2022-2023学年广东省深圳市南山外国语学校高二上学期期中数学试题及答案

试题试题深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2022-2023学年第一学期高二年级期中考试数学科试卷出题人：高二数学组说明：1、本试卷满分150分；考试时间为120分钟；2、本试卷分试题卷、答题卷两部分，考试结束，只交答题卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中只有一项符合题目要求）1.若直线：与：平行，则实数（）A.2 B.－2 C. D.2.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.3.双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.4.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.5.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，动点满足，当P、A、B不共线时，面积的最大值是（）A. B. C. D.6.设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（）A.14 B.17 C.20 D.237.已知点，且点在直线上，若使取得最小值，则点的坐标为（）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系xOy中，点F是椭圆的左焦点，A为椭圆的上顶点，过点A作垂直于AF的直线分别与x轴正半轴和椭圆交于点M，N，若，则椭圆C的离心率e的值为（）A. B. C. D.二、选择题（本题共4小题，每小題5分，共20分.每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分）9.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.的一个方向向量为 B.在轴上的截距等于C.与直线垂直 D.与直线平行10.圆和圆的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线方程为B.公共弦AB的长为C.线段AB中垂线方程为D.P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为11.已知双曲线左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则()A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为C.PM平分 D.12.已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则下列说法中正确的有（）A.椭圆C的离心率的取值范围是B.已知，当椭圆C的离心率为时，的最大值为3C.存在点Q使得D.最小值为1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知抛物线：，的焦点为，点在上，且，则点的横坐标是______．14.在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．15.已知双曲线左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为___________.16.对任意实数m直线x＋my－3m－4＝0被圆C截得的线段长恒为4，若动点P在圆C上，则点P到原点距离的最小值为________；四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．（1）用，，表示；（2）求AE的长．18.已知的顶点，，．（1）求AB边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．19.如图，在三棱柱中，平面，，是边长为4的等边三角形，是棱的中点．（1）证明：平面．（2）求平面与平面夹角余弦值．20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴顶点分别为、，四边形的面积为32.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，求直线的方程.21.如图，过点E（1，0）的直线与圆O：相交于A，B两点，过点C（2，0）且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D.（1）当点B坐标为（0，）时，求直线CD的方程；（2）求四边形ACBD面积S的最大值.22.已知双曲线：过点，且渐近线方程为.直线过点，且与交于，两点.（1）求双曲线的方程；（2）在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

试题试题深圳市南山外国语学校（集团）高级中学2022-2023学年第一学期高二年级期中考试数学科试卷出题人：高二数学组说明：1、本试卷满分150分；考试时间为120分钟；2、本试卷分试题卷、答题卷两部分，考试结束，只交答题卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中只有一项符合题目要求）1.若直线：与：平行，则实数（）A.2 B.－2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的一般式方程可确定直线的斜率，结合两直线平行的条件，可得答案.【详解】由题意知，的斜率分别是，，由与平行，得，经检验符合题意.故选：C.2.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．故选：B．3.双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出双曲线的标准方程即得解.【详解】解：由题意知，，所以双曲线的标准方程为，双曲线的渐近线方程为，即.故选：D．4.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，所以点到平面的距离.故选：A5.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，动点满足，当P、A、B不共线时，面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用求出圆的方程和半径，进而利用圆的范围可求出三角形面积的最大值.【详解】设，因为、，且，所以，整理得，即圆的方程为，半径为；所以，则面积最大值是.故选：D.6.设椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆上，且满足，则的值是（）A.14 B.17 C.20 D.23【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程和椭圆的定义求出，再通过余弦定理和平面向量数量积的定义即可求得答案.【详解】设，由题意.易知，，则，，于是由余弦定理可得，即.故选：D.7.已知点，且点在直线上，若使取得最小值，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出直线，与直线求交点即可.【详解】因为代入直线得到，代入直线得到，所以在直线的同侧.设关于直线的对称点为，则，解得，即所以，，即.所以，即.故选：A8.在平面直角坐标系xOy中，点F是椭圆的左焦点，A为椭圆的上顶点，过点A作垂直于AF的直线分别与x轴正半轴和椭圆交于点M，N，若，则椭圆C的离心率e的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出直线的方程与椭圆联立求出点的坐标，再根据向量关系可得，从而求得离心率；【详解】，，代入得：，，，，，，，故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，计算量较大.二、选择题（本题共4小题，每小題5分，共20分.每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分）9.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.的一个方向向量为 B.在轴上的截距等于C.与直线垂直 D.与直线平行【答案】ACD【解析】【分析】求出直线方程，由直线方程直接判断D，由直线方程得一法向量，由法向量与方向向量的关系判断A，直线方程中令，解出为横截距，判断B，由两直线垂直的关系判断C．【详解】由题意直线斜率为，直线方程为，即，它与直线平行，D正确；直线的一个法向量是，而，因此是直线的一个方向向量，A正确；在直线方程中令得，B错误；由于，C正确．故选：ACD．10.圆和圆的交点为A，B，则有（）A.公共弦AB所在直线方程为B.公共弦AB的长为C.线段AB中垂线方程为D.P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【答案】AC【解析】【分析】A选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；C选项，线段AB的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；D选项，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.【详解】因为圆：和圆：的交点为A，B，作差得，所以圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为，故A正确；因为圆心，，所在直线斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，即，故C正确；圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以P到直线AB的距离的最大值为，圆与圆的公共弦AB的长为，故B,D错误．故选:AC.11.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则()A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为C.PM平分 D.【答案】ACD【解析】【分析】在直角三角形中，利用列出关于a、b、c的齐次式求出离心率，从而判断A；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B；根据是否相等即可判断PM是否平分，从而判断C；根据、的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用表示，从而判断D.【详解】由可知，由得，，即，即，即，∴，故A正确；由，∴双曲线渐近线为，故B错误；由，﹒则，，∴；∵，，∴，∴，∴根据角平分线的性质可知PM平分，故C正确；，，，故D正确；故选：ACD．【点睛】本题主要考查与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a、b、c的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系.12.已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则下列说法中正确的有（）A.椭圆C的离心率的取值范围是B.已知，当椭圆C的离心率为时，的最大值为3C.存在点Q使得D.最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】易得，再根据点在椭圆C外，可得，从而可求得的范围，再根据离心率公式即可判断A；根据离心率求出椭圆方程，设点，根据两点的距离公式结合椭圆的有界性即可判断B；当点Q位于椭圆的上下顶点时取得最大值，结合余弦定理判断是否大于等于即可判断C；根据结合基本不等式即可判断D.【详解】解：根据题意可知，则椭圆方程为，因为点在椭圆C外，所以，所以，所以，则离心率，故A正确；对于B，当椭圆C的离心率为时，，所以，所以椭圆方程为，设点，则，当时，，故B错误；对于C，当点Q位于椭圆的上下顶点时取得最大值，此时，，即当点Q位于椭圆的上下顶点时为钝角，所以存在点Q使得为直角，所以存在点Q使得，故C正确；对于D，，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为1，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知抛物线：，的焦点为，点在上，且，则点的横坐标是______．【答案】5【解析】【分析】利用焦半径公式即可求解.【详解】抛物线：的焦点，准线方程为，设点的横坐标为，则有，所以．故答案为：514.在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．【答案】4【解析】【分析】由点到直线的距离代入即可求出答案.【详解】在一象限，所以，点到直线的距离为3，则，解得：或.因为，所以.故答案为：4.15.已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为___________.【答案】##【解析】【分析】利用双曲线定义可将转化为，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值，由此可计算得到结果.【详解】由双曲线方程知：，，，则，，由双曲线定义知：，（当且仅当在线段上时取等号），又，.故答案：.16.对任意实数m直线x＋my－3m－4＝0被圆C截得的线段长恒为4，若动点P在圆C上，则点P到原点距离的最小值为________；【答案】3【解析】【分析】根据题意确定圆心和半径，即可求得点P到原点距离的最小值.【详解】直线x＋my－3m－4＝0即，故直线过定点，该点到原点距离为5，由对任意实数m直线x＋my－3m－4＝0被圆C截得的线段长恒为4可知：直线过圆的圆心，即圆心为定点，且圆的直径为4，故圆上动点P到原点距离的最小值为：5-2=3，故答案为：3.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．（1）用，，表示；（2）求AE的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量运算求得正确答案.（2）结合（1）利用平方的方法，结合向量运算求得正确答案.【小问1详解】【小问2详解】由（1）得，两边平方得，所以.18.已知顶点，，．（1）求AB边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求．【小问1详解】线段的中点为，则中线所在直线方程为：，即.【小问2详解】设两坐标轴上的截距为，若，则直线经过原点，斜率，直线方程为，即；若，则设直线方程为，即，把点代入得，即，直线方程为；综上，所求直线方程为或．19.如图，在三棱柱中，平面，，是边长为4的等边三角形，是棱的中点．（1）证明：平面．（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，【小问1详解】证明：连接，记，连接．由三棱柱的定义可知四边形是平行四边形，则为的中点．因为是棱的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】因为，是棱的中点，所以．因为平面，平面，所以．因为平面，平面，且，所以平面．故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，从而，．设平面的法向量，则令，得．平面的一个法向量．则平面与平面夹角的余弦值20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴顶点分别为、，四边形的面积为32.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由离心率和四边形的面积建立关于的方程，解方程即可；（2）直接通过点差法求出直线斜率，再通过点斜式写出方程即可.【小问1详解】因为离心率，所