河北省张家口市2023届高三上学期数学期末试卷

河北省张家口市2023届高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合U={x|1≤x≤10}，A={1，2，A．{4，5，C．{7，8，2．已知复数z−2i=5i2+i，则A．1−4i B．1+4i C．5−12i D．1−2i3．已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的上四分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为（）A．14 B．514 C．15284．已知函数f(x)为偶函数，定义域为R，当x>0时，f'(x)<0，则不等式A．(0，1) B．(0，2) C．5．石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（）A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：36．已知等差数列{an}的首项a1≠0A．0 B．2 C．-1 D．17．过点P(1，1)作圆A．x+y−2=0 B．2x−y−1=0C．x−2y+1=0 D．x−2y+1=0或2x−y−1=08．设a=lnA．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c二、多选题9．以下命题正确的有（）A．一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越小B．一组数据的频率分布直方图如图所示，则该组数据的平均数一定小于中位数C．样本相关系数r的大小能反映成对样本数据之间的线性相关的程度，而决定系数R2D．分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例10．已知椭圆C：x216+y212=1的左、右焦点分别为F1、F2A．|AF1B．△AF1C．|AM|+|AF1D．若M为AB的中点，则直线l的方程为x+y−3=011．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，A．直线A1D⊥B．直线AH∥平面BEFC．三棱锥H−EFB的体积为1D．三棱锥H−CFB的外接球的表面积为9π12．已知x>1，方程x−(x−1)2x=0，x−(x−1)logA．b−a=2a−C．a+b<4 D．b−a>1三、填空题13．已知向量a=(3，2)，b=(λ−214．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>015．已知直线l：y=kx+b是函数f(x)=ax2(a>0)与函数g(x)=ex的公切线，若(1，16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，c=3b，则△ABC面积的最大值是；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的范围为．四、解答题17．因疫情防控需要，某社区每天都要在上午6点到8点之间对全社区居民完成核酸采集，该社区有A，（1）由直方图分别估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长和在一次核酸采集中排队时长超过16分钟的居民比例；（2）另据调查，这100人中一次核酸采集排队时间超过16分钟的人中有20人来自A小区，根据所给数据，填写完成下面2×2列联表，并依据小概率值a=0.

排队时间超过16分钟排队时间不超过16分钟合计A小区B小区合计附表：a0.1000.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2=n参考数据：14×0.075=1.05，18×0.0375=0.675，18．已知Sn为数列{an}的前（1）证明：数列{a（2）求数列{nan}的前n19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为（1）求A；（2）如图，在△ABC所在平面上存在点E，连接BE，CE，若EC=3AC，∠ACE=1200，20．如图，在四棱锥P−ABCD，PC=PB=AB=BC=CD=DA=2，E为棱AP的中点，EB⊥BC．（1）证明：BC⊥PD；（2）若BE=32，求平面PDC与平面21．已知函数f(x)=−xe（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：lnx+ax−1≥22．已知动圆E过定点A(6，0)，且在y轴上截得的弦BD的长为12，该动圆的圆心E的轨迹为曲线（1）求曲线C的方程；（2）点P是曲线C上横坐标大于2的动点，过点P作圆(x−1)2+y2=1的两条切线分别与y

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由已知得，∁UA={x|1<x≤10且所以(∁故答案为：D.

【分析】先根据补集运算求出∁U2．【答案】A【解析】【解答】由已知可得z=5i(2−i)(2+i)(2−i)+2i=1+2i+2i=1+4i故答案为：A.

【分析】利用复数的四则运算化简复数z=1+4i，根据共轭复数的定义可得出复数z.3．【答案】C【解析】【解答】上四分位数即第75百分位数，因为8×75%=6，所以8个数中有6个数小于9，所以随机取两个数，这两个数都小于a的概率为p=C故答案为：C.

【分析】先根据百分位数的计算公式求出a，再根据古典概型的计算方法求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】因为当x>0时，f'(x)<0，故偶函数f(x)在故f(x2−x)−f(x)>0所以|x2−x|<|x|解得：|x−1|<1，故x∈(0，故答案为：B

【分析】根据导函数小于0，得到偶函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，从而对不等式变形后得到5．【答案】B【解析】【解答】由题意知，2×2πh=5×2πr；∴故答案为：B.

【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解.6．【答案】A【解析】【解答】等差数列{an}的首项a1≠0故答案为：A

【分析】由a9=0，代入7．【答案】C【解析】【解答】由题意可知：圆E：x2+y∵12∴点P在圆E上，又∵kPE=−1−1∴切线方程为y−1=12(x−1)故答案为：C.

【分析】由题意可得点P(1，8．【答案】D【解析】【解答】a−b=e2<2.8a−b>0，a>b，设f(x)=lnxx，则f'(a=ln22e2<8，所以e<e22综上，b<a<c．故答案为：D．

【分析】作差后利用指数函数性质比较a>b，构造函数f(x)9．【答案】B,C【解析】【解答】对于A：数据的标准差越大，这组数据的离散程度越大，A不符合题意；对于B：根据图可知，中位数靠右大于平均数，B符合题意；对于C：样本相关系数r是指样本数据之间的线性相关程度，而决定系数R2对于D：分层随机抽样所得各层的样本量不一定与各层的大小成比例，等比例分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例，D不符合题意；故答案为：BC【分析】根据方差，中位数，平均数，相关系数，分层抽样等知识点分别判断即可.10．【答案】A,C【解析】【解答】对于A选项，在椭圆C中，a=4，b=23，则c=a2−b由椭圆的定义可得|AF由基本不等式可得|AF1|⋅|A故|AF1|⋅|A对于B选项，∵S当点A为椭圆C的短轴的顶点时，S△AF1∴r=S对于C选项，由椭圆的定义可得|AF所以，|AM|+|AF当且仅当点A为射线F2M与椭圆C的交点时，等号成立，故|AM|+|AF对于D选项，∵2216+112<1，则点M若AB⊥x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意，所以，直线AB的斜率存在，由题意可得x1由已知可得x1216即x1−x24所以，直线l的方程为y−1=−32(x−2)故答案为：AC

【分析】利用基本不等式可判断A选项；由题意得r=S△AF11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题知正方体ABCD−A关于A：取A1A，中点为T∵E，F，T分别为AD，∴EF∥AD且EF=1由于正方体ABCD−A∴ET=2∴ET，即A1若直线A1D⊥平面则A1A不符合题意；关于B：连接AD∵E，F，H分别为AD，∴EF∥AD∴四边形BHD∴HD∵EF∥AD1，EF⊂平面EFB，∴AD1∥∵HD1∥BF，BF⊂平面EFB∴HD1∥∵AD1∩HD1=D∴平面EFB∥平面AHD∵AH⊂平面AHD∴AH∥平面BEF，B符合题意；关于C：取AB中点为Q，连接EQ，∵E，F，H，Q分别为∴EQ∥BD∥FH，∵FH⊂平面FHB，EQ⊈平面FHB，∴EQ∥平面FHB，∴V∵FD∥BH，BH⊂平面QBH，FD⊈平面∴FD∥平面QHB，∴V故VH−EFBC符合题意；关于D：分别取A1A，C1由图可知三棱锥H−CFB的外接球即长方体ABCD−THGF的外接球，∵AB=2=AD，∴长方体ABCD−THGF的外接球半径为22所以此外接球的表面积为4π×(D符合题意.故答案为：BCD

【分析】取A1A，中点为T，连接ET，TB，AD1，通过求三角形ETB各个边长，可得ET，BE不相互垂直，即可证明A1D，BE不垂直，即可判断选项A的正误；连接AD1，H12．【答案】A,B,D【解析】【解答】已知两方程化为xx−1=2x，xx−1=log2易知f(x)=2而函数y=xx−1=1+1x−1的图象可以看作是由y=1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，因此y=xx−1a=g(b)b−a=2又b=f(a)=2a=a+b=a+f(a)=a+2a=a+aa−1=a−1+1a−1+2≥4C不符合题意，b−a=a设h(x)h(85)=所以a∈(a>1时，y=1−a+1a−1是减函数，所以由a∈(所以b−a>16故答案为：ABD．

【分析】题意说明a，b分别是函数f(x)=2x和g(x)=lo13．【答案】-4【解析】【解答】∵a//b故答案为：-4.

【分析】根据平面向量基本定理计算.14．【答案】x【解析】【解答】∵渐近线的方程为y=−2x，∴−ba=−2由点到直线的距离公式知：23a2+b2=故答案为：x2

【分析】根据条件求出a，b，c即可.15．【答案】−【解析】【解答】f'(x)=2ax所以切线l的方程为y−a=2a(x−1)设直线l与g(x)相切的切点为(所以切线方程为y−y1=所以ex1=2a所以b=−a=−1故答案为：−1

【分析】求出导函数f'(x)=2ax，g'(x)=ex，由切点16．【答案】3；(【解析】【解答】因a，b，c在三角形中，则由三角形三边关系可得c+b=4b>4c−b=2b<4cosA=b2则sinA=得S△ABCb2=52，即b=10对于第二空，因S△ABC则r=2又asin则rR=6b2则2<b+1<3.令f(x)=x+1x，其中x∈(2，则f(x)在(2，3)上单调递增，故52故答案为：3；(3

【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出cosA=10b2−166b2，再表示出17．【答案】（1）解：由直方图估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为：(0=13.直方图分别该社区居民在一次核酸采集中排队时长超过16分钟的居民比例为：(0.（2）解：这100人中A小区的人有100×9100人中B小区的人有100×11由题意知，排队时长超过16分钟的居民有100×0.其中20人来自于A小区，10人来自于B小区，排队时长不超过16分钟的居民有100−30=70（人），其中45−20=25人来自于A小区，55−10=45人来自于B小区，填表如下：

排队时间超过16分钟排队时间不超过16分钟合计A小区202545B小区104555合计3070100则由独立性检验K2故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为排队时间是否超过16分钟与小区有关联.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图平均数的计算代入即可得出答案；频率分布直方图中每个矩形的面积表示落在该组内的频率，由此可估计排队时长超过16分钟的居民比例；

（2）利用独立性检验公式计算K218．【答案】（1）证明：由题知Sn∴a解得：a1=2，由Sn可得Sn−1=2a两式相减可得：an=S所以an=2a所以an+4a所以数列{a（2）解：由(1)得数列{a所以an故an则na设bn=n×2则Pn=1×2+2×2Pn①-②可得：−==(1−n)2所以Pn所以T=3×((n−1)=3(n−1)2综上：Tn【解析】【分析】(1)先求出a1=2，根据Sn=2an−4n+2，写出Sn−1=2an−1−4(n−1)+2，n≥2，两式相减即可得an=2an−1+4，所以an+419．【答案】（1）解：∵(sin(a+b)(a−b)=c(c+b)，即a2由余弦定理得：a2=b2+∴A=120（2）解：令∠ABC=α，四边形内角和为360°，由（1）的结论知：α+E=90在△ABC中，由正弦定理得：BCsin在△BCE中，ECsin又EC=3AC，∴4sin∵A=120°即α=15°，sin15°综上，A=120°，【解析】【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理求解；

（2）由（1）的结论，运用正弦定理和条件计算出∠ACB=4520．【答案】（1）证明：取PD的中点G，连接EG、CG，如图所示，则EG//AD，EG=1∵AB=BC=CD=DA=2∴四边形ABCD为菱形，∴AD//BC∴EG//BC，EG=∴四边形BEGC为梯形，∴BE与GC相交，又∵PC=CD，PB=BA∴CG⊥PD，BE⊥PA又∵BE⊥BC，AD//BC∴BE⊥AD又∵BE⊥PA，AD∩PA=A，AD、PA⊂面PAD，∴BE⊥面PAD∴BE⊥PD又∵CG⊥PD，BE与GC相交，BE、CG⊂面BEGC，∴PD⊥面BEGC，∴PD⊥BC（2）解：在Rt△BEA中，AE=AB2−B由（1）知，PD⊥BC，又∵AD//BC，∴AD⊥PD，∴在Rt△ADP中，PD=P取BC的中点F，连接GF，则EG//BF且∴四边形BEGF为平行四边形，∴BE又∵BE⊥BC，EG∴GE⊥GF由（1）知，PG⊥面BEGC，∴以G为原点，分别以GE、GF、GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系G－xyz，如图所示，则P(0，0，32∴PC=(−1，3设面PDC的一个法向量为n1则n取x1=3，则y1=2，z设面PBC的一个法向量为n2则n取y2=1，则x2=0，z∴cos∴平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为1313【解析】【分析】（1）通过证明线面垂直PD⊥面BEGC，来证明线线垂直PD⊥BC；

（2）以G为原点，分别以GE、GF、GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系G－xyz，分别求出平面PDC与平面PBC的法向量，通过坐标运算可得结果.21．【答案】（1）解：f'①当a=0时，f(x)=−x，在R上单调递减；②当a>0时，令f'(x)=0，得当x<−1a时，f'(x)>0；当③当a<0时，令f'(x)=0，得当