广东省深圳市罗湖区2023届高三上学期数学期末试卷

广东省深圳市罗湖区2023届高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={(x，y)|x−y=0}，B={(x，A．0 B．1 C．2 D．无穷多个2．已知复数ω=−12+A．ω B．−ω C．ω−1 D．ω+13．已知向量a=(2，k)，b=(2，A．6 B．5 C．4 D．34．某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元.其中ω(x)=xA．720万元 B．800万元 C．875万元 D．900万元5．圆O1：xA．5 B．10 C．25 D．6．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=x3−x，则曲线y=f(x)A．2x−y−2=0 B．4x−y−4=0 C．2x+y−2=0 D．4x+y−4=07．某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占60%，次品率为4%；B生产线占40%，次品率为5%，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是（）A．12 B．611 C．358．正四面体S−ABC中，M是侧棱SA上（端点除外）的一点，若异面直线MB与直线AC所成的角为α，直线MB与平面ABC所成的角为β，二面角M−BC−A的平面角为γ，则（）A．α<β<γ B．β<α<γ C．β<γ<α D．γ<α<β二、多选题9．等比数列{an}的公比为q，前n项和为SA．{aB．数列a11+a12，C．若q>1，则{aD．若q>0，则{S10．已知随机变量X∼N(μ，σ2A．当x=μ时，f(x)取得最大值1B．曲线y=f(x)关于直线x=μ对称C．x轴是曲线y=f(x)的渐近线D．曲线y=f(x)与x轴之间的面积小于111．已知A，B为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右顶点，F(c，0)为C的右焦点，M是C的上顶点，N(a2A．|FN|=a B．C的离心率为5C．点N到直线MF的距离为b2c D．直线DA，DB12．已知x∈[−π，π]，函数A．f(x)的图像关于原点对称 B．f(x)有四个极值点C．f(x)在[−π4，π4]三、填空题13．若α是第三象限角，且tanα=3，则sinα−cosα=.14．已知0＜x＜1，则函数y=4x+11−x的最小值为15．若正方形ABCD的顶点均在半径为1的球O上，则四棱锥O−ABCD体积的最大值为.16．已知△ABC的顶点A(−2，1)，点B，C均在抛物线H：y2=4x上.若AB，AC的中点也在H上，BC的中点为D，则AD=四、解答题17．已知数列{an}中，a（1）求数列{a（2）设bn=a18．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且asinBcos（1）求cosB；（2）若c=3，AC边上中线BD=3，求△ABC19．快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间[5，15]，(15，25]，注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.（1）求a的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；（2）若重量在[5，15]（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为X，求20．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，（1）证明：MN∥平面ACC（2）若∠ABC=90∘，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，求直线AC与平面AMN所成角条件①：异面直线AC与MN所成的角为45°；条件②：△AMN是等腰三角形.21．点M是平面直角坐标系xOy上一动点，两直线l1：y=x，l2：y=−x，已知MA⊥l1于点A，A位于第一象限；（1）若动点M的轨迹为C，求C的方程.（2）设M(s，t)，过点M分别作直线MP，MQ交C于点P，Q.若MP与MQ的倾斜角互补，证明直线22．已知函数f(x)=ln(ax)+ax，其中a是非零实数.（1）讨论函数f(x)在定义域上的单调性；（2）若关于x的不等式f(x)≤xex−a恒成立，求

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为集合A={(x，y)|x−y=0}，由x−y=0x+y+1=0可得x=−所以A∩B={(−1所以，A∩B的子集个数为2.故答案为：C

【分析】求出A∩B，根据A∩B元素个数，即可求出答案.2．【答案】A【解析】【解答】因为ω=−12+故答案为：A

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简ω23．【答案】B【解析】【解答】∵a⊥b故答案为：B.

【分析】利用向量垂直的性质求出k，进而得到a→4．【答案】C【解析】【解答】该企业每年利润为f(x)=当0<x≤40时，f(x)=−在x=30时，f(x)取得最大值875；当x>40时，f(x)=920−(x+（当且仅当x=100时等号成立），即在x=100时，f(x)取得最大值720；由875>720，可得该企业每年利润的最大值为875.故答案为：C

【分析】该企业每年利润为f(x)=70x−(5．【答案】C【解析】【解答】联立两个圆的方程x2两式相减可得公共弦方程x−2y−1=0，圆O1：x2+圆心O1(0，公共弦长为d=2r故答案为：C.

【分析】两圆作差，得到公共弦方程，化简圆O1，求出圆心和半径，结合弦长公式求解即可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】设x>0，则−x<0，由f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)=x可得f(x)=f(−x)=(−x)则f'则曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程是y=−2故答案为：C

【分析】由已知函数的奇偶性求出x>0时的解析式，求出导函数，得到f'7．【答案】B【解析】【解答】因为抽到的次品可能来自于A，B两条生产线，设A=“抽到的产品来自A生产线”，B=“抽到的产品来自B生产线”，C=“抽到的一件产品是次品”，则P(由全概率公式得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.所以它来自A生产线的概率是P(A|C)=P(AC)故答案为：B

【分析】设A=“抽到的产品来自A生产线”，B=“抽到的产品来自B生产线”，C=“抽到的一件产品是次品”，根据全概率公式求得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)，再根据据条件概率公式可求得答案.8．【答案】C【解析】【解答】正四面体S−ABC中，取BC中点D，连接AD，MD，SD过M作MH⊥AD于H，连接HB，MB，过M作AC的平行线交SC于N，则∠BMN=α，由SD⊥BC，AD⊥BC，SD∩AD=D，SD⊂平面SAD，AD⊂平面SAD可得BC⊥平面SAD，则MD⊥BC，则∠MDH=γ由BC⊥平面SAD，可得平面ABC⊥平面SAD，又平面ABC∩平面SAD=AD，MH⊂平面SAD，MH⊥AD，则MH⊥平面ABC，则∠MBH=β，因为sinβ=MHMB<MHMD设正四面体边长为1，AM=λ(0<λ<1)，有SM=MN=1−λ.cosα=MN2因为HD=所以cosγ>cosα，又α，γ∈(0，π综上：β<γ<α故答案为：C

【分析】分别根据异面直线所成角的定义，线面角的定义，以及二面角的定义确定a，β，γ的大小即可得答案.9．【答案】A,B【解析】【解答】由题意，an=a对于A，an2=a12(对于B，因为q≠−1，a11(a∴(a12对于C，若a1<0，q＞1，则an+1对于D，Sn+1−Sn=a11−q(1−qn+1故答案为：AB.

【分析】由{an}的通项公式可以得到an2=a12(q2)n−1，再根据等比数列的定义得10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因为随机变量X∼N(μ，σ2所以f(x)的对称轴为x=μ，且当x=μ时，f(x)取最大值为1σA，B符合题意；根据正态分布的曲线可得，x轴是渐近线，且曲线y=f(x)与x轴之间的面积等于1，C符合题意，D不符合题意.故答案为：ABC.

【分析】根据正态分布的曲线的性质，逐项进行判断，可得答案.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由题知A(−a，0)，B(a，0)，所以，kMN=b−a所以，MN的垂直平分线DE的方程为y−b因为D，E，F三点共线，所以−b2=所以(a2所以，|FN|=|a所以c2−ac−a2=0，即e所以，椭圆的离心率为e=5因为直线MF的方程为y=−bcx+b所以，点N(a2c，0)设D(x0，y0由于A(−a，所以kAD故答案为：ABD

【分析】根据椭圆的定义结合椭圆的性质，逐项进行判断，可得答案.12．【答案】A,C【解析】【解答】对于A，f(−x)=sin对于B，f'(x)=(则g'当x∈(0，π]时，g'(x)≤0，g(x)单调递减，当g(x)单调递增，所以g(x)最多只有2个零点，即f'对于C，g(−π4)=(g(π4)=232(π−4)2f(x)是单调递增的，正确；对于D，f(π故答案为：AC.

【分析】根据函数奇偶性的定义，可判断A；令g(x)=(x2+1)cosx−2xsinx，求导，根据导数的符号可得函数g(x)的单调性，进而可判断B；由B的分析知：x∈[−π413．【答案】−【解析】【解答】解：因为α是第三象限角，且tanα=3，所以sinα=3因为si所以sinα=−所以sinα−cosα=−故答案为：−

【分析】根据同角三角函数基本关系式求出sinα14．【答案】9【解析】【解答】解：∵0＜x＜1，则函数f′（x）=﹣4x2+1(1−x)当f′（x）＞0时，解得23＜x＜1；当f′（x）＜0时，解得又f'∴当且仅当x=23f(23)=4故答案为：9．【分析】利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．15．【答案】4【解析】【解答】设正方形ABCD的中心为E，连接OE，由球的性质可知OE⊥平面ABCD，

设正方形ABCD的边长为x，因为正方形ABCD的顶点均在半径为1的球O上，且不在大圆上，所以x∈(0，所以，OE=O所以，四棱锥O−ABCD体积为V=令x2=t∈(0，令y=t2−12t3，则所以，当t∈(0，43)时，当t∈(43，2)时，所以，当t=43时y=t所以，V=13t2−故答案为：4【分析】由正方形ABCD的顶点均在半径为1的球O上，且不在大圆上，根据勾股定理求出OE，再根据棱锥的体积公式求出四棱锥O−ABCD体积，令x2=t∈(0，2)，则V=116．【答案】274；【解析】【解答】不妨设B(y12则AB的中点(−1+y12所以(y1+1又AC的中点(−1+y22所以(y2+1所以y1，y2是方程y2−2y−17=0所以xD=y则|AD|=(△ABC的面积S=故答案为：274；

【分析】由题意可得AB的中点在H：y2=4x上，AC的中点在17．【答案】（1）解：∵na所以{an+1（2）解：由（1）知，{a由题意得b2n−1=a设数列{b2n−1}，{b2n所以T1=50(所以{bn}综上，an=3n−1，{b【解析】【分析】(1)由nan+1−(n+1)an=1(n∈N*)得an+1n+1−ann18．【答案】（1）解：由正弦定理有sinA因为sinB≠0，有sinA因为c>b，故cosB>0，cos（2）解：法一：在△ABC和△ABD中，cosA=因为c=3，BD=3，则b因为cosB=a2所以S△ABC法二：因为cos∠ADB+有b2因为cosB=a2所以S△ABC法三：如图，作DE//BC交AB于E，则E是AB的中点，所以BE=c2=32即(32)所以S△ABC【解析】【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简已知等式可得sinB=223，由于cosB>0，进而可求出cosB19．【答案】（1）解：因为频率分布直方图的组距为10，所以，落在区间[5，15]，(15，所以，a=1−0因为落在区间[5，25]上的频率为而落在区间[5，35]上的频率为所以第70百分位数落在区间[25，35]之间，设为则0.52+(x−25)×0.所以估计第70百分位数为31.（2）解：由（1）知，重量落在[5，因为X可取0，1，2，3，且X∼B(3，则P(X=0)=C30P(X=2)=C32所以X的分布列为：X0123P6448121所以X的数学期望为E(X)=0+48125+【解析】【分析】(1)根据频率之和为1，可以求得a的值，分别求出落在区间[5，25]上的频率和落在区间[5，35]上的频率，可求出这批果实的第70百分位数；20．【答案】（1）证明：取AC的中点为O，连接A1O，ON，因为N是所以ON∥AB且ON=1又因为A1M∥AB且所以A1M∥ON且所以四边形A1即MN∥A1O，而A1O⊂平面ACC1A（2）解：因为AA1⊥AB，AA1⊥BC，且所以AA又因为∠ABC=90°，所以分别以BC，BA，BB1所在的直线为x，选择条件①，因为∠AA1O为异面直线AC与MN所以OA=AA1=2设BN=m，则MN=5+解得m=3所以A(0，2，M(0，1，所以AC=(23，−2，设平面AMN的法向量n=(x，令y=2，则x=43，z=1，即所以sinθ=|cos⟨AC选择条件②，设BN=m，则AN=4+m2，MN=因为△AMN是等腰三角形，所以上式中只能AM=AN，即m=1，所以A(0，2，0)，C(2，所以AC=(2，−2，0)设平面AMN的法向量为n=(x，令y=2，则x=4，z=1，即n=(4所以sinθ=|cos⟨AC【解析】【分析】（1）取AC的中点为O，连接A1O，ON，因为N是BC的中点，可得四边形A1MNO是平行四边形，即MN∥A1O，再根据线面平行的判定定理可得MN∥平面ACC1A1；

（2）分别以BC，BA，BB1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，选择条件①，∠AA1O为异面直线AC与MN所成的角，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面AMN的法向量，利用向量法可求出直线AC与平面21．【答案】（1）解：设M(x，y)，依题意得x>0且即x−y>0且x+y>0，设A(n，n)，则因为直线l1的方向向量为(1，1)，所以MA⋅(1，所以|OA|所以四边形OAMB的面积为|OA即动点M的轨迹方程为x2（2）证明：设直线MP：y−t=k(x−s)（k<−1或则MQ：联立x2−y整理得(1−k所以s+xP=所以yP同