浙江省强基联盟2022-2023学年高三上学期数学1月统测试卷

浙江省强基联盟2022-2023学年高三上学期数学1月统测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．设z+iz−1=i，则A．5 B．2 C．1 D．02．已知集合M，N满足(M∪NA．N=∅ B．M=N C．M⊆N D．N⊆M3．已知平面单位向量a，b，c满足〈a，bA．0 B．1 C．3 D．64．记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为T．若π<T<4π，且点(A．4π3 B．5π3 C．8π35．已知函数f(x)=(x+1)22x+1A．113 B．116 C．121606．已知O为坐标原点，椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、A．157 B．4157 C．157．某平面过棱长为2的正方体的一个顶点，且截该正方体所得截面是一个五边形．若该五边形最长的两条边的边长分别是52，5A．223 B．52 C．138．已知函数φ(x)=lnxxA．φ(sB．φ(C．三者不可能同时相等D．至少有一个小于2二、多选题9．某次数学考试满分150分，共有一万余名考生参加考试，其成绩ξ∼N(90，A．σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多B．成绩高于105分的比成绩低于80分的人数少C．若考生中女生占45%，根据性别进行分层抽样，则样本容量可以为90D．从全体考生中随机抽取10人，则成绩不低于80分的人数X可认为服从二项分布10．已知直线a与b异面，则（）A．存在无数个平面与a，B．存在唯一的平面α，使a，b与C．存在唯一的平面α，使a⊂α，且b∥αD．存在平面α，β，使a⊂α，b⊂β11．已知双曲线C：A．C的渐近线方程为y=±33C．△AFH的面积为3 D．|FP|=3−12．设f（x），g（x）都是定义域为[1，＋∞）的单调函数，且对任意x≥1，f(g(x)−x)=0，A．f(2)<g(1) B．f(x)≤g(x)−2C．k=110f(三、填空题13．(x2−14．写出过点(33，1)，且与x轴和直线y=15．第二次古树名木资源普查结果显示，我国现有树龄一千年以上的古树10745株，其中树龄五千年以上的古树有5株．对于测算树龄较大的古树，最常用的方法是利用碳－14测定法测定树木样品中碳－14衰变的程度鉴定树木年龄．已知树木样本中碳－14含量与树龄之间的函数关系式为k(n)=k0(1216．将边长为2的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为．四、解答题17．已知等差数列{an}和等比数列{（1）求{an}（2）求数列{anbn}18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba（1）求A；（2）设a=2，当b+219．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，PD⊥底面ABCD，PD=2，E是PC的中点，F是PB上的点，且（1）证明：PD//平面AEF；（2）求二面角A−BE−C的正弦值；（3）求三棱锥A－BEF的体积．20．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：（1）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；（3）取了n(21．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，斜率为k（1）求C的方程；（2）设C在A，B处的切线交于点Q，证明|AF||BF|22．已知函数f(x)=e（1）若f(x)≤3−2x，求a的值；（2）证明：f(m)+f(1

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由z+iz−1=i得∴故答案为：A.

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数求模公式计算得答案.2．【答案】D【解析】【解答】由(M∪N)∪N=M当N={1}，M={1，故答案为：D

【分析】由(M∪N)∪N=M3．【答案】C【解析】【解答】如图，设a=OA，因为〈b，c则△ODB为正三角形，所以OD=1，且OA，所以b+c=−因为|b所以|b故答案为：C.

【分析】|3a4．【答案】A【解析】【解答】解：由题意在f(x)=cos设对称点和与对称轴在x轴上的交点间的距离为x对称中心：ω对称轴：ω由几何知识得，x=|解得：x=T4+K⋅T2∵π<T<4π，且点(π2，0)和直线∴x=解得：T=∵π<T<4π∴K=1，T=故答案为：A.

【分析】根据余弦函数的性质可得点(π2，0)和直线5．【答案】B【解析】【解答】f(1所以，f(1)f(=(2×3×4×⋯×11)故答案为：B.

【分析】f(1n)=6．【答案】C【解析】【解答】在椭圆C中，a=2，b=3，则c=a2−b因为|PF1|=2|P设点P(x，y)，其中0<x<2，y>0且|PF解得x=43，则y2=3−3因此，直线OP的斜率为kOP故答案为：C.

【分析】根据椭圆的定义可得|PF2|=43，设点P(x，y)，其中0<x<2，y>07．【答案】A【解析】【解答】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C由于正方体的棱长为2，且五边形BEFGH最长的两条边的边长分别是52，5，即图中BH=所以可得CH=BH2−BC2=32，AE=BE由于BE，B1A1延长交于I，BH，B1C1延长交于在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ADD1A又平面BEFGH∩平面BCC1B1=BH，所以EF//BH所以EF=53，同理可得HG//BE，所以△HGC1∼△EBA所以HG=52，所以FG=F故截面是一个五边形的其余三边长分别为EF=53，HG=5故22故答案为：A.

【分析】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，过顶点B，截该正方体所得截面是一个五边形为BEFGH，由于BE，B1A1延长交于I，BH，B1C8．【答案】D【解析】【解答】∵φ'(x)=1−lnxx2，则当0<x<e故φ(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，则对A：若s2=e，则s=e对B、C：当0<s≤1时，则0<s2≤s<2s≤2<e当1<s<2时，则s<2<2s<4，故φ(当s=2时，则2s=s2=4当s>2时，则4<2s<s2，故综上所述：φ(2s)对D：构建f(x)=ln(1+x)−x2+6x故f(x)在(0，2)上单调递减，则令x=1，可得f(1)=ln2−7故ln22<24反证：假设φ(s)，φ(s显然不成立，假设不成立，D符合题意.故答案为：D.

【分析】利用导数分析函数φ(x)的单调性和最值，通过赋值或分类讨论，逐项进行判断，可得答案.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A选项，σ的值越大，则正态曲线越“矮胖”，则成绩不低于100分的人数越多，A对；对于B选项，P(ξ>105)=P(ξ<75)<P(ξ<80)，B对；对于C选项，若考生中女生占45%，若样本容量为90人，则90×0对于D选项，从全体考生中随机抽取10人，样本容量很大，则成绩不低于80分的人数X可认为服从二项分布，D对.故答案为：ABD.

【分析】利用正态分布曲线的特点可判断A；利用正态曲线的对称性可判断B；计算90×0.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】A：将异面直线a，b通过平移到同一平面α内，则存在无数个与平面α平行的平面与B：两异面直线与同一平面所成角可以相等，而与此平面平行的平面有无穷多个，B不符合题意；C：因为a，b是异面直线，平移直线b与直线a相交，确定一个平面平行于直线b，所以过直线a有且仅有一个平面α与直线D：a⊂α，存在直线l⊥α，通过平移直线l与直线b相交或重合，l，b⊂β，所以由面面垂直的判定定理可知故答案为：ACD

【分析】利用直线与平面的位置关系逐项进行判断，可得答案.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意在C：左焦点为F，右顶点为A，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，且交C的左半支于点P，△AFH是等腰三角形，当直线FH垂直于渐近线y=−b由几何知识得，A(a，0)，F(−c，0)点H的横坐标为：x∵点H在渐近线y=−b∴H(∴直线FH的斜率为：y化简得：b∵a∴b∵e=∴两边同时除以a2得：解得：e=−1（舍）e=2B符合题意.∵b2=4∴e=解得：a=∴c=∴C∴渐近线为：y=±A不符合题意.∵A(a，0)，F(−c∴A(233，∴SC符合题意.∵直线FH的斜率为：ab=2∴直线FH的解析式为：y=∵直线FH与双曲线交于点P∴y=33x+4∵x∴P(∴|FP|=D符合题意.当直线FH垂直于渐近线y=b由几何知识得，此情况关于上这种情况关于x轴对称，故e=2，渐近线为：y=±bS|FP|=BCD符合题意，A不符合题意.综上，BCD符合题意故答案为：BCD.

【分析】过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，且交C的左半支于点P，△AFH是等腰三角形，利用双曲线的性质结合图象，逐项进行判断，可得答案.12．【答案】A,B,C【解析】【解答】由条件可知：f(x)是单调的函数，f(g(x)−x)=0，即g(x)=x+m，g(x)=x(f(x)+1)2+m=2f(x)+x2+m显然，当x=1时，f(x)=0，∴m=1，即g(x)=x对于A，f(2)=±3对于B，∵±x对于C，∵f(x)=x2−1即f(1)=0，f(2)<2，正确；对于D，g(x)=x2+1≤x(x+1)∴k=110故答案为：ABC.

【分析】根据据已知条件求出f（x），g（x），逐项进行判断，可得答案.13．【答案】-330【解析】【解答】(x2−(x2−3x令2r−3k=1，可得k=2r−1故r=2，k=1或故(x2−故答案为：-330.

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数.14．【答案】(x−23)2【解析】【解答】设圆心为C，原点为O，易知直线y=3x与x轴交于点因为圆与直线y=3x相切，直线y=3x的倾斜角为所以∠COx=30°，OC所在直线方程为y=3设圆心坐标为(3a，化简可得3a2−20a+28=0，解得a=2当a=2时，圆心坐标为(23，2)，半径为2当a=143时，圆心坐标为(1433故满足题意的圆的方程为(x−23)2故答案为：(x−23)2

【分析】设圆心为C，原点为O，可得OC所在直线方程为y=33x，设圆心坐标为(15．【答案】4202.00【解析】【解答】由题意可得：k0(1故答案为：4202.00.

【分析】根据题意结合对数的定义及其运算性质求解，可得答案.16．【答案】6【解析】【解答】如图1，分别取AD和AB的中点E，F，连接CE，CF，将正方形ABCD沿CE和CF折起，使得A，B，D重合，构成三棱锥P-CEF，如图2，由于PE，PF，PC两两垂直，可以补成如图3所示的长方体：由图1的折法可知：PE=PF=1，长方体的对角线长=22+12+故答案为：6π

【分析】先考虑如何将正方形折成三棱锥，求出底面三角形的外心，过外心作底面的垂线，则球心必定在该垂线上，再利用几何关系求出外接球的半径，进而求出该球的体积.17．【答案】（1）解：设等差数列{an}和等比数列{因为a1所以a1将q=1+d代入1+7d=qd3解得d=0q=1或d=−4q=−3或因为等差数列{an}所以d=1q=2所以anbn所以等差数列{an}等比数列{bn}（2）解：由（1）得an所以Sn=12S①−②得：12即12所以Sn【解析】【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求出{an}，{bn}的通项公式；

（2）由（1）得an18．【答案】（1）解：由题意在△ABC中，ba=sinC−sin(A−B)，由正弦定理得，b∴ba=sinC−sin(A−B)A+B+C=π而B为三角形内角，故sinB>0，故sin2A=1，而故2A=π2即（2）解：由题意及（1）得在△ABC中，a=2，A=π4，故外接圆直径故b+=22=210其中cosφ=25因为B∈(0，3π4)，故故sin(B+φ)的最大值为1，此时B+φ=故sinB=cosφ=故b=22且sin故c=22此时S△ABC【解析】【分析】(1)将ba使用正弦定理，将等式化为角的形式，同时将sinC换为sin(A+B)，利用两角和与差的正弦公式展开等式的右边，进而求得sin2A，根据角的范围得出A的值；

(2)利用正弦定理及辅助角公式，将b+19．【答案】（1）证明：连接BD，由题意可知：△ABD为等边三角形，取AB的中点M，连接MD，则MD⊥AB，∵AB∥DC，则MD⊥DC，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A(3可得DP=(0设平面AEF的法向量m=(x，y令x=2，则y=3，z=0∵m⋅DP=2×0+3×0+0×2=0∴PD∥平面AEF.（2）解：由（1）可得：AB=(0设平面ABE的法向量为n1=(a，令a=1，则b=0，z=3设平面BEC的法向量为n2=(i，令i=1，则j=k=3，即n可得cos⟨设二面角A−BE−C为θ，则可得|cos故二面角A−BE−C的正弦值sinθ=（3）解：由（2）可得：AB⋅BE=0∵点F到平面ABE的距离d=|∴三棱锥A－BEF的体积VA−BEF【解析】【分析】（1）推出MD⊥DC，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面AEF的法向量，利用向量法可证得PD//平面AEF；

（2）求出平面ABE的法向量和平面BEC的法向量，利用向量法可求出二面角A−BE−C的正弦值.20．【答案】（1）解：设取出的是第一次是一次性筷子为事件A，取出的是第二次非一次性筷子为事件B，则P(B)=25×所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率P(A|（2）解：对于X=0，表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是由放回的，∴P(X=0)=(对于X=1，表示三次中有一次筷子，对应的情况有第一次，第二次，第三次是一次性筷子，∴P(X=1)=2对于X=2，表示三次中有一次是非一次性筷子，同样有第一次第二次第三次之分，P(X=2)=3X012P2754947数学期望E(X)=0×27（3）解：n次取完表示最后一次是一次性筷子，则前n−1次中有一次取得一次性筷子，所以P===【解析】【分析】（1）根据条件概率公式计算即可；

（2）根据独立事件概率公式计算即可求出取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；

（3）根据独立事件概率公式计算即可.21．【答案】（1）解：设斜率为k(k≠0)且过点P的直线为l：x=my−设A(x1，y1)，B(x2，y2又由抛物线定义知|AF|+|BF|=x1+|AF|+|BF|=16，则8p=16⇒p=2.得C的方程为y2（2）解：由（1）可得，P(−1，0)，则l：消去x得：y2−4my+4=0，则设C在A点处的切线方程为x=mC在B点处的切线方程为x=m将x=m1(y−y1因x=m联立方程判别式Δ=16m又y1则16m得m1=y将两切线方程联立有x=m1(y−y1解得x=y1y则|AQ|2=(则|AQ|2同理可得|BQ|2注意到|AF||BF|则|AF||BF|=|AQ|y1|BQ|2则y1|BQ|2则y1|BQ|2【解析】【分析】（1）设斜率为k(k≠0)且过点P的直线为l：x=my−p2，其中m=1k，A(x1，y1)，B(x2，22．【答案】（1）解：设g(x)=f(x)+2x−3=e1−x−axg'(x)=−e1−x−a(令h(x)=2−e1−x−a(lnx+1)令p(x)=xex−1−a