第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版必修第一册）

PAGE1第二章一元二次函数、方程和不等式章节验收测评卷（考试时间：150分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高二下·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小可判断D.【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误；对于B：因为，所以，故B正确；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：因为，所以，故D错误.故选：B.2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）不等式的解集为（）A．R B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可.【详解】由，得，得，解得，所以不等式的解集为，故选：C3．（23-24高一上·云南大理·期末）不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判别式小于等于零解出a的范围即可.【详解】因为不等式的解集为，所以判别式，解得，故选：A.4．（21-22高二下·山东威海·期末）成立的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本均值不等式求最值再结合充分必要条件与集合之间的关系即可求解.【详解】因为，，当且仅当时去等号，即时取等号；所以使得，的充要条件为，而充分不要条件应该为的真子集，所以应选.故选：A5．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得.【详解】由不等式的解集为或，得是方程的两个根，且，因此，且，解得，不等式化为：，解得，所以不等式为.故选：C6．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）对于实数，规定表示不大于的最大整数，例，那么使得不等式成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式解得的范围，然后根据的定义求出的范围．【详解】由题得，即，解得，则．故选：D．7．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6【答案】A【分析】借助基本不等式中“1”的妙用计算即可得.【详解】由，则，当且仅当，即，时，等号成立.故选：A.8．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围.【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解，所以，解得或，①当时，不等式的解集为，因为，所以两个整数解，则，即，解得；②当时，不等式的解集为，因为，所以两个整数解，则，即，解得，综上所述，实数的取值范围为或.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，，，则下列结论中正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABD【分析】根据不等性质分别判断各选项.【详解】对于A：因为，所以，所以，故A正确；对于B：因为，所以，两边同乘以得，即，故B正确；对于C：因为，所以，所以，又，两式相乘得，故C错误；对于D：，因为，所以，，所以，即，故D正确；故选：ABD.10．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为2 D．的最大值为8【答案】BC【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到，D错误.【详解】A选项，因为，由基本不等式得，即，故A错误；B选项，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，B正确；C选项，两边平方得，，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，解得，的最小值为2，C正确；D选项，因为，，所以，故D错误.故选：BC11．（2024高一上·全国·专题练习）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（

）A．由题图（1）和题图（2）面积相等得B．由可得C．由可得D．由可得【答案】BCD【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中，，的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案．【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误．对于B，因为，所以，所以，设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以．因为，所以，整理可得，故B正确．对于C，因为D为斜边的中点，所以，因为，所以，整理得，故C正确．对于D，因为，所以，整理得，故D正确．故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高一·全国·课堂例题）不等式的解集是【答案】或．【分析】分式不等式等价转化为整式不等式，结合二次不等式的解法求解集.【详解】原不等式等价于解得或，故不等式的解集是或．故答案为：或13．（23-24高一上·河南开封·期末）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为.【答案】【分析】将问题转化为恒成立问题，从而得解.【详解】因为命题：“，”为假命题，所以“，”为真命题，即恒成立，所以，解得，故实数的取值范围为.故答案为：.14．（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是．

【答案】【分析】根据对称轴求出的值，从而得到时的函数值，再根据一元二次方程（为实数）在的范围内有解相当于与在内有交点，依此求解即可得出结论.【详解】∵对称轴为直线，∴，∴二次函数解析式为.当时，；当时，；当时，.因为方程的根为图象与直线的交点的横坐标，∴当时，在的范围内有解.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24高一上·江苏南通·期中）解下列不等式并将结果写成集合的形式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）应用一元二次不等式的解法求解；（2）应用分式不等式的求法求解.【详解】（1）由，得，即，解得，则其解集为.（2）由，得，解得或，则其解集为或.16．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）（1）比较和的大小；（2）已知，，求和的取值范围；（3）已知在上恒成立．求a的取值范围．【答案】（1）；（2）；；（3）.【分析】（1）作差法比较大小即可；（2）应用不等式性质判断大小关系；（3）由一元二次不等式恒成立有，即可求参数范围.【详解】（1）因为，所以；（2）由，，则，故；又，故；（3）由题意.17．（23-24高一上·陕西西安·期末）求下列式子的最小值.(1)已知，求；(2)已知，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解；（2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为；（2）解：由，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.18．（23-24高一上·浙江杭州·期中）为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知．(1)当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．(2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？【答案】(1)时，矩形的面积最小，最小面积2400(2)或，【分析】（1）设出的长为，则，表示出矩形面积的解析式，利用不等式求解；（2）化简矩形面积，利用基本不等式求解.【详解】（1）设出的长为，则，，，，∴矩形的面积，由基本不等式得：，当且仅当时，取“=”，当,即时，；（2）由（1）得，即，∴，∴或，的范围在或，19．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.【答案】（1）“上位点”，“下位点”；（2）是，证明见解析；（3）.【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；（2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论；（3）结合（2）中的结论，可得，，满足条件，再说明当时，不成立，可得出的最小值为.【详解】（1）对于平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：，那么称点是点的“上位点”