中考数学总复习《有关数与式问题》专项检测卷及答案

第第页中考数学总复习《有关数与式问题》专项检测卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．填空题（共20小题）1．（2024秋•渝中区期中）若一个三位数，各个数位上的数字均不为零，且满足各个数位的数字之和为4的倍数，称这样的数为“四方数”，如138，1+3+8＝12＝3×4，所以138是“四方数”，如257，2+5+7＝14，14不是4的倍数，所以257不是“四方数”，若“四方数”M＝100a+10b+c，其中a+2＝2b﹣c，交换M的百位与个位数字得到M1，记F(M)=M−M199，若F(M)+ba−b2．（2024秋•巴南区月考）若一个各个数位的数字均不为零的四位数M满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将一个“间位等和数”的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B，令F(M)=A+B33．若四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则F（1254）＝．如果F（M）是一个自然数的平方，那么M的最大值与最小值的差为3．（2024秋•巴南区月考）对于一个各个数位上的数字均不为零且不相等的三位自然数m，若m的十位数字分别小于m的百位数字与个位数字，则称m为“伯仲数”，当三位自然数为“伯仲数”时，重新排列m各个数位上的数字可得到一个最大数m1，和一个最小数m2，规定F(m)=m1−m299，例如：m＝634，因为3＜6，3＜4，所以634是“伯仲数”，且F(m)=643−34699，则最小的“伯仲数”是；若三位自然数n＝100x+10y+z是“伯仲数”（其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均为整数），且n的个位数字小于百位数字，F（4．（2024春•江津区月考）一个三位数m，每个数位上的数字均不为0，且满足百位＜十位＜个位，称为“步步高升数”，将“步步高升数”m个位与百位交换得到m′，记G(m)=m'−m99．例如：128满足1＜2＜8，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记若p是一个“步步高升数”，则G（p）的最大值为，一个“步步高升数”p是3的倍数，且满足G（p）是一个完全平方数，则所有满足条件的p的平均值为．5．（2024秋•重庆期中）若一个两位数t满足其十位数字小于个位数字，则称这个两位数为“逐增数”，将“逐增数”t的个位数字与十位数字的差放在t的前面得到的三位数记为t1，将t的个位数字与十位数字的差放在t的后面得到的三位数记为t2，F(t)=t1−t29，如：当t＝25时，t1＝325，t2＝253，F(t)=325−2539=8，若m为最大的“逐增数”，则F（m）＝，已知x＝10a+b，y＝10b+c（a，b，c为整数且1≤a，b，c≤9），x，y6．（2024秋•渝中区校级月考）对于一个任意的四位数M，若M的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“扩张数”．例如：四位数3197，因为3+1＝4，9+7＝16，所以3197是“扩张数”；四位数6238，因为6+2＝8，3+8＝11，11不是8的倍数，所以6238不是“扩张数”．若N＝2000x+3313+100y+20m+n是“扩张数”，其中1≤x≤3，0≤y≤5，0≤m≤9，0≤n≤6，且x、y、m、n都是整数，记P（N）＝2m+n+3，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6；若P(N)Q(N)是5的倍数，则满足条件的N的最大值为7．（2024秋•万州区期中）我们规定：若一个正整数A能写成a2﹣b，其中a与b都是两位数，且a与b的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成a2﹣b的过程，称为“方减分解”例如：因为458＝222﹣26，22与26的十位数字相同，个位数字2与6的和为8，所以458是“方减数”，458分解成458＝222﹣26的过程就是“方减分解”．按照这个规定，在100～200之间最小的“方减数”是．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝a2﹣b，将a放在b的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为2，则满足条件的“方减数”A的最大值为．8．（2024秋•重庆期中）对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数p，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数xyz，当（xy﹣xz）的值最小时，称此时的xyz为自然数p的“魅力数”，并规定K（p）＝（|y﹣z|+x）2．例如：p＝157时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为351、315、531、513、135、153，因为（3×1﹣3×5）的值最小，所以315是157的“魅力数”，此时K（p）＝（5﹣1|+3）2＝49，则k（246）＝，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且s＝100a+21，t＝120b+a，其中（1≤a≤9，1≤b≤4，a、b均为整数）若（s+t）能被5整除，（s﹣t）能被11整除，则K（t）的最小值为．9．（2024秋•九龙坡区校级期中）一个四位数M，若千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11，则称M为“双11数”．将M的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到M的逆序数M′，并记K(M)=M−M'99．若M是最大的“双11数”则K（M）＝；若M是“双11数”且K(M)+1119是完全平方数，则满足条件的M10．（2024秋•北碚区校级期中）阅读材料：对于任意一个三位正整数M=abc=100a+10b+c，如果满足百位上的数字与十位上的数字之差恰好等于个位上的数字，我们称这个数M为“差数”，并记P(M)=|a+b−c|3．例如：正整数321，因为3﹣2＝1，所以321是“差数”，P(321)=|3+2−1|3=43．若“差数”M与其各个数位上的数字之和的差能被81整除，且M11．（2024秋•南岸区校级月考）一个四位数A＝M×N，其中M、N均为两位数，M、N的十位数字相同且|M﹣N|＝2，则A的最小值是；将M放在N的左边形成一个新的四位数B，我们称B为A的“合构数”，若B的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且A能被17整除，则满足条件的B的最小值是．12．（2024秋•九龙坡区校级期中）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“智慧数”．把“智慧数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数M'；．规定F(M)=M'−M99例如：M＝2371，∵2+3＝5，7+1＝8，∴2371是“智慧数”．则F(2371)=7123−237199=48．如果“智慧数”N＝1435，则F（N）＝；已知S＝1000a+100b+10c+d是“智慧数”，（1≤a，b≤4，1≤c，d≤7且a，b，c，d均为整数），若F（S13．（2024秋•酉阳县校级期中）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字均不为0，满足ab+bc=2c+cd，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，∵21+12＝2×2+29，∴2129是“天天向上数”：又如3465，∵34+46≠2×6+65，∴3465不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为a358，则此时a＝；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数abc与后三位数字组成的三位数14．（2024秋•两江新区校级期中）对于一个任意的四位数M，若M的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“成倍数”．例如：四位数3197，因为3+1＝4，9+7＝16，所以3197是“成倍数”；四位数6238，因为6+2＝8，3+8＝11，11不是8的倍数，所以6238不是“成倍数”．若N＝2000x+3313+100y+20m+n是“成倍数”，其中1≤x≤3，0≤y≤5，0≤m≤9，0≤n≤6，且x、y、m、n都是整数，记P（N）＝2m+n+3，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6；最小的“成倍数”为；若P(N)Q(N)是5的倍数，则满足条件的N的最小值为15．（2024春•沙坪坝区校级期末）对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字与十位数字之差的2倍，则称M为“2阶等差中项数”，将这个三位自然数M的百位数字和个位数字互换位置，得到M'，规定F(M)=M−M'99．已知A、B均为“2阶等差中项数”，其中A＝310+10x+y，B＝100m+70+n（1≤x≤8，1≤y，m，n≤9，且x，y，m，n均为正整数）．令k=F(A)F(B)，当30﹣3F（A）﹣F（B）为完全平方数时，则满足条件的所有16．（2024秋•九龙坡区校级月考）一个四位数m，若十位与千位上的数字之和等于个位与百位上的数字之和，则称这个数为“跳位和等数”，将“跳位和等数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数m1，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数m2，记F（m）=m1−m2909．则F（7542）＝．若s，t都是“跳位和等数”，其中s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是整数，则当F（t）﹣4F（s）能被26整除时，F（t）17．（2024秋•九龙坡区校级期中）如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和差数”．若将M的千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M′，则F（M）=M−M'9．若m1n5为“和差数”，且F(m1n5)=323，则m+n＝．若将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M″，并规定G（M）=M+M″101．若“和差数”M=abcd18．（2024春•渝中区校级期中）阅读材料：一个四位自然数N=abcd（a、b、c、d为数位上的数字且均不为0），把这个四位数分成两个两位数ab和cd，若ab根据材料，最小的“60”数是．已知N=abcd是一个“60”数，去掉它的千位数字后得到一个三位数bcd，去掉它的个位数字后得到一个三位数abc，若bcd与abc的和能被11整除，则满足条件的N的最大值为19．（2024秋•大渡口区校级期中）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异能数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′，把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F（n），例如：n＝34时，n′＝43，F(34)=3443−433411=−81，则F（38）＝；若s、t为“异能数”，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1＜b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a，b，x，y为整数）规定：K(s，t)=s−tt，若F（s）能被7整除，且F（s）+F（t）﹣81y＝162，求K（s20．（2024秋•开州区期中）若一个三位正整数m=abc（各个数位上的数字均不为0）满足a+b+c＝9，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记F（m）=m+n9．如：m＝216满足2+1+6＝9，则216为“吉祥数”，那么n＝612，所以F（216）=216+6129=92．则最小的“吉祥数”是；对于任意一个“吉祥数”m，若F（参考答案一．填空题（共20小题）1．（2024秋•渝中区期中）若一个三位数，各个数位上的数字均不为零，且满足各个数位的数字之和为4的倍数，称这样的数为“四方数”，如138，1+3+8＝12＝3×4，所以138是“四方数”，如257，2+5+7＝14，14不是4的倍数，所以257不是“四方数”，若“四方数”M＝100a+10b+c，其中a+2＝2b﹣c，交换M的百位与个位数字得到M1，记F(M)=M−M199，若F(M)+ba−b【解答】解：∵a+2＝2b﹣c，∴c＝2b﹣a﹣2，∴M＝100a+10b+（2b﹣a﹣2）＝99a+12b﹣2，∴M1＝100（2b﹣a﹣2）+10b+a＝210b﹣99a﹣200，∴F（M）=(99a+12b−2)−(210b−99a−200)99=198a−198b+19899∵F(M)+ba−b∴2a−2b+2+ba−b∵2a−b+2a−b=a−b+a+2a−b=1+a+2a−b，a+b+c＝a+b∴a+2a−b为整数，3b∴a最大可取8，b最大可取6，∴c的值为2．∴满足条件的M的最大值为862．2．（2024秋•巴南区月考）若一个各个数位的数字均不为零的四位数M满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将一个“间位等和数”的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B，令F(M)=A+B33．若四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则F（1254）＝2．如果F（M）是一个自然数的平方，那么M的最大值与最小值的差为【解答】解：∵1+5＝2+4，∴1254为“间位等和数”，∴A＝12，B＝54，∴F(1254)=12+54∵A＝10a+b，B＝10c+d，a+c＝b+d，∴F(M)=10a+b+10c+d∵F（M）是一个自然数的平方，且a和c均为不为0的10以内自然数，∴a+c＝3或a+c＝12．∵求M的最大值，∴a和b均取9，∴c＝d＝3，即最大值为9933；∵求M的最小值，∴a和b均取1，∴c＝d＝2，即最小值为1122，∴M的最大值与最小值的差为9933﹣1122＝8811．故答案为：2，8811．3．（2024秋•巴南区月考）对于一个各个数位上的数字均不为零且不相等的三位自然数m，若m的十位数字分别小于m的百位数字与个位数字，则称m为“伯仲数”，当三位自然数为“伯仲数”时，重新排列m各个数位上的数字可得到一个最大数m1，和一个最小数m2，规定F(m)=m1−m299，例如：m＝634，因为3＜6，3＜4，所以634是“伯仲数”，且F(m)=643−34699，则最小的“伯仲数”是213；若三位自然数n＝100x+10y+z是“伯仲数”（其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均为整数），且n的个位数字小于百位数字，F（【解答】解：设一个“伯仲数”的百位数，十位数，个位数分别为a、b、c，∴a＞b，c＞b，∵b≥1且b为正整数，∴b的最小值为1，∴a的最小值为2，∵要使得一个“伯仲数”，∴a要最小，∴此时满足a＝2，b＝1，∴此时也要c最小，∴c＝3，∴最小的“伯仲数”为213；∵由题意可得：n的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，∵x＞z＞y，∴F(n)=100x+10z+y−(100y+10z+x)∵F（n）+2x＝18，∴x﹣y+2x＝18，∴y＝3x﹣18，∵要使n最大，要满足x最大，∴当x＝9时，y＝3x﹣18＝9，此时不符合题意，舍去；当x＝8时，y＝3x﹣18＝6，此时z＝7，符合题意，∴n的最大值即为867，故答案为：213；867．4．（2024春•江津区月考）一个三位数m，每个数位上的数字均不为0，且满足百位＜十位＜个位，称为“步步高升数”，将“步步高升数”m个位与百位交换得到m′，记G(m)=m'−m99．例如：128满足1＜2＜8，则称128为“步步高升数”，将“步步高升数”128个位与百位交换得到821，记若p是一个“步步高升数”，则G（p）的最大值为8，一个“步步高升数”p是3的倍数，且满足G（p）是一个完全平方数，则所有满足条件的p的平均值为357．【解答】解：依题意，p是一个“步步高升数”，设这个“步步高升数”为p＝a×100+b×10+c（a＜b＜c），∴将“步步高升数”的个位与百位交换得到p′＝c×100+b×10+a（a＜b＜c），∵G(m)=m'−m∴c×100+b×10+a﹣（a×100+b×10+c）＝（c﹣a）×100﹣（c﹣a）＝99（c﹣a），则G(p)=p'−p∵a＜b＜c，且a，b，c都是正整数，∴则G（p）的最大值为c﹣a＝8，∵G（p）是一个完全平方数，∴G（p）＝c﹣a＝1，4，9，∵a＜b＜c，且a，b，c都是正整数，∴G（p）＝c﹣a＝1，9都舍去，∴G（p）＝c﹣a＝4，故当c＝9时，则a＝5，∴p′＝985，975，965，p＝589，579，569，故当c＝8时，则a＝4，∴p′＝874，864，854，p＝478，468，458，故当c＝7时，则a＝3，∴p′＝763，753，743，p＝367，357，347，故当c＝6时，则a＝2，∴p′＝652，642，632，p＝256，246，236，故当c＝5时，则a＝1，∴p′＝541，531，521，p＝145，135，125，∵一个“步步高升数”p是3的倍数，∴p＝579，357，468，246，135，∴579+357+468+246+1355∴满足条件的p的平均值为357．故答案为：8，357．5．（2024秋•重庆期中）若一个两位数t满足其十位数字小于个位数字，则称这个两位数为“逐增数”，将“逐增数”t的个位数字与十位数字的差放在t的前面得到的三位数记为t1，将t的个位数字与十位数字的差放在t的后面得到的三位数记为t2，F(t)=t1−t29，如：当t＝25时，t1＝325，t2＝253，F(t)=325−2539=8，若m为最大的“逐增数”，则F（m）＝﹣78，已知x＝10a+b，y＝10b+c（a，b，c为整数且1≤a，b，c≤9），x，y【解答】解：∵m为最大的“逐增数”，∴m＝89，∴t1＝189，t2＝891，∴F（m）=189−891∵x＝10a+b，∴x1＝100（b﹣a）+10a+b＝101b﹣90a，x2＝100a+10b+（b﹣a）＝99a+11b，∴x1﹣x2＝90b﹣189a，∴F（x）=x1−x2∵y＝10b+c，∴y1＝100（c﹣b）+10b+c＝101c﹣90b，y2＝100b+10c+（c﹣b）＝99b+11c，∴y1﹣y2＝90c﹣189b，∴F（y）=y1−y2∵F(x)+F(y)+x+y11(10b−21a)+(10c−21b)+(10a+b)+(10b+c)11=−11a+11c＝c﹣a，∴c﹣a是完全平方式，∵a，b，c为整数且1≤a，b，c≤9，∴c﹣a＝4或1，9，∴c＝4+a或c＝a+1（与题意不符）或c＝a+9（不合题意），∴x+y＝10a+b+10b+c＝10a+11b+c＝10a+11b+4+a＝11a+11b+4＝11（a+b）+4，∵c最大为9，∴a最大为5，∴当a＝5，b＝6时，x+y最大，x+y＝11×11+4＝125，当a＝1，b＝2时，x+y最小，x+y＝11×3+4＝37，∴125﹣37＝88，故答案为：﹣78，88．6．（2024秋•渝中区校级月考）对于一个任意的四位数M，若M的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“扩张数”．例如：四位数3197，因为3+1＝4，9+7＝16，所以3197是“扩张数”；四位数6238，因为6+2＝8，3+8＝11，11不是8的倍数，所以6238不是“扩张数”．若N＝2000x+3313+100y+20m+n是“扩张数”，其中1≤x≤3，0≤y≤5，0≤m≤9，0≤n≤6，且x、y、m、n都是整数，记P（N）＝2m+n+3，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6；若P(N)Q(N)是5的倍数，则满足条件的N的最大值为7997【解答】解：当0≤m≤4时，N＝2000x+3313+100y+20m+n＝2x×1000+3×1000+3×100+10+3+y×100+2m×10+n＝（2x+3）×1000+（y+3）×100+（2m+1）×10+（n+3）．∵N是“扩张数”，∴2x+3+y+3＝2x+y+6是4的倍数，2m+1+n+3＝2m+n+4是8的倍数．∴当2m+n+4＝8，得m=0n=4，m=1n=2，m=2n=0，P（N）＝2m当2m+n+4＝16，得m=3n=6，P（N）＝2m+n当2x+y+6＝8，得x=1y=0，Q（N）＝9x2﹣y2当2x+y+6＝12，得x=1y=4，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝﹣13，x=2y=2，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝26，x=3y=0，Q（N）＝9x2﹣当2x+y+6＝16，得x=3y=4，Q（N）＝9x2﹣y2∵P(N)Q(N)∴只有P（N）＝2m+n+3＝15，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝3，P(N)Q(N)此时，x=1y=0，m=3∴N＝5379．当5≤m≤9时，N＝2000x+3313+100y+20m+n＝（2x+3）×1000+（y+4）×100+（2m﹣9）×10+（n+3）．∵N是“扩张数”，∴2x+3+y+4＝2x+y+7是4的倍数，2m﹣9+n+3＝2m+n﹣6是8的倍数．当2m+n﹣6＝8，得m=5n=4，m=6n=2，m=7n=0，P当2m+n﹣6＝16，得m=8n=6，m=9n=4，P（N）＝2当2x+y+7＝12，得x=1y=3，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝﹣6；x=2y=1，Q（N）＝9x2﹣y当2x+y+7＝16，得x=2y=5，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝5；x=3y=3，Q（N）＝9x2﹣y只有P（N）＝2m+n+3＝25，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝5，P(N)Q(N)此时，x=2y=5，m=8n=6或∴N＝7979，或N＝7997．综上分析，N的最大值为：7997．故答案为：7997．7．（2024秋•万州区期中）我们规定：若一个正整数A能写成a2﹣b，其中a与b都是两位数，且a与b的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成a2﹣b的过程，称为“方减分解”例如：因为458＝222﹣26，22与26的十位数字相同，个位数字2与6的和为8，所以458是“方减数”，458分解成458＝222﹣26的过程就是“方减分解”．按照这个规定，在100～200之间最小的“方减数”是104．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝a2﹣b，将a放在b的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为2，则满足条件的“方减数”A的最大值为9124．【解答】解：设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），由题意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b），∵1≤a≤9，“方减数”最小，∴a＝1，则m＝10+b，n＝18﹣b，∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b，∵当b＝0时，m2﹣n＝82；b＝1时，m2﹣n＝104；∴100～200之间最小的“方减数”是104，故答案为：104；设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8，∵B除以19余数为2，∴1010a+99b+6能被19整除，∴B−219∵“方减数”A的值最大，∴当a＝9，b＝0时，3a+4b+619当a＝9，b＝1时，3a+4b+619当a＝9，b＝2时，3a+4b+619当a＝9，b＝3时，3a+4b+619当a＝9，b＝4时，3a+4b+619当a＝9，b＝5时，3a+4b+619当a＝9，b＝6时，3a+4b+619∴m＝10×9+6＝96，则n＝10×9+8﹣6＝92，∴A＝962﹣92＝9124；故答案为：9124．8．（2024秋•重庆期中）对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数p，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数xyz，当（xy﹣xz）的值最小时，称此时的xyz为自然数p的“魅力数”，并规定K（p）＝（|y﹣z|+x）2．例如：p＝157时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为351、315、531、513、135、153，因为（3×1﹣3×5）的值最小，所以315是157的“魅力数”，此时K（p）＝（5﹣1|+3）2＝49，则k（246）＝64，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且s＝100a+21，t＝120b+a，其中（1≤a≤9，1≤b≤4，a、b均为整数）若（s+t）能被5整除，（s﹣t）能被11整除，则K（t）的最小值为100．【解答】解：当p＝248时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6、2、4，重新组合后的数为：624，642，426，462，246，264，∵（4×2﹣4×6）的值最小，∴426是248的“魅力数”，此时K（248）＝（|6﹣2|+4）2＝64，∵s＝100a+21，t＝120b+a，∴s+t＝10la+21+120b，∵（s+t）能被5整除，∴10la+21也能被5整除，∵1≤a≤9，a为整数，∴a＝4或9，∵s＝100a+21，t＝120b+a，∴s﹣t＝99a+21﹣120b，∵（s﹣t）能被11整除，∴21﹣120b也能被11整除，∵1≤b≤4，b为整数，∴b＝1，∴t＝124或129，当p＝124时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、6、2，重新组合后的数为：623，632，326，362，236，263，∵（3×2﹣3×6）的值最小，∴326是124“魅力数”，此时K（124）＝（|6﹣2|+3）2＝49，当p＝129时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6、3、7，重新组合后的数为：637，673，736，763，376，367，∵（6×3﹣7×6）的值最小，∴637是129的“魅力数”，此时K（129）＝（|7﹣3|+6）2＝100，综上，则K（t）的最大值为100．故答案为：64；100．9．（2024秋•九龙坡区校级期中）一个四位数M，若千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11，则称M为“双11数”．将M的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到M的逆序数M′，并记K(M)=M−M'99．若M是最大的“双11数”则K（M）＝77；若M是“双11数”且K(M)+1119是完全平方数，则满足条件的M【解答】解：∵M是最大的“双11数”，“双11数”的千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11，∴最大的“双11数”千位数字和百位数字都为9，十位数字和个位数字都为2，∴K(M)=9922−2299设M的千位数字和百位数字分别为a，b，∵M是“双11数”，∴M的十位数字和个位数字分别为11﹣a，11﹣b，∴M＝1000a+100b+10（11﹣a）+11﹣b＝990a+99b+121，∴M的逆序数M'＝1000（11﹣a）+100（11﹣b）+10a+b＝﹣990a﹣99b+12100，∴K（M）=M−M'99=990a+99b+121−(−990a−99b+12100)99K(M)+1119∵K(M)+1119∴2a+2b﹣1是9的倍数，由题意得，1≤a≤9，1≤11﹣a≤9，1≤b≤9，1≤11﹣b≤9，∴2≤a≤9，2≤b≤9，∴7≤2a+2b﹣1≤35，∴2a+2b﹣1最大值为27，整理得a+b＝14，K(M)+1119∵在6≤2a+2≤20范围内的最大完全平方数为16，∴2a+2＝16，解得a＝7，此时b＝7，M＝7744为最大值；故答案为：77，7744．10．（2024秋•北碚区校级期中）阅读材料：对于任意一个三位正整数M=abc=100a+10b+c，如果满足百位上的数字与十位上的数字之差恰好等于个位上的数字，我们称这个数M为“差数”，并记P(M)=|a+b−c|3．例如：正整数321，因为3﹣2＝1，所以321是“差数”，P(321)=|3+2−1|3=43．若“差数”M与其各个数位上的数字之和的差能被81整除，且M为奇数，求满足条件的所有“差数”M【解答】解：根据题意，设三位数为M=abc=100a+10b+c，其中a﹣b＝c且由于M﹣（a+b+c）＝99a+9b能被81整除，则11a+b能被9整除，枚举满足条件的a和b，得到满足条件的M只有：909、826（舍去）、743、660（舍去）、413，分别计算P（M）可得：P（909）＝0，P（743）=7+4−33=83故答案为：8311．（2024秋•南岸区校级月考）一个四位数A＝M×N，其中M、N均为两位数，M、N的十位数字相同且|M﹣N|＝2，则A的最小值是1023；将M放在N的左边形成一个新的四位数B，我们称B为A的“合构数”，若B的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且A能被17整除，则满足条件的B的最小值是3436．【解答】解：设较大的数是k，则较小的数是k﹣2，则A＝k（k﹣2）＝k2﹣2k，∵A是四位数，当k≤32时，A≤960不符合题意；当k＝33时，A＝1023，符合题意；∴A的最小值是1023，由题意可得：M，N中必有一个是17的整数倍，即为34，68，85；当M＝34时，N＝32，数B＝3234，2×4＝8不能被2+4＝6整除，不符合题意，舍去；当M＝68时，N＝66，数B＝6668，6×8＝48不能被6+4＝10整除，不符合题意，舍去；当M＝85时，N＝83，数B＝8385，3×5＝15不能被3+4＝7整除，不符合题意，舍去；当M＝34时，N＝36，数B＝3436，4×6＝24能被4+4＝8整除，符合题意；当M＝68时，N＝70，不符合题意，舍去；当M＝85时，N＝87，数B＝8587，这时5×7＝35不能被5+4＝9整除，不符合题意，舍去；最小值是3436，故答案为：1023，3436．12．（2024秋•九龙坡区校级期中）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“智慧数”．把“智慧数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数M'；．规定F(M)=M'−M99例如：M＝2371，∵2+3＝5，7+1＝8，∴2371是“智慧数”．则F(2371)=7123−237199=48．如果“智慧数”N＝1435，则F（N）＝21；已知S＝1000a+100b+10c+d是“智慧数”，（1≤a，b≤4，1≤c，d≤7且a，b，c，d均为整数），若F（S【解答】解：第一问：F（N）=3514−1435第二问：因为S＝1000a+100b+10c+d是“智慧数”，所以：a+b＝5，c+d＝8①；S＝1000a+100b+10c+d，则S'＝1000c+100d+10a+b，因此，F（S）＝（S'﹣S）÷99＝10c+d﹣10a﹣b，将①式代入，整理得：F（S）＝9c+（c+d）﹣9a﹣（a+b）＝9c﹣9a+3＝9（c﹣a）+3；因为1≤a≤4，1≤c≤7且a，b，c，d均为整数，则c﹣a可能取得的值为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5、6，F（S）可能取得的值为：﹣24、﹣15、﹣6、3、12、21、30、39、48、57；因为F（S）恰好能被7整除，所以F（S）＝21，此时c﹣a＝2；那么a、c可能取得的值为：a＝1，c＝3；a＝2，c＝4；a＝3，c＝5；a＝4，c＝6；S可能取得的值为：1435，2344，3253，4162；最大的为4162．故答案为：21；4162．13．（2024秋•酉阳县校级期中）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字均不为0，满足ab+bc=2c+cd，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，∵21+12＝2×2+29，∴2129是“天天向上数”：又如3465，∵34+46≠2×6+65，∴3465不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为a358，则此时a＝3；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数abc与后三位数字组成的三位数【解答】解：由题意可得：∴a3+35=2×5+58∴10a+3+35＝10+58，a＝3；由天天向上数的定义可知：∴10a+b+10b+c＝2c+10c+d，∴10a+11b＝11c+d，由题意可得：∴abc=100a+10b+c+100b+10c+d=100a+110b+11c+d=100a+110b+10a+11b=110a+121b=12a+13b+2a+4b∴2a+4b＝9k（k为正整数），由题意得：0＜a≤9，0＜b≤9，0＜c≤9，0＜d≤9，∴0＜2a+4b≤54，当2a+4b＝18时，解得a=1b=4或a=3b=3或a=5b=2∵10a+11b＝11c+d，∴当a=1b=4时，此时c、d当a=3b=3时，此时c＝5，d当a=5b=2时，此时c＝6，d当a=7b=1时，此时c＝7，d当2a+4b＝36时，解得a=2b=8或a=4b=7或a=6b=6∵10a+11b＝11c+d，∴当a=2b=8时，此时c＝9，d当a=4b=7时，c、d当a=6b=6时，c、d当a=8b=5时，c、d当2a+4b＝54时，解得a=9b=9∵10a+11b＝11c+d，∴当a=9b=9时，此时c、d∴符合题意为3358，5266，7174，2899，∴7174﹣2899＝4275，故答案为：3，4275．14．（2024秋•两江新区校级期中）对于一个任意的四位数M，若M的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“成倍数”．例如：四位数3197，因为3+1＝4，9+7＝16，所以3197是“成倍数”；四位数6238，因为6+2＝8，3+8＝11，11不是8的倍数，所以6238不是“成倍数”．若N＝2000x+3313+100y+20m+n是“成倍数”，其中1≤x≤3，0≤y≤5，0≤m≤9，0≤n≤6，且x、y、m、n都是整数，记P（N）＝2m+n+3，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6；最小的“成倍数”为5317；若P(N)Q(N)是5的倍数，则满足条件的N的最小值为5379【解答】解：∵N＝2000x+3313+100y+20m+n，要使N最小，x应取最小的值1，∴当x＝1时，N＝2000×1+3313+100y+20m+n＝5313+100y+20m+n，∵y的取值范围是0≤y≤5，要使N最小，y＝0，∴N＝5313+20m+n，∵0≤m≤9，0≤n≤6，要使N最小，m＝0，n＝0，∴N＝5313，千位数字5和百位数字3之和为5+3＝8，是4的倍数，十位数字1和个位数字3之和为1+3＝4，不是8的倍数，所以5313不是“成倍数”，当m＝0，n＝1时，N＝5314，千位数字5和百位数字3之和为8，是4的倍数，十位数字1和个位数字4之和为5，不是8的倍数，所以5314不是“成倍数”，当m＝0，n＝2时，N＝5315，千位数字5和百位数字3之和为8，是4的倍数，十位数字1和个位数字5之和为6，不是8的倍数，所以5315不是“成倍数”，当m＝0，n＝3时，N＝5316，千位数字5和百位数字3之和为8，是4的倍数，十位数字1和个位数字6之和为7，不是8的倍数，所以5316不是“成倍数”，当m＝0，n＝4时，N＝5317，千位数字5和百位数字3之和为8，是4的倍数，十位数字1和个位数字7之和为8，是8的倍数，所以最小的“成倍数”为5317；∵1≤x≤3，0≤y≤5，0≤m≤9，0≤n≤6，∴当0≤m≤4时，N＝2000x+3313+100y+20m+n＝2x×1000+3×1000+3×100+10+3+y×100+2m×10+n＝（2x+3）×1000+（y+3）×100+（2m+1）×10+（n+3），∵N是“成倍数”，∴2x+3+1+3＝2x+y+6是4的倍数，2m+1+n+3＝2m+n+4是8的倍数，当2m+n+4＝8时，∴m=0n=4或m=1n=2或m=2n=0，P（N）＝2m当2m+n+4＝16时，∴m=3n=6，P（N）＝2m+n当2x+y+6＝8，∴x=1y=0，Q（N）＝9x2﹣y2当2x+y+6＝12，∴①x=1y=4，Q（N）＝9x2﹣y2②x=2y=2，Q（N）＝9x2﹣y2③x=3y=0，Q（N）＝9x2﹣y2当2x+y+6＝16，∴x=3y=4，Q（N）＝9x2﹣y2∵P(N)Q(N)∴此时x=1y=0，m=3∴N的最小值为5379，故答案为：5317，5379．15．（2024春•沙坪坝区校级期末）对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字与十位数字之差的2倍，则称M为“2阶等差中项数”，将这个三位自然数M的百位数字和个位数字互换位置，得到M'，规定F(M)=M−M'99．已知A、B均为“2阶等差中项数”，其中A＝310+10x+y，B＝100m+70+n（1≤x≤8，1≤y，m，n≤9，且x，y，m，n均为正整数）．令k=F(A)F(B)，当30﹣3F（A）﹣F（B）为完全平方数时，则满足条件的所有【解答】解：∵A＝310+10x+y，∴A＝300+10（x+1）+y，∵A是“2阶等差中项数”，∴x+1﹣3＝2（y﹣x﹣1），∴3x﹣2y＝0，∵B＝100m+70+n是“2阶等差中项数”，∴m﹣7＝2（7﹣n），∴m+2n＝21，∵A＝300+10（x+1）+y，B＝100m+70+n，∴F（A）=300+10(x+1)+y−100y−10(x+1)−399=F（B）=100m+70+n−100n−70−m99=m∴k=F(A)∴30﹣3F（A）﹣F（B）＝30﹣3（3﹣y）﹣（m﹣n）＝3y+3n＝3（y+n），∵1≤y，n≤9，∴6≤3y+3n≤54，∵30﹣3F（A）﹣F（B）为完全平方数，且是3的倍数，∴30﹣3F（A）﹣F（B）＝9或30﹣3F（A）﹣F（B）＝36，∴y+n＝3或y+n＝12，∵3x﹣2y＝0，x、y都是正整数，∴y一定是3的倍数，∴y的值为3或6或9，∴y+n＝12，当y＝3时，n＝9，此时m＝3，∴k=3−3当y＝6时，n＝6，m＝9，∴k=3−6当y＝9时，n＝3，此时m＝15，不合题意，舍去；∴满足条件的所有k之和为﹣1．故答案为：﹣1．16．（2024秋•九龙坡区校级月考）一个四位数m，若十位与千位上的数字之和等于个位与百位上的数字之和，则称这个数为“跳位和等数”，将“跳位和等数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数m1，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数m2，记F（m）=m1−m2909．则F（7542）＝﹣3．若s，t都是“跳位和等数”，其中s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是整数，则当F（t）﹣4F（s）能被26整除时，F（t）【解答】解：∵m＝7524，∴m1＝4527，m2＝7254，∴F(7524)=4527−7254∵s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76，∴s＝5×1000+4×100+10y+x，t＝1000f+100e+7×10+6，∴s的千位上的数字为5，百位上的数字为4，十位上的数字为y，个位上的数字为x，t的千位上的数字为f，百位上的数字为e，十位上的数字为7，个位上的数字为6，∴s1＝1000x+4×100+10y+5＝1000x+405+10y，s2＝5×1000+100y+4×10+x＝100y+x+5040；t1＝1000×6+100e+7×10+f＝100e+f+6070，t2＝1000f+100×7+10e+6＝1000f+10e+706，∵根据题中给出的信息可得：s，t都是“跳位和等数”，∴5+y＝4+x，f+7＝e+6，∴x＝y+1，e＝f+1，∴s1＝1000x+405+10y＝1000（y+1）+405+10y＝1010y+1405，s2＝100y+x+5040＝100y+y+1+5040＝101y+5041；t1＝100e+f+6070＝100（f+1）+f+6070＝101f+6170，t2＝1000f+10e+706＝1000f+10（f+1）+706＝1010f+716，∴F（S）==909(y−4)＝y﹣4，f（t）==909(6−f)＝6﹣f，∴F（t）﹣4F（s）＝6﹣f﹣4（y﹣4）＝22﹣（f+4y），∴22﹣（f+4y）是26的倍数，∵1≤x，y，e，f≤9，且x，y，e，f都是整数，∴5≤f+4y≤45，∴﹣17≤f+4y﹣22≤23，﹣23≤22﹣（f+4y）≤17，∴22﹣（f+4y）＝0，f＝22﹣4y，∴y＝4，f＝6或y＝5，f＝2，分情况讨论如下：当y＝4，f＝6时，得：F（s）＝y﹣4＝4﹣4＝0，F（t）＝6﹣f＝6﹣6＝0，∴F（t）F（s）＝0×0＝0；当y＝5，f＝2时，得：F（s）＝y﹣4＝5﹣4＝1，F（t）＝6﹣f＝6﹣2＝4，∴F（t）F（s）＝4×1＝4；∴F（t）F（s）＝0或4，故答案为：﹣3；0或4．17．（2024秋•九龙坡区校级期中）如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和差数”．若将M的千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M′，则F（M）=M−M'9．若m1n5为“和差数”，且F(m1n5)=323，则m+n＝10．若将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M″，并规定G（M）=M+M″101．若“和差数”M=abcd【解答】解：①∵M=m1n5=1000m+100+10n+5＝1000m+10∴M′=5n1m=5000+100n+10+m＝5010+100n+∴F（M）=M−M'9=1000m+10n+105−5010−100n−m9∵F（mln5）＝323，∴11lm﹣10n﹣545＝323，∴11lm﹣10n＝868，∵m1n5为“和差数”，∴m﹣5＝1+n，∴m＝6+n，把m＝6+n代入11lm﹣10n＝868，解得：n＝2，∴m＝8，∴m+n＝10；②∵M=abcd=1000a+100b+10c+d，M′=dcba=1000d+100c+10b+a，M″=cdab=1000c+100∴F（M）=1000a+100b+10c+d−1000d−100c−10b−a9=999a+90b−90c−999d9=111a+10b﹣10c+111d，G（M）=1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b101