq\o(PA,\s\up12(→))，∴eq\o(PC,\s\up12(→))＝－2eq\o(PA,\s\up12(→))＝2eq\o(AP,\s\up12(→))，∴P是AC边上靠近点A的一个三等分点．答案：D二、填空题11．下列与共线向量有关的命题：①相反向量就是方向相反的向量；②若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．其中错误命题的序号为________．解析：①不正确．相反向量满足方向相反，长度相等．②不正确，两向量不能比较大小；③不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可能不共线；④正确．答案：①②③12．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up12(→))＝________，eq\o(BC,\s\up12(→))＝________.(用a，b表示)解析：如图，eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝－eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝－a－b.答案：b－a－a－b13．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析：由题意知存在常数t∈R，使λa＋b＝t(a＋2b)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t))，解之得λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．(2018·怀柔模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5，e1＝eq\f(\o(AB,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|)，e2＝eq\f(\o(AD,\s\up12(→)),|\o(AD,\s\up12(→))|)，若eq\o(AC,\s\up12(→))＝xe1＋ye2，则x＋y的值为________．解析：在矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5，利用勾股定理可得AD＝4，因为e1＝eq\f(\o(AB,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|)，e2＝eq\f(\o(AD,\s\up12(→)),|\o(AD,\s\up12(→))|)，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＝3e1，eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＝4e2，所以eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e1＋4e2，所以x＝3，y＝4，x＋y＝7.答案：7[能力挑战]15．(2018·吉林大学附属中学摸底)在梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝3eq\o(DC,\s\up12(→))，则eq\o(BC,\s\up12(→))＝()A．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up12(→))B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AD,\s\up12(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))D．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))解析：在线段AB上取点E，使BE＝DC，连接DE，则四边形BCDE为平行四边形，则eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(ED,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→)).故选D.答案：D16．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋2eq\o(OC,\s\up12(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3B．4C．5D．6解析：∵D为AB的中点，则eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))，又eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋2eq\o(OC,\s\u