计数原理、概率与统计专题复习

计数原理、概率与统计专题复习(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．1 (xm1．1 (xm)2正态分布密度函数PO(X)=丁•e2s2.其中四<0的图象可能为()也° \.;2n-g2．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是( )TOC\o"1-5"\h\zA．1260 B．120 C．240 D．720.(x+1)4的展开式中X2的系数为()A．4 B．6C．10 D．20.中央电视台1套连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A.120种 B.48种C.36种 D.18种.(1—2x)5(2+x)的展开式中X3的项的系数是()A.120 B.－120 C.100 D.－100TOC\o"1-5"\h\z.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是( )A.36B.32 C.28D.24.从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，不同的参赛方案共有( )A.24种 B.18种 C.21种D.9种.若(1—2x)2010=a0+a1xH Ha2010x2010(x£R),则a1+22H b22黑的值为()A.2B.0C.—1 D.—2.从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A.29^10B-29D.A.29^10B-29D.2029.袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，TOC\o"1-5"\h\z从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( )AC4c2c32c16 BC4C8c32c46c10 c40cc2c8c12c46 Dc4c3c12c16c40 c10.若(是离散型随机变量，P(<=x1)=3,P(户%2)=3,且x142；又已知E©=3,D©1 3 2 3 12 32=9，则x]+X2的值为()A.3B.3c.A.3B.3c.311D百.设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]=2,[|]=1),对于给定的nGN*,定义cn=n(n—1)•,,(n(n—1)•,,(n-[x]+1)x(x—1尸.(x-[x]+1)，xG[1,+8),则当xg[|,3)时，函数c8的值域是(All28_JC.（4,All28_JC.（4,28）U[28,56）D.4，16163_28二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一射手射击时其命中率为0.4，则该射手命中的平均次数为2次时，他需射击的次数为 ．14.(1+%+%2)(X-1)6的展开式中的常数项为 .x15．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答)．16•设(1+%)+(1+%)2+…+(1+%)n=a0+ai%+…+an_1%L1+an%n，an」=2009,则a°+a1+ +a_1+a=(表示成Ba—久的形式).三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)(2011.重庆西南师大附中期末)已知(。2+1)〃的展开式中各项系数之和等于(?%2+.)5的展开式的常数项，并且(a2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求a的值.18.(12分)某市有210名学生参加数学竞赛预赛，随机抽阅60名学生答卷，成绩如下:成绩(分)12345678910人数0006152112330(1)求样本的数学平均成绩和标准差(精确到0.01).(2)若总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程.(12分)一个袋中有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至7少得到1个白球的概率是9.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望E(X).（12分）已知（3X+%2）2n的展开式的二项式系数和比（3%-1）n的展开式的二项式系数和大992.求QX-%）2n的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为41,2；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为2,1；两人租车时间都不会超过四小时.（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量乙，求乙的分布列及数学期望E©.（12分）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下:①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分.②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局;

当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局．③每位参加者按问题A、B、。、D顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题A、B、0、D回答正确的概率依次为4,2,3,4,且各题回答正确乙J与否相互之间没有影响．（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用（表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求（的分布列和数学期望E©.A「."（x）图象的对称轴为x=g,且Q（x）图象在x轴上方，・•・由图象知选项A适合.］D［相当于3个元素排10个位置，共有10x9x8=720（种）.］B［（x+1）4的展开式中X2的系数为02=6.］0［先排最后一个公益宣传广告有012种方法，再在前三个位置中选一个排第二个公益宣传广告有。3种方法.余下的三个排商业广告有A3种方法.故共有0203A3=36（种）.］5.B［（1－2x）5（2＋x）=2（1－2x）5＋x（1－2x）5=—H205（—2x）3+x05（—2x）2H—=—+（402—1605）x3+- 120x3+—.］A［分类：①若5在首位或末位，共有2A2-A3=24（个）；②若5在中间三位，共有A1A2^A2=12（个）.故共有24+12=36（个）．］B［先选后排共02A3=3X3X2X1=18（种）.］0「.,（1—2x）2010=1—010102-x+0201022・x2+ +0201022010x2010•••2+22+…+22Z=—01010+02010+…+02010=（1—1）2010—02010=—1.］d［（间接法）p=1—p=1—0^—03°=291即抽取球的A［分层抽样即按红、蓝、白黄球之比为16：12：8：4来抽取的，个数依次为4,3,2,1，即抽取球的<11.0［由已知得2, 1_4盯3+叼<11.0［由已知得2, 1_4盯3+叼3=3,l（x1-据+卜42，=23尸39,<解之得x1x253,23,X]=1,〈lx2=2.又x1<x2，所以x1+x2=3.］D［当x£2,2）时，［x］=1,0x=X在2，2）上单调递减，故0x£（4,中. , 8X7 <28 I当x£［2,3）时，［x］=2,0x=x（x—1）在23）上递减，故。xGVT，28.综上，所求值域为(4,16U(28,28.]13．513．5解析设射手射击n次的命中次数为自，则自〜B(n,p),由题意知E(9=0.4n=2,解之，得n=5.＋1561=(1+x+x2)(X6-6x4+15x2—20+五—X4+X6),所以常数项为1X(—20)+x2-15=—5.x215．1080解析先将6位志愿者分组，共有CAC种方法；再把各组分到不同场馆，共有A4种方法.由乘法原理知，不同的分配方案共有CAC2•A4=1080(种).16．22009－2解析an_1=1+Cn—1=2009,得n=2008,原式中令x=1得a°+ai+a2+…+a2007+a2008=2+22H +22008=22009—2.17.解pfx2+日5展开式的常数项为：C4(*2)(TX)4=16,(4分)(a2+1)n展开式的系数之和2n=16,n=4.(6分)・・・(a2+l)n展开式的系数最大的项为C2(a2)2XI2=6a4=54,/.a=±\''3.(10分)18.解(1)样本的数学平均成绩-X=60(4X6+5X15+6X21+7X12+8X3+9X3)=6,同样可求出方差s2=1.5,所以标准差约为1.22.(4分)故样本的数学平均成绩为6分,标准差约为1.22.(6分)(2)由(1)可估计出口=6,。=1.22.因为总体服从正态分布，所以正态曲线的近似方程为1 (i-6)2-9(x)=i22^ne3.(12分)19.解(1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A,设袋中白球的个数为X,得到x=5(x=14>10,不合题意，舍去).其中N=10,M=5,n得到x=5(x=14>10,不合题意，舍去).其中N=10,M=5,n=3,X0123P155112121212k=0,1,2,3,(2)X服从超几何分布，其中P(X=k)=CC-k,Ck=0,1,2,3,(10分)X的数学期望

E(X)=12X0+12X1+12*2+12*3=2.JL乙 JL乙 JL乙 JL乙 乙（12分）20.解由题意知，22n—2n=992,即（2n—32）（2n+31）=0,・・・2n=32,解得n=5.（1）由二项式系数的性质知,（2x—X）i0的展开式中第6项的二项式系数最大，即C10=252.・•・•・£=C50(2x)5(-5=-C50?5=—8064.（4分）（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，••2+i=CIoOx"「（—J=（—1）rC10・2l0-r・X10-2r,（6分）」C1o20-■C101^210-r+1__<,C10，210—r三C1+1•210—r—1公尸10三2C1o1 即|11—r>r得4 ,即4 ,[2C10三C1+1 [2（r+1）N10—r解得8WrW11,（10分）•..r£N,「.r=3.故系数的绝对值最大的是第4项，T4=—C1027.%4=—15360%4.（12分）.解（1）由题意，得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为4,4,记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P（A）=1X1+1X1+1X1=焉.（4分）42244416...甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为16.（6分）（2片可能取的值有0,2,4,6,8.（8分）1-8

1-8

=

1-2

X

1-4

=0)

=

(PP(^=2)=4X4+2X2=16；“八11,11,11 5P(j=4)=-X-+-X-+-X-=—•P(弓4)2X4+4X2+4X416；P(者=6)=1x~+」X1=3.P(，6)2X4+4X416；P(乙=8)=4x4=116.(10分)...甲、乙两人所付的租车费用之和乙的分布列为(02468P155318161616161 5 5 3 17••E©=0X8+2X—+4X—+6X—+8X16=2.（12分）.解（1）设A、B、C、D分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题，A、B、C、D分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意得：3 111P（A）=4,P（B）=2,P（C）=3,P（D）=4,

— 1 — 1 — 2 — 3・•・P(A尸4,P(B尸2,P(C尸3,P(D尸4.(2分)(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q.贝UQ=ABC+ABCD+ABCD+~XBCD+~AB~CD....每题结果相互独立.•=P(Q)=P(ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)•P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)•P(D)3x/l1,3x/l,11,3x/l2x1,