杭州市临平区2023年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案

6/23杭州市临平区2023年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。1．（3分）二次根式中，x的取值可以是（）A． B．0 C．﹣ D．﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．【解答】解：二次根式中，x﹣1≥0，解得：x≥1，故x的取值可以是．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．2．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣＝ B．+＝ C．＝× D．÷＝4【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式＝2﹣＝，所以A选项正确；B、与不能合并，所以B选项错误；C、原式＝＝×，所以C选项错误；D、原式＝＝2，所以D选项错误．故选：A．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．（3分）若一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．【解答】解：边数n＝360°÷72°＝5．故选：B．【点评】本题考查了多边形的外角和等于360°，是基础题，比较简单．4．（3分）已知一组数据，前8个数据的平均数是x，还有两个数据的分别为84，84，则这组数据的平均数是（）A． B． C． D．【分析】根据平均数＝总数÷个数计算即可．【解答】解：这组数据的平均数＝（8x+84+84）÷（8+2）＝．故选：D．【点评】本题考查的是算术平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．5．（3分）某校准备修建一个长方形活动场地，长比宽多11m，总面积为180m2，若设场地的宽为xm，则可列方程（）A．x（x﹣11）＝180 B．2x+2（x﹣11）＝180 C．x（x+11）＝180 D．2x+2（x+11）＝180【分析】根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．【解答】解：设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）＝180，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程．6．（3分）已知一组数据的方差为，则（）A．这组数据有10个 B．这组数据的平均数是5 C．方差是一个非负数 D．每个数据加3，方差的值增加3【分析】根据方差的公式可以得到平均数．【解答】解：由于这组数据的方差是，得：这组数据有5个，故选项A不符合题意；这组数据的平均数是10，故选项B不符合题意；方差是一个非负数，说法正确，故选项C符合题意；每个数据加3，方差的值不变，故选项D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2 B．2.5C．3 D．4【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝＝10．又因为CD为中线，所以CD＝AB＝5．因为F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，所以BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上任意一点P作EF∥BC，GH∥AB，且AH＝2HD，若S△HDP＝1，则S▱ABCD＝（）A．9 B． C．12 D．18【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积，可以求得行四边形ABCD的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，四边形HPFD是平行四边形，四边形AEPH、四边形PGCF均为平行四边形，且它们的面积相等，四边形EBGP是平行四边形，因为S△HDP＝1，所以S▱HPDF＝2，因为AH＝2HD，所以S▱AEPH＝S▱PGCF＝4，所以S▱EBGP＝8，所以S▱ABCD＝2+4+4+8＝18，故选：D．【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（）个．①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，③当p，q满足pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，④用求根公式求出两个根，当x1＝2x2，或2x1＝x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，所以方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正确；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，当x2＝1时，m+n＝0，当x2＝4时，4m+n＝0，所以4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正确；③因为pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，所以，x2＝﹣q，所以，因此是倍根方程，故③正确；④方程ax2+bx+c＝0的根为：，，若x1＝2x2，则，即，所以，所以，所以，所以9（b2﹣4ac）＝b2，所以2b2＝9ac．若2x1＝x2时，则，则，所以，所以，所以，所以b2＝9（b2﹣4ac），所以2b2＝9ac．故④正确，所以正确的有：②③④共3个．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．10．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B是锐角，点F是AB边的中点，AE⊥BC于点E，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，AD＝2，，则AE长为（）A．2 B． C． D．【分析】延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，因为四边形ABCD是平行四边形，所以DQ∥BC，所以∠AQF＝∠BEF，因为AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，所以△QFA≌△EFB（AAS），所以AQ＝BE＝x，QF＝EF，因为∠EFD＝90°，所以DF⊥QE，所以DQ＝DE＝x+2，因为AE⊥BC，BC∥AD，所以AE⊥AD，所以∠AEB＝∠EAD＝90°，因为AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，所以（x+2）2﹣22＝（）2﹣x2，整理得：x2+2x﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣3（舍去），所以BE＝1，所以AE＝，故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题本题有6个小题，每小题4分，共24分。11．（4分）在▱ABCD中，∠A＝2∠B，则∠D＝60°．【分析】由平行四边形的性质得出∠A+∠B＝180°，再由已知条件∠A＝2∠B，即可得出∠B的度数，再根据平行四边形的对角相等即可求出∠D的度数．【解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠B＝∠D，所以∠A+∠B＝180°，因为∠A＝2∠B，所以2∠B+∠B＝180°，解得：∠B＝60°；所以∠D＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．12．（4分）一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示：应试者听说读写甲85837875乙73808582如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比例确定，那么甲的得分为81，乙的得分为79.3．【分析】按3：3：2：2的比例算出甲乙两名应聘者的加权平均数即可．【解答】解：甲的综合成绩：85×30%+83×30%+78×20%+75×20%＝81；乙的综合成绩：73×30%+80×30%+85×20%+82×20%＝79.3．故答案为：81；79.3．【点评】本题考查了加权平均数的求法，掌握加权平均数的求法是解题的关键．13．（4分）如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n＝8．【分析】根据多边形内角和公式180°（n﹣2）和外角和为360°可得方程180°（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．【解答】解：由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×3，解得：n＝8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．14．（4分）若1和﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根，则a+c＝0．【分析】直接利用根与系数的关系得到：＝1×（﹣1）＝﹣1，即可得出答案．【解答】解：因为＝1×（﹣1）＝﹣1，所以c＝﹣a，所以a+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F，D分别在AB，AC，BC上，且AEDF是平行四边形，若△CFD和△DEB的周长分别为5和10，则△ABC的周长是15．【分析】根据平行四边形的对边相等可得DE＝AF，DF＝AE，再根据三角形周长的定义结合已知条件即可求出△ABC的周长．【解答】解：因为四边形AEDF是平行四边形，所以DE＝AF，DF＝AE，因为△CFD和△DEB的周长分别为5和10，所以CF+DF+CD＝5，DE+EB+DB＝10，所以CF+AE+CD＝5，AF+EB+DB＝10，所以△ABC的周长＝CF+AF+AE+EB+BD+CD＝15．故答案为：15．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．16．（4分）如图，在▱ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF，若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝4．【分析】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．【解答】解：如图，延长AE，BC交于点G，因为点E是CD的中点，所以DE＝CE，因为平行四边形ABCD中，AD∥BC，所以∠D＝∠ECG，又因为∠AED＝∠GEC，所以△ADE≌△GCE（ASA），所以CG＝AD＝5，AE＝GE，又因为AE平分∠FAD，AD∥BC，所以∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，所以AF＝GF＝3+5＝8，又因为E是AG的中点，所以FE⊥AG，所以Rt△AEF中，EF＝AF＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．三、解答题本题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（6分）计算：（1）（）2+﹣；（2）．【分析】（1）先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可；（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算出各数，再进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝5+3﹣＝5+3﹣＝5+3﹣3＝5；（2）原式＝5+2﹣2+4﹣3＝8﹣2．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．18．（8分）解方程：（1）2x2﹣3x+1＝0；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．【分析】（1）把方程分解为两个因式积的形式，进而可得出结论；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）2x2﹣3x+1＝0，（2x﹣1）（x﹣1）＝0，2x﹣1＝0或x﹣1＝0，所以x1＝，x2＝1；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．19．（8分）某学校抽查了某班级某月5天的用电量，数据如表（单位：度）：度数91112天数311（1）求这5天的用电量的平均数；（2）求这5天用电量的众数、中位数；（3）学校共有18个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量．【分析】（1）用加权平均数的计算方法计算平均用电量即可；（2）分别利用众数、中位数及极差的定义求解即可；（3）用班级数乘以日平均用电量乘以天数即可求得总用电量．【解答】解：（1）（9×3+11×1+12×1）÷5＝10（度）；答：5天的平均用电量为10度；（2）9度出现了3次，最多，故众数为9；用电量从小到大排序的第3天是9度，故中位数为9；（3）22×10×18＝3960（度）；答：估计该校该月的总用电量约3960度．【点评】本题考查了统计的有关概念及用样本估计总体的知识，题目相对比较简单，属于基础题，解题时注意有关的统计量都应带单位．20．（10分）如图，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．（1）求证：BE＝DF；（2）若BE平分∠ABC，AB＝2，求▱ABCD的周长．【分析】（1）由平行四边形的性质和中点的性质可得DE＝BF，即可得四边形BEDF是平行四边形，进而利用平行四边形的性质解答；（2）由角平分线的性质和平行线的性质可证AB＝AE＝2，即可求解．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝BC，因为点E，点F分别是AD，BC的中点，所以AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，所以DE＝BF，又因为DE∥BF，所以四边形BEDF是平行四边形，所以BE＝DF；（2）解：因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，又因为AD∥BC，所以∠AEB＝∠EBC，所以∠ABE＝∠AEB，所以AE＝AB＝2，所以AD＝2AE＝4，所以平行四边形ABCD的周长＝2×（2+4）＝12．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．21．（10分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，求此时方程的解．【分析】（1）由方程有两个实数根可得（﹣2）2﹣4×1•（2k﹣1）≥0，解不等式即可求出k的取值范围；（2）由k为正整数和k≤1可得k＝1，从而可得原方程为x2﹣2x+1＝0，解方程即可求出方程的解．【解答】解：（1）因为x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根，所以Δ≥0，所以（﹣2）2﹣4×1•（2k﹣1）≥0，解得k≤1；（2）由（1）知k≤1，因为k为正整数，所以k＝1，所以原方程为：x2﹣2x+1＝0，所以（x﹣1）2＝0，所以x1＝x2＝1．【点评】此题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解本题的关键．22．（12分）一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：h＝vt﹣gt2（不计空气阻力），其中h是物体距离地面的高度，v是初速度，g是重力加速度（g取10m/s2），t是抛出后所经历的时间，用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以10m/s的初速度从地面竖直向上抛．（1）当小球的高度为1.8米时，求时间t的值；（2）小球的高度能达到5.4米吗？请作出判断，并说明理由；（3）若在抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为4.2米，求两次抛球的时间差．【分析】（1）把v＝10，g＝10，代入所给关系式求出二次函数解析式，再把h＝1.8代入解析式求t的值即可；（2）把h＝5.4代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，由判别式判定方程是否有解即可；（3）把h＝4.2代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，求出方程的两个根，两根之差即为所求．【解答】解：（1）把v＝10，g＝10代入h＝vt﹣gt2得，h＝﹣5t2+10t，当h＝1.8时，1.8＝﹣5t2+10t，即5t2﹣10t+1.8＝0，解得t1＝0.2，t2＝1.8答：小球的高度为1.8米时，所用时间为0.2s或1.8s；（2）小球的高度不能达到5.4米，理由如下：把h＝5.4代入h＝﹣5t2+10t得，5.4＝﹣5t2+10t，所以5t2﹣10t+5.4＝0，因为Δ＝（﹣10）2﹣4×5×5.4＝﹣8＜0，所以5.4＝﹣5t