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文档简介
黑龙江省大庆市实验中学2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知过点且与曲线相切的直线的条数有().A.0 B.1 C.2 D.32.复数的虚部为()A. B. C.2 D.3.已知复数满足,则的共轭复数是()A. B. C. D.4.设集合,则()A. B.C. D.5.直线与抛物线C:交于A,B两点,直线,且l与C相切,切点为P,记的面积为S,则的最小值为A. B. C. D.6.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阄后,甲说:“我没抓到.”乙说:“丙抓到了.”丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话,根据他们的说法,可以断定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.函数的图像大致为().A. B.C. D.8.记其中表示不大于x的最大整数,若方程在在有7个不同的实数根,则实数k的取值范围()A. B. C. D.9.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.6410.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100km/h,现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为()A.300, B.300, C.60, D.60,11.已知为虚数单位,复数满足,则复数在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.计算等于()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数满足:①是偶函数;②的图象关于点对称.则同时满足①②的,的一组值可以分别是__________.14.在四面体中,与都是边长为2的等边三角形,且平面平面,则该四面体外接球的体积为_______.15.已知,,且,则最小值为__________.16.已知a,b均为正数,且,的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,角的对边分别为,已知.(1)求角的大小;(2)若,求的面积.18.(12分)已知椭圆的焦点为,,离心率为,点P为椭圆C上一动点,且的面积最大值为,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设点,为椭圆C上的两个动点,当为多少时,点O到直线MN的距离为定值.19.(12分)某商场为改进服务质量,在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查.调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:满意不满意男女是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券.若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品,求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.附表及公式:.20.(12分)某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足l小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为,,健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为,,且两人健身时间都不会超过3小时.(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望;(2)此促销活动推出后,健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.21.(12分)某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照,,,分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.从试销售期间任选三天,求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率;试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱瓶,批发成本元;小箱每箱瓶,批发成本元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为时看作销量为瓶).①设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量,求和的分布列和数学期望;②以利润作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?注:销售额=销量×定价;利润=销售额-批发成本.22.(10分)已知椭圆:,不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于,两点.(Ⅰ)若线段的中点坐标为,求直线的方程;(Ⅱ)若直线过点,点满足(,分别为直线,的斜率),求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
设切点为,则,由于直线经过点,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率,建立关于的方程,从而可求方程.【详解】若直线与曲线切于点,则,又∵,∴,∴,解得,,∴过点与曲线相切的直线方程为或,故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,求解曲线的切线的方程,其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.2、D【解析】
根据复数的除法运算,化简出,即可得出虚部.【详解】解:=,故虚部为-2.故选:D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.3、B【解析】
根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由,得,所以.故选:B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则,考查了复数的共轭复数的定义,属于基础题.4、B【解析】
直接进行集合的并集、交集的运算即可.【详解】解:;∴.故选:B.【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义,以及交集、并集的运算,是基础题.5、D【解析】
设出坐标,联立直线方程与抛物线方程,利用弦长公式求得,再由点到直线的距离公式求得到的距离,得到的面积为,作差后利用导数求最值.【详解】设,,联立,得则,则由,得设,则,则点到直线的距离从而.令当时,;当时,故,即的最小值为本题正确选项:【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题,通常采用构造函数关系的方式,然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.6、A【解析】
可采用假设法进行讨论推理,即可得到结论.【详解】由题意,假设甲:我没有抓到是真的,乙:丙抓到了,则丙:丁抓到了是假的,丁:我没有抓到就是真的,与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的;假设甲:我没有抓到是假的,那么丁:我没有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以断定值班人是甲.故选:A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用,其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键,着重考查了推理与分析判断能力,属于基础题.7、A【解析】
本题采用排除法:由排除选项D;根据特殊值排除选项C;由,且无限接近于0时,排除选项B;【详解】对于选项D:由题意可得,令函数,则,;即.故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,,此时.故选项B排除;故选项:A【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.8、D【解析】
做出函数的图象,问题转化为函数的图象在有7个交点,而函数在上有3个交点,则在上有4个不同的交点,数形结合即可求解.【详解】作出函数的图象如图所示,由图可知方程在上有3个不同的实数根,则在上有4个不同的实数根,当直线经过时,;当直线经过时,,可知当时,直线与的图象在上有4个交点,即方程,在上有4个不同的实数根.故选:D.【点睛】本题考查方程根的个数求参数,利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键,运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想,属于中档题.9、B【解析】
根据题意,有两种分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【详解】当按照进行分配时,则有种不同的方案;当按照进行分配,则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案,故选:B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化,还考查数学建模能力以及分类讨论思想,属于中档题.10、B【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数,同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率.【详解】由频率分布直方图得:在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为,∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为:,行驶速度超过的频率为:.故选:B.【点睛】本题考查频数、频率的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.11、B【解析】
求出复数,得出其对应点的坐标,确定所在象限.【详解】由题意,对应点坐标为,在第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的除法运算,属于基础题.12、A【解析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值.【详解】原式.故选:A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、,【解析】
根据是偶函数和的图象关于点对称,即可求出满足条件的和.【详解】由是偶函数及,可取,则,由的图象关于点对称,得,,即,,可取.故,的一组值可以分别是,.故答案为:,.【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质,属于基础题.14、【解析】
先确定球心的位置,结合勾股定理可求球的半径,进而可得球的面积.【详解】取的外心为,设为球心,连接,则平面,取的中点,连接,,过做于点,易知四边形为矩形,连接,,设,.连接,则,,三点共线,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题,外接球的半径的求解一般有两个思路:一是确定球心位置,利用勾股定理求解半径;二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.15、【解析】
首先整理所给的代数式,然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】,结合可知原式,且,当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.16、【解析】
本题首先可以根据将化简为,然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为,所以,当且仅当,即、时取等号,故答案为:.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值,基本不等式公式为,在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况,考查化归与转化思想,是中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)由,得,得,由正弦定理得,显然,同时除以,得.所以.所以.显然,所以,解得.又,所以.(2)若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.18、(1);(2)当=0时,点O到直线MN的距离为定值.【解析】
(1)的面积最大时,是短轴端点,由此可得,再由离心率及可得,从而得椭圆方程;(2)在直线斜率存在时,设其方程为,现椭圆方程联立消元()后应用韦达定理得,注意,一是计算,二是计算原点到直线的距离,两者比较可得结论.【详解】(1)因为在椭圆上,当是短轴端点时,到轴距离最大,此时面积最大,所以,由,解得,所以椭圆方程为.(2)在时,设直线方程为,原点到此直线的距离为,即,由,得,,,所以,,,所以当时,,,为常数.若,则,,,,,综上所述,当=0时,点O到直线MN的距离为定值.【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查运算求解能力.解题方法是“设而不求”法.在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式.19、有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关;.【解析】
由题得,根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关;获得了元购物券的人中男顾客有人,记为,;女顾客有人,记为,,,.从中随机抽取人,所有基本事件有个,其中仅有1人是女顾客的基本事件有个,进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.【详解】解析:由题得所以,有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.获得了元购物券的人中男顾客有人,记为,;女顾客有人,记为,,,.从中随机抽取人,所有基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,共个.其中仅有1人是女顾客的基本事件有:,,,,,,,,共个.所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识,考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识,属于中档题.20、(1)见解析,40元(2)6000元【解析】
(1)甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况,因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况,分情况计算即可(2)根据(1)结果求均值.【详解】解:(1)由题设知可能取值为0,20,40,60,80,则;;;;.故的分布列为:020406080所以数学期望(元)(2)此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为:(元)【点睛】考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法,中档题.21、;①详见解析;②应该批发一大箱.【解析】
酸奶每天销量大于瓶的概率为,不大于瓶的概率为,设“试销售期间任选三天,其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件,则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.①若早餐店批发一大箱,批
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