湖南省衡阳市2023届高三数学期末联考试卷

湖南省衡阳市2023届高三数学期末联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={x|3−xx≥2}A．{x|x>1} B．{x|x≤0或x>1}C．{x|0<x<1} D．{x|x<0或x>1}2．在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A．2 B．-2 C．−2i D．2i3．函数f(A． B．C． D．4．过点(1，2A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．已知A，B，C为球O球面上的三个点，若AB=BC=AC=3，球O的表面积为A．934 B．2734 C．6．“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式S=abt，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为3a4（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为aA．13年 B．14年 C．15年 D．16年7．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（）A．12 B．18 C．36 D．488．已知0<α<β<πA．α+β=π6 B．α+β=π3 C．二、多选题9．将y=2sin2x的图象向右平移π6A．f(x)=2sin(2x−C．f(x)的图象关于点(π6，0)10．为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为8．若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（）A．平均数为8.5 B．平均数为8 C．方差为10.5 D．方差为1011．已知定义在R上的奇函数f(x)，∀m，A．fB．f(C．f(x)D．不等式xf(x−212．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是线段ADA．存在λ∈(0，1B．存在λ，μ∈(0C．对任意λ，μ∈D．当λ=12，μ=23时，过E三、填空题13．已知向量a=(m，−2)，14．已知集合P=(0，1)∪(115．双曲线C：x2a216．已知x0是函数f(x)=2ax+b−四、解答题17．在数列{an}（1）求{a（2）证明：1318．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．（1）求甲获得奖金的期望；（2）已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，c=1，bcos（1）证明：B=2C．（2）若△ABC为锐角三角形，求a的取值范围．20．在三棱柱ABC−A1B1C（1）证明：A1O⊥平面（2）已知AB=AC=2，在线段B1C1上（不含端点）是否存在点Q，使得二面角Q−21．已知ab≠0，曲线f(x)=3x（1）求a，b的值；（2）证明：当x∈(0，22．已知O为坐标原点，M是椭圆C1：x24（1）求曲线C2（2）若点A，B，C，D在椭圆C1上，且CD=2AB，AC与BD

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解不等式3−xx≥2，3−3xx所以A={x|0<x≤1}，则∁故答案为：B

【分析】求出集合A，再根据补集的定义可得答案.2．【答案】A【解析】【解答】由题可知z1则z=5i所以复数z2故答案为：A.

【分析】根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解出答案.3．【答案】A【解析】【解答】f(x)的定义域为{x|x≠kπ，因为f(−x)又f(π故答案为：A

【分析】根据函数为奇函数，可排除C、D，再根据f(π4．【答案】B【解析】【解答】当直线的斜率不存在时，直线x=1，代入抛物线方程可y=±2，故直线x=1与抛物线有两个交点．不满足要求，当直线的斜率存在时，设直线的方程为y−2=k(x−1)，由y=kx−k+2y2=4x，消x当k=0时，解得x=1，y=2，直线当k≠0时，由Δ=(−4)2−4k(8−4k)=0即当k=1时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．故答案为：B.

【分析】当直线的斜率不存在时，直线x=1，代入抛物线方程可y=±2进行验证；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y−2=k(x−1)与抛物线联立，分k=0和k≠0两种情况进行计算，可得k的值，进而得答案.5．【答案】C【解析】【解答】设球O的半径为R，则由球的表面积为4πR所以R=3设△ABC外接圆的半径为r，圆心为O1由AB=BC=AC=3，所以△ABC为等边三角形，所以ABsin所以点O到平面ABC的距离为|OO所以三棱锥O−ABC的体积为：V=1故答案为：C.

【分析】由球的表面积求出R，再根据正弦定理可求出△ABC外接圆的半径为r，利用勾股定理求得点O到平面ABC的距离，再根据三棱锥的体积公式可求出答案.6．【答案】D【解析】【解答】由题意，S=ab4=3a4令abt=a3，即b可得14t(lg故答案为：D

【分析】由题意，S=ab4=7．【答案】C【解析】【解答】将5人按3，1，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有C3将5人按2，2，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有C3则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为(C故答案为：C

【分析】分为5人按3，1，1分成三组和5人按2，2，1分成三组两种情况分类，再甲、乙两人被分在同一个足球场，根据排列组合公式进行计算，即可得答案.8．【答案】D【解析】【解答】由已知可将2α=(α+β)+(α−β)，2β=(则cos[(α+β2cos([cos(α+β)−1][2又0<α<β<π2，所以所以cos(α+β即cos(α−β)=12故答案为：D

【分析】由已知可将2α=(α+β)+(α−β)，2β=(α+β)−(α−β)，根据两角和的余弦公式可求出cos(9．【答案】A,C【解析】【解答】将y=2sin2x的图象向右平移π6因为f(π12)=2sin(因为f(π6)=2sin(因为x∈(0，π2)，故答案为：AC

【分析】利用图象平移变换"左加右减"得到f(x)的解析式，可判断A；由f(π12)=210．【答案】B,C【解析】【解答】由题意，该样本数据的平均数a=方差s2故答案为：BC

【分析】根据平均数和方差的定义计算求解，可得答案.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：令m=n=1，得f(1)∀x1，x2∈(所以，f(x所以f(x1)>f(又f(x)为R所以f(x)有三个零点，将f所以f(由于f(x)为奇函数，所以f由于f(x)的图像向右平移2个单位长度得到f则g(1)=g(3)=0，函数g(x)在(−∞，所以，当x<1时，g(x)>0；1<x<2时，g(x)<0；当2<x<3时，g(x)>0；x>3时，g(x)<0；所以xf(所以，当x<0时，xg(x)<0；0<x<1时，xg(x)>0；1<x<2时，xg(x)<0；当2<x<3时，xg(x)>0；x>3时，xg(x)<0.所以，不等式xf(x−2)故答案为：ABC．

【分析】根据赋值法可判断A；根据奇函数的性质可判断C、B；结合f(x)的性质得f(12．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A，由正方体中，AC⊥BDAC⊥DD1，又BD⊂DD1⊂平面BDD1，BD∩D可得AC⊥D1B，又B1C⊥BC1D1⊂平面BC1D可得B1C⊥D1B，所以由DB1C⊂平面AB1C，AC∩所以当λ=12时，D1即平面AD1M⊥对于B，平面A1DC1∥平面A所以M与A1重合，N与C此时λ=0，对于C，当λ=μ=12时，此时MN最小，最小值为12对于D，当λ=1在A1D1上取靠近D连接GE并延长交AD于点H，易得点H是AD上靠近A点的三等分点，在BC上取靠近B点的三等分点P，如下图：则GN∥HP∥AB，且GN=HP=AB又因为AB⊥平面AA1D即HP⊥GH，则四边形GHPN为矩形，又NP=(23则矩形GHPN的面积为HP×NP=2×=4故答案为：ACD．

【分析】根据正方体的结构特征，结合面面垂直的判定定理可判断A；利用面面平行的判定定理可判断B；当λ=μ=12时，MN⊥B1C1，MN⊥A1C，此时MN最小，可判断C；当λ=12，μ=2313．【答案】16【解析】【解答】由(a−b)⊥b，得故答案为：16

【分析】根据向量垂直的性质结合数量积的运算，可求出m的值.14．【答案】−【解析】【解答】令f(x)故答案为：−x

【分析】令f(15．【答案】42【解析】【解答】根据双曲线的对称性，由|PA设P(x0，1kPA所以113−1×14−1=故答案为：42

【分析】根据双曲线的对称性，由|PA|>16．【答案】e【解析】【解答】由已知可得2ax不妨设直线l：2x原点O到直线l的距离d=e则|OA设g(g(x)=e可得g(所以a2+b故答案为：e

【分析】不妨设直线l：2x0x+y−ex02=0，则点A(a，17．【答案】（1）解：因为a12则当n=1时，a12=2当n≥2时，a12①−②得ann+1=2na1=4也满足an=2n(n+1)，故对任意的（2）证明：1=1所以1=1【解析】【分析】(1)依题意，由a12+a23+a34+⋯+ann+1=18．【答案】（1）解：设甲获得的奖金为X元，则X可能的取值为0，200，700．P(P(P(所以，甲获得的奖金的概率分布列为：X0200700P000所以E(X)=0.（2）解：由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．设事件A：甲和乙最后所得奖金之和为900元，设事件B：甲选手获得一等奖，由（1）知获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为所以P(A)=0.P(AB)=0所以，所求的概率P(B|A)=P(AB)【解析】【分析】(1)由题知甲获得的奖金可能的取值为0，200，700，进而依次计算对应的概率，求解出甲获得奖金的期望；

(2)根据条件概率的计算公式求解出甲获得一等奖的概率．19．【答案】（1）证明：由bcosC−cos所以sinBcosC−因为0<B<π，0<C<π，所以，−π<B−C<π，因为sin(B−C)=sinC>0所以，B−C=C或B−C+C=π（舍去），即B=2C．（2）解：由△ABC为锐角三角形，可得0<A<π20<B<解得π6<C<π4，所以，由正弦定理可得asin则a==2故a的取值范围是(1，【解析】【分析】（1）由bcosC−cosB=1，可得bcosC−ccosB=c，根据两角差的正弦公式可得sin(B−C)=sinC，进而证得B=2C20．【答案】（1）证明：连接AO，因为AB⊥AC，O为BC的中点，所以OA=OB=OC．因为A1B=A所以∠A又∠A1OB+∠A1OC=π，所以因为BC∩AO=O，BC，AO⊂平面ABC，所以A1（2）解：如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1设平面A1B1C的法向量为m令y=1，得x=1，z=−1，即设平面A1QC的法向量为u=(令b=1，得a=1−2λ，c=−1，即|cos⟨u即当B1Q=34【解析】【分析】（1）连接AO，根据三角形全等可得A1O⊥BC，A1O⊥AO，再根据线面垂直的判定定理可证得A1O⊥平面ABC；

（2）以OA，21．【答案】（1）解：由题可知f(1)又f'(x解得a=3b=−2，即a=3（2）证明：f(x)要证f(x)只需证3sin令g(则g'令h(x)所以h(x)在(0，所以g(